普通物理力学例题总结

1、普通物理力学例题总结 j ti2j dt dy i dt dx tv 2)( 22221 22 vv 秒秒时时的的速速率率 0 451tan x y v v 方向：方向： jivt 221 1 秒秒时时的的速速度度： x y 450 v 错误做法：错误做法：1 秒钟时的速率：秒钟时的速率： 0122 2 11 vtytx tt 得出得出 tt dd = dd rr v又又如如： 22 d+ = xy dt 例例 1 1：已知运动方程已知运动方程 x = 2 t y = t2 求求 及及 1 1 秒时的速率秒时的速率)(tv 普通物理力学例题总结 x = - -4 时，时，t = 2 )(42

2、2 2 m/s t t x t dt dx v )m/s(2444 2 3 2 t t y tt dt dy v xxy2 2 解：解： 质点的运动轨道方程为：质点的运动轨道方程为： x y O 以及以及 x =-=-4 时时( (t 0) )粒子的速度、速率、加速度。粒子的速度、速率、加速度。 例例2：一质点运动函数为一质点运动函数为 2 tx 24 2tty (SI)，求质点的运动轨道 求质点的运动轨道 jiv 244 (m/s)vvv yx 374 22 速度：速度：速率：速率： )m/s(22 2 2 2 2 2 t t x x dt xd dt dv a )m/s(44412 2 2

3、 2 2 2 2 t t y y t dt yd dt dv a jia 442 加速度：加速度： 普通物理力学例题总结 3 0 2 023 2 22ttdtvdtadv tt t v 2 3 2 3 tv ttdt)t(dtvdxv dt dx ttx 2 6 1 2 3 2 4 0 3 03 32 6 1 4 ttx )( 2, 30,2 00 2 tx vxtta 求：求： 时，时，例：质点沿直线运动例：质点沿直线运动 dt dv a 由由解：解： 普通物理力学例题总结 例：己知一质点按顺时针方向沿半径为例：己知一质点按顺时针方向沿半径为R 的圆周运动。的圆周运动。 其路程与时间关系为其

4、路程与时间关系为 2 0 2 1 tbtVS( (V0 、b 为常数为常数) ) 求求: : (1) t 时刻时刻, , 质点的加速度质点的加速度? a (2) t =? 时时, , ，此时质点己沿圆周运行了多少圈，此时质点己沿圆周运行了多少圈? ? ba (3) 质点何时开始逆时针方向运动质点何时开始逆时针方向运动? ? 2 2 2 dt sd dt dv a R v a t n ba R btV a t n 2 0 解解: : (1) nt aaa 2 4 0 2 b R btV a 大小大小: 方向方向: Rb btV a a t n 2 0 arctanarctan v m a n a

5、 t a o o . . 普通物理力学例题总结 时时）（ba 2 bb R btV 2 2 4 0 b V t 0 t 时刻路程：时刻路程： 2 0 2 1 bttVSt b V 2 2 0 Rb V R S N t 42 2 0 圈数：圈数： (3) (3) 由前面由前面a t = - b 可知可知, , 质点作减速率圆周运动质点作减速率圆周运动。 当当 V 减到减到 0 0 值时，质点将终止顺时针转，而值时，质点将终止顺时针转，而 开始开始逆时针转。此时刻记为逆时针转。此时刻记为 t 0 0 tbVV b V t 0 也正是前求也正是前求 a = b 的时刻的时刻 t 。 普通物理力学例题

6、总结 v u 例：雨天一辆客车在水平马路上以例：雨天一辆客车在水平马路上以 20 m/s 的速度向东的速度向东 开行，雨滴在空中以开行，雨滴在空中以 10 m/s 的速度垂直下落。的速度垂直下落。 求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。求：雨滴相对于车厢的速度的大小与方向。 解：已知解：已知m/s10 v 方向向东方向向东m/s20 u 方向向下方向向下 )m/s(4 .22 22 uvv v 2tan v u 4 .63 所以雨滴相对于车厢的速度大小为所以雨滴相对于车厢的速度大小为 22.4 m/s， 方向为南偏西方向为南偏西 。 4 .63 车对地车对地雨对车雨对车雨对地雨对地 uvv 车

7、对地车对地雨对地雨对地 雨对车雨对车uvv 普通物理力学例题总结 例：一人骑车向东而行，当速度为例：一人骑车向东而行，当速度为10 m/s10 m/s时感到有南风，时感到有南风， 速度增加到速度增加到15 m/s15 m/s时，感到有东南风，求风的速度。时，感到有东南风，求风的速度。 解：解： x y 10 m/s 南风南风 人地人地风人风人风地风地 vvv 风地风地 v 45 jiv 510 风风地地 2 .11510 22 风地风地 vm/s 10 5 tan = 27 15 m/s o 普通物理力学例题总结 在不同的参照系在不同的参照系, 对同一质点的运动状态进行描述对同一质点的运动状态

8、进行描述 设设 t = 0 时，两坐标系原点重合。时，两坐标系原点重合。t 时刻的运动情况如下：时刻的运动情况如下： 例：一列车（例：一列车（S 系）系）相对于地面（相对于地面（S系）作匀速直线运动系）作匀速直线运动, 一人在一人在 车厢内运动车厢内运动 。分别在。分别在 S 、S系分别对其进行描述。系分别对其进行描述。 S 相对相对 S 平动平动 速度为速度为 u A A B r r r0 O O x x y y S 系系 S 系系 u 0 rrr 位矢变换关系式位矢变换关系式: 两边微分两边微分 uvv aa 再对上式求导得再对上式求导得 绝对速度绝对速度=相对速度相对速度+牵连速度牵连速

9、度 车地车地人车人车人地人地 rrr 位移变换关系式位移变换关系式: 普通物理力学例题总结 例：质量都等于例：质量都等于 m m 的二物的二物 A A 和和 B B由两根不可伸由两根不可伸 长的轻绳和两个不记质量的滑轮长的轻绳和两个不记质量的滑轮 I I、II II 连接。连接。 求求: A: A、 B B 二物的加速度和两绳的拉力。二物的加速度和两绳的拉力。 解：隔离物体，分别做受力分析：解：隔离物体，分别做受力分析： 列动力学方程：列动力学方程： A： mg - T1 = ma1 B： mg - T2 = ma2 滑轮滑轮 II： T1 = 2 T2 A、B两物关联：两物关联： a2 =

10、-2a1 求解求解. 普通物理力学例题总结 例例 2 2：质量为：质量为 m m 的物体通过不可伸长的轻绳和不记质的物体通过不可伸长的轻绳和不记质 量的滑轮与弹簧（弹性系数量的滑轮与弹簧（弹性系数 k k）连接，初始时刻）连接，初始时刻 物体静止，弹簧为原长物体静止，弹簧为原长, ,让物体自由下落。让物体自由下落。 求求: : 物体的速度随位置变化的关系。物体的速度随位置变化的关系。 解：解： mg - T = ma 列动力学方程：列动力学方程： T = kx dt dv mkxmg dt dx dx dv m dx dv mv vx mvdvdxkxmg 00 )( ) 2 1 ( 2 22

11、 kxmgx m v 普通物理力学例题总结 解解: : 二维空间的变力情况。二维空间的变力情况。 (1) 选选 m 为研究物体；为研究物体； (3) 分析受力分析受力 (2) 建坐标建坐标 xoy； vx 0=v0 cos vy 0=v0 sin 初始条件：初始条件：t =0 时时 x = 0，y = 0 x y o o 0 v f=-kv mv g m 例：有阻力的抛体问题：例：有阻力的抛体问题：质量为质量为 m 的炮弹，以初速度的炮弹，以初速度 v0 与水平与水平 方向成仰角方向成仰角 射出。射出。 若空气阻力与速度成正比若空气阻力与速度成正比，即即 求求: : 运动轨道方程运动轨道方程

12、y( (x)= ?)= ? vf k (4) 列方程列方程: : dt vd mvkgm dt vd mfgm y y kvmg dt dv m x x kv dt dv m 分量方程分量方程 分离变量分离变量 dt m k v dv x x y y dv 1 dt mgkvm 分别积分分别积分 dt m k kvmg kdvt 0 v v y y y y0 dt m k v dv t 0 v v x x x x0 (5) 解方程解方程: : 普通物理力学例题总结 消去消去 t ，得轨道方程：得轨道方程： cos 1ln cos tan 0 2 2 0 mv kx k gm x kv mg y

13、 再次积分再次积分 dtvdx t x x x 0 0 dtvdy t y y y 0 0 得得 m kt 0 x evv cos k mg eg k m vv t k m y )sin( 0 )1( cos 0 t m k e k mv x t k mg e k gm k mv y t m k )1() sin ( 2 0 得得 普通物理力学例题总结 例例 ：一根不可伸长的轻绳跨过固定在：一根不可伸长的轻绳跨过固定在 O 点的水平光滑细杆，两点的水平光滑细杆，两 端各系一个小球。端各系一个小球。a球放在地面上，球放在地面上，b 球被拉到球被拉到 水平位置，且绳刚好伸直。从这时开始将水平位置，

14、且绳刚好伸直。从这时开始将 b 球球 自静止释放。设两球质量相同。自静止释放。设两球质量相同。 求：求：(1) b 球下摆到与竖直线成球下摆到与竖直线成 角时的角时的 v ； (2) = ? = ? a 球刚好离开地面。球刚好离开地面。 a O b b l (1) B的运动：的运动：解：解： a O b b l T g m 选自然坐标系列分量方程：选自然坐标系列分量方程： b n l v mmgTF 2 cos dt dv mmgFt sin a 球离开地面前球离开地面前 b 做半径为做半径为 lb 的竖直圆周运动。的竖直圆周运动。 v b vdvl gd 0/2 (sin ) 由切向方程式得

15、：由切向方程式得： dt dv g sin b vl g2cos dt d d dv d dv l v b (2) a 的受力和的受力和运动：运动： mg N T 当当 T = mg 时，时，a 球刚好离地。球刚好离地。 b b l g mgmgm l 2cos cos 1 1 cos 3 由法向方程式得：由法向方程式得： 普通物理力学例题总结 例例 5：一匀质细绳，质量：一匀质细绳，质量 m，长，长 L，一端固定在，一端固定在 O，另一端有一，另一端有一 质量为质量为 M 的小球，其在光滑水平面上以的小球，其在光滑水平面上以 绕绕 O 点旋转。点旋转。 求求: 绳上各点的张力。绳上各点的张力

16、。 L O M 隔离物体法分析绳上一小段隔离物体法分析绳上一小段 dm 的受力的受力 解解 I：绳上张力是距 绳上张力是距 O 点距离点距离 r 的函数的函数: : T(r) 动力学方程：动力学方程： rdmT(r)r)T(r 2 r L m 2 r r L m r T(r)r)T(r 2 0r r L m r dT 2 d r)dr L m dT 2 ( Tr LT(M) 求解求解 每点（无限小，每点（无限小，m-0） 合张力为合张力为0. 普通物理力学例题总结 解解 II：绳某点绳某点 r 的张力可理解为此点以外各小段分别所受向心力的代的张力可理解为此点以外各小段分别所受向心力的代 数和。

17、数和。 微元微元 r r: :r L m m L 22 r m T r rdrM L L ( ) LMrr L m T(r) 2 i 2 i 2 i m f(r ) r L 0r 建立坐标系，取建立坐标系，取 r 处处 dr 长的一微元，其作圆周运动所需向心力为：长的一微元，其作圆周运动所需向心力为： 2 m dTdr r L 总向心力为：总向心力为： LL 2 rr m T rdT rdr L ( ) 普通物理力学例题总结 例：例： 质量为质量为M，倾角为，倾角为 的斜面放在光滑的水平桌面上的斜面放在光滑的水平桌面上，斜面光，斜面光 滑，长为滑，长为l，斜面顶端放一个质量为，斜面顶端放一个质

18、量为m的物体，开始时斜面和物体的物体，开始时斜面和物体 都静止不动，求物体从斜面顶端滑到斜面底端所需时间。都静止不动，求物体从斜面顶端滑到斜面底端所需时间。 其中其中 maM 就是惯性力。而就是惯性力。而 mg 和和 N 是真实力。是真实力。 分析物体受力分析物体受力 物体相对于斜面有沿斜面方向的加速度物体相对于斜面有沿斜面方向的加速度a 解：以斜面为参考系解：以斜面为参考系( (非惯性系），非惯性系）， maM N mg 当当 m 滑下时，滑下时，M 加速度方向如图：加速度方向如图： aM 垂直于斜面方向垂直于斜面方向: : N-mgcos +maMsin =0 分析分析M(相对惯性相对惯性

19、系系) )运动，运动，水平方向水平方向： N sin =M aM 由此解得相对加速度由此解得相对加速度 a=(m+M)sin g / (M+msin2 ) 列方程列方程: :沿斜面方向沿斜面方向: : mgsin +maMcos =ma gmM Mml t sin)( )sin(2 2 2 2 1 tal 由由 方向方向 普通物理力学例题总结 例：水桶以例：水桶以 旋转，求水面形状？旋转，求水面形状？ 解：水面解：水面 z 轴对称，选柱坐标系。任选轴对称，选柱坐标系。任选 水面一小质元，其在切线方向静止。水面一小质元，其在切线方向静止。 r r z 0cossin 2 mrmg g r dr

20、dz 2 z z r dr g r dz 0 0 2 积分积分 在旋转参考系中，做受力分析：在旋转参考系中，做受力分析： g r tg 2 g r zz 2 22 0 mg mr 2 切线方向：切线方向： 抛物线方程抛物线方程 普通物理力学例题总结 解：解：(1) AB vmvmp t p F j R mv F 2 2 例例: : 已知已知 m 在水平面内作半径为在水平面内作半径为 R 的匀速率圆运动，的匀速率圆运动， (R, v) 已知，已知， 求：求：(1)(1) A 到到 B 时动量的改变，时动量的改变， (2) (2) A 到到 B 时向心力平均值及方向。时向心力平均值及方向。 x O

21、 y A B A v B v jmvjmv jmv 2 vR mv / 2 R mv 2 2 (2) t p tt pp F 12 12 jF 方方向向沿沿 建坐标系，建坐标系， 规定正方向规定正方向 普通物理力学例题总结 解：子弹解：子弹 m 在枪内在枪内水平水平只受力只受力 F(t)，加速时间，加速时间 0 t (N)(N) 例例: : 已知子弹在枪筒内受到推进力已知子弹在枪筒内受到推进力 ttF 5 10 3 4 400)( x x 0t O 其加速过程其加速过程 v0 = 0 到到 v = 300 m/s 求：子弹质量求：子弹质量 m = ? = ? 时时010 3 4 400)( 5

22、 ttF(sec)103 3 t t dttFm 0 )( 300 1 t mmvmvdttF 0 0 300)(动量定理：动量定理： 子弹在枪筒内加速时间子弹在枪筒内加速时间 t = ? )(210 3 4 400 300 1 5 103 0 3 gdttm 普通物理力学例题总结 h1 h2 y 例：一质量例：一质量 m =1010-3 kg 的小球，从的小球，从 h1 = 0.256 m 的的高处由高处由 静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度静止下落到水平桌面上，反跳后的最大高度 h2 = 0.196 m ，接接 触时间触时间,求小球和桌面碰撞时对桌面的冲量是多少？若接触时求小球和桌面碰

23、撞时对桌面的冲量是多少？若接触时 间为间为(1)=0.01s，(2)=0.002s, 试求小球对桌面的平均冲力。试求小球对桌面的平均冲力。 解解 I： mg N mv1 mv2 vm 11 2ghv 22 2ghv (N mg ) = mv2 (mv1) jghghmmgI )22( 21 小球和桌面碰撞时对桌面的冲量小球和桌面碰撞时对桌面的冲量 I =N = mg + )22( 21 ghghm = 0.01 sI = 4.310 2 NS N = 4.3 (N) = 0.002 sI = 4.2210 2 NSN = 21.1 (N) 重力的重力的40多倍多倍 重力的重力的200多倍多倍

24、小球自重（小球自重（0.1N) 普通物理力学例题总结 解解 II：将动量定理应用于整个过程：将动量定理应用于整个过程 设下落时间为设下落时间为 t1,上升时间为上升时间为 t2, g h t 1 1 2 g h t 2 2 2 N mg ( t1+ + t2 ) = 0 I = N = mg ( t1+ + t2 ) ) 22 ( 21 g h g h mg )22( 21 ghghmmg h1 h2 y mg N 普通物理力学例题总结 例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为例：绳子跨过定滑轮，两端拴有质量为 m 和和 M 的物体，的物体，M m , M 静止在地面，当静止在地面，当 m自由下落自

25、由下落 h 后，绳子被拉紧，后，绳子被拉紧，M 刚好离开地刚好离开地 面，面，求绳子刚拉紧时，求绳子刚拉紧时，m 和和 M 的速度及的速度及 M 能上升的最大高度。能上升的最大高度。 M m h 解：解： m 自由下落自由下落h后速度后速度ghv2 0 T mg mv0 mvm p T Mg MvM p y m:tTmvmv 0m M:tTMv M vm = vM = v 0 v Mm m v a a mg T = m a T Mg = M a g mM mM a M 匀减速运动匀减速运动0 = v22aH a v H 2 2 h mM m 22 2 普通物理力学例题总结 R y x C o

26、解：解： dm = l dl l = m / ( R) m ydm yC m dly l R R RdR l l 2 sin 0 例例: 求均匀半圆铁环的质心（半径为求均匀半圆铁环的质心（半径为R）. d 由对称性由对称性: xC=0 , 取长度为取长度为 dl 的一段铁丝的一段铁丝, 以以 l 表示线密度表示线密度 dl dm m ydm yc 普通物理力学例题总结 例：例： 弹性力的功。以弹簧原长为坐标原点，计算弹性力的功。以弹簧原长为坐标原点，计算 m 由由 x1 x2 弹性力的功。弹性力的功。 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 22 1 kxk

27、xkxkxkx x x kxf x dxkxdxfW x x x x x 2 1 2 1 x1 x2 x 0 m 由此式可见由此式可见, ,弹力的功只与小球的初末位置有关弹力的功只与小球的初末位置有关, ,而与而与 移动的中间过程无关移动的中间过程无关, ,例如若先将例如若先将 m 从从 x1 点向右拉点向右拉 伸，然后再压缩至伸，然后再压缩至 x2 点点, , 弹力的功仍为上式弹力的功仍为上式 普通物理力学例题总结 h h1 h2 a b 解：解：m 受力和重力方向如图，受力和重力方向如图， 例：例： m 沿曲线由沿曲线由a b, 求重力的功求重力的功 i r i i mg cosrrF元功

28、 dmgddW mgdhdW b a 2 1 h h mgdhdWW总功 与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的与弹性力一样，重力所作的功只取决于运动物体的 起起末位置，末位置，与中间过程无关与中间过程无关。 dhrd cos 21 hhmg 普通物理力学例题总结 h0 h1 解：解：建立如图所示建立如图所示 h 坐标系，取离坐标系，取离 地面地面 h 处厚度为处厚度为 dh 的一层水。的一层水。 将这层水吸到地面需克服重力所作元功为：将这层水吸到地面需克服重力所作元功为： ghSdh(dmg)hdW 10 0 hh h gShdhdWW )( 2 1 2 10 2 1 hhhgS h

29、dh h 0 例：例： 地下贮水池横截面地下贮水池横截面 S，池贮水深度，池贮水深度 h1，水平面与地，水平面与地 面间距面间距 h0。 求：将池中水全部吸到地面所需作功求：将池中水全部吸到地面所需作功 A。 gShdh 总功：总功： 普通物理力学例题总结 例：例： 长度为长度为 L、质量为质量为 M 的均匀链条，置于水平光滑桌面上。的均匀链条，置于水平光滑桌面上。 开始时，有少部分链条（长度为开始时，有少部分链条（长度为a）下垂在桌外。在重力作用下，下垂在桌外。在重力作用下， 链条下落。链条下落。求：当链条尾端刚刚离开桌面时的速率求：当链条尾端刚刚离开桌面时的速率 v = ? 解解: : 建

30、立坐标系建立坐标系 , , 下端点坐标为下端点坐标为 x 时时 a L，M 光滑光滑 0 a x x dxxg L M dxfdW dxgx L M L a W 22 a 2 1 L 2 1 g L M xg L M f 下落部分下落部分所受重力为：所受重力为： 在此下落部分在此下落部分重力作用下链条向下运动重力作用下链条向下运动 dx 所作元功所作元功： 总功总功 0Mv 2 1 2 W由动能定理由动能定理 22 aL L g v 普通物理力学例题总结 例例: 质量为质量为 m 的小球经长为的小球经长为 l 的摆线悬挂于固定点的摆线悬挂于固定点 O，开始时把小球拉到水平位置开始时把小球拉到水

31、平位置, 并自由释放并自由释放， 求摆线下摆角为求摆线下摆角为 0 时小球的速率时小球的速率 v。 O 0 lA B dr d mg T 解：解： 外力为绳子张力和重力，外力为绳子张力和重力， 绳子张力始终与位移垂直，绳子张力始终与位移垂直， 不作功。不作功。 B A B A AB rdgmrdFW 0 0 dlmgcos 0 mgl sin mg l sin 0 = mvB2 0 2 1 0 sin2 glvB 由动能定理由动能定理 B A dsmgcos 普通物理力学例题总结 例例1 1：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量 d m Rd R m dldm 2

32、2 2 2 0 2 2 mRd m RJ 三、几种典型刚体的转动惯量三、几种典型刚体的转动惯量 R m C dm 2 mRJ 相当于质量为相当于质量为 m 的质点对轴的的质点对轴的 J m dmrJ 2 如果在如果在 R R 处有一质量为处有一质量为 M M 的均匀圆环与此圆环轻质的均匀圆环与此圆环轻质 杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为：杆刚性连接，此系统对转轴的转动贯量为： 22 RMmRJJ i 普通物理力学例题总结 例例2 2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量 Rm C dJ = r2 dm dmrJ m 2 2 2 1 mRJ 解：在圆盘上取解

33、：在圆盘上取 r r 处处 d dr r 宽的一圆环，其宽的一圆环，其 转动惯量为：转动惯量为： 思路：思路： , , 圆盘对中轴转动惯量可看圆盘对中轴转动惯量可看 成圆盘上分割出的无数圆环对中轴成圆盘上分割出的无数圆环对中轴 转动惯量的代数和。转动惯量的代数和。 i JJ r dr C r 2 2 2 2 1 2mRrdr R m r R 0 比比 R R 处质量为处质量为 m m 的均匀圆的均匀圆 环中轴的转动惯量小环中轴的转动惯量小 如果在圆盘上离中心周距离为如果在圆盘上离中心周距离为 R R 处放一质量为处放一质量为 M M 的的 物体，此系统对中心轴的转动惯量为：物体，此系统对中心轴

34、的转动惯量为： 22 2 1 RMmRJJ i 普通物理力学例题总结 例例3 3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量 2 12 1 mlJ c 对质心轴对质心轴 CA m L 2 L 2 x dx dx l m dxdm dxxdmxdJ 22 dxxdJJ 2 L 2 L 2 m c 2 3 1 mldxxJ l 0 2 A 对边缘轴对边缘轴 2 12 1 ml x 0 对质心轴，建立如图坐标系，对质心轴，建立如图坐标系， 取取 x 处处 dx 小段：小段： 2 ) 2 ( l mJJ cA 222 3 1 4 1 12 1 mlmlml 2 mdJJ

35、 c 利用平行轴定理：利用平行轴定理： 普通物理力学例题总结 例：例： 求均匀圆盘对于通过其边缘一点求均匀圆盘对于通过其边缘一点 O 的平行轴的平行轴 的转动惯量的转动惯量: 2 mRJJ CO 222 2 3 2 1 mRmRmR R C m O 2 mdJJ c 利用平行轴定理：利用平行轴定理： 得：得： 2 mRJ 质点质点 普通物理力学例题总结 例：某飞轮直径例：某飞轮直径 d=50 cm, 绕中心垂直轴转动，转动绕中心垂直轴转动，转动 惯量惯量 J=2.4 千克千克米米2, 转速转速 n0 = 1000 转转/分，若制动时闸分，若制动时闸 瓦对轮的压力为瓦对轮的压力为 N = 50千

36、克力，闸瓦与轮间的滑动摩擦千克力，闸瓦与轮间的滑动摩擦 系数系数 = 0.4。问：制动后飞轮转过多少圈停止？问：制动后飞轮转过多少圈停止？ f d 解：解：(1) 求求 2 /4 .20 4 . 2 25. 08 . 9504 . 0 秒秒弧度弧度 由转动定律由转动定律 J M JM Nf 以向外为正以向外为正 2 d fM （2）求圈数）求圈数 2 60 2 02 2 02 0 2 n 圈圈弧度弧度43 2 270 270 4.202 30 2 0 N n 普通物理力学例题总结 例例 2：如图，设滑块：如图，设滑块 A，重物，重物 B及滑轮及滑轮 C 的质量分别为的质量分别为 MA， ，MB

37、，MC。滑轮 滑轮 C 是半径为是半径为 r 的均匀圆板。滑块的均匀圆板。滑块 A 与与 桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间桌面之间，滑轮与轴承之间均无摩擦，轻绳与滑轮之间 无滑动。求无滑动。求:（1）滑块滑块 A 的加速度的加速度 a （2）滑块）滑块 A 与滑轮与滑轮 C 之间绳的张力之间绳的张力 T1， ， （ （3）滑轮）滑轮 C 与重物与重物 B 之间绳的张力之间绳的张力 T2。 。 A B C T2 MCg T1 N 解：解： 2211 TTTT T1 MAg N A T2 MBg B 。力矩为零力矩为零通过质心,通过质心,及及对对对对NgM:CNgMA cA : 普

38、通物理力学例题总结 aMTgMB JrTrTC aMTA B2B c12 A1 列方程列方程 r a rMJ cc 2 2 1 其中其中 CBA BCA 2 CBA BA 1 CBA B MMM gMMM T MMM gMM T MMM gM a 2 1 2 1 2 1 2 1 BA AB 21 BA B C MM gMM TT MM gM a M 时时0 解方程得：解方程得： T2 MCg T1 N T1 MAg N A T2 MBg B 普通物理力学例题总结 例例3: :己知：质量为己知：质量为 m、径为径为 R 的均匀圆盘。初角速度的均匀圆盘。初角速度 , , 绕中心轴逆时针转动。空气对

39、圆盘表面单位面积的摩擦力绕中心轴逆时针转动。空气对圆盘表面单位面积的摩擦力 正比其线速度正比其线速度, ,即即 。不计轴承处的摩擦。不计轴承处的摩擦。 求：圆盘在停止转动时所转过的圈数求：圆盘在停止转动时所转过的圈数 N=?=? 0 vkf 0 m O 解：解：用积分法求力矩：在圆盘上选取半用积分法求力矩：在圆盘上选取半 径为径为 r、宽度为宽度为 dr 的圆环，圆环的圆环，圆环 上的质元具有相同的线速度上的质元具有相同的线速度 v。 则作用到圆环上的元阻力大小为则作用到圆环上的元阻力大小为: : drrfF 2d r dS 考虑盘的上下表面，故元阻力矩大小为：考虑盘的上下表面，故元阻力矩大小

40、为： dFrdM 2 总阻力矩总阻力矩 R frM 0 22rdr 4 Rk R rdrkrr 0 22 普通物理力学例题总结 利用刚体定轴转动定律利用刚体定轴转动定律 dt d JJM 分离变量，并积分：分离变量，并积分： d m Rk 0 2 0 2 0 22 0 42kR m N dt d mRRk 24 2 1 dt m Rk d t 0 2 0 2 0 m Rk 2 0 2 2 0 2Rk m 普通物理力学例题总结 例例 4：均匀直杆均匀直杆 M ，长为，长为 l，其一端挂在一个水平光滑，其一端挂在一个水平光滑 轴上而静止在竖直位置。一子弹轴上而静止在竖直位置。一子弹质量为质量为 m

41、，以水，以水 平速度平速度 v0 射入杆下端而不复出。求子弹和杆一起射入杆下端而不复出。求子弹和杆一起 运动时的角速度。运动时的角速度。 解解: 考虑考虑以以子弹和杆组成的子弹和杆组成的系统，所受外力系统，所受外力 （重力和轴支持力）对转轴的力矩为零，（重力和轴支持力）对转轴的力矩为零， 角动量守恒角动量守恒: Mlmlvmlv 2 0 3 1 m M l v0 lv 注意质点对轴的角动量的表达方式注意质点对轴的角动量的表达方式:)Mlmlmlv 22 0 3 1 ( 普通物理力学例题总结 例例5：质量为：质量为M，半径为，半径为 R 的水平放置的均匀园盘，以的水平放置的均匀园盘，以 角速度角

42、速度 1 绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水平绕垂直于园盘并通过盘心的光滑轴，在水平 面内转动时，有一质量为面内转动时，有一质量为 m 的小物块以速度的小物块以速度 v 垂直落垂直落 在园盘的边沿上，并粘在盘上，求：（在园盘的边沿上，并粘在盘上，求：（1）小物块粘在）小物块粘在 盘上后，盘的角速度盘上后，盘的角速度 2 = ？（？（2）小物块在碰撞过程小物块在碰撞过程 中受到的冲量中受到的冲量 I 的方向及大小。的方向及大小。 m v R M 解解: (1) 以以 m, M为一个系统，过程中其为一个系统，过程中其 所受合外力矩为零，角动量守恒所受合外力矩为零，角动量守恒 2 2 1 )mR(

43、JJ 盘盘 碰前碰前m对轴的角动量为零，但其动量不为零。对轴的角动量为零，但其动量不为零。 11 22 2 1 2 2 2 2 1 2 1 mM M mRMR MR mRJ J 盘盘 盘盘 普通物理力学例题总结 （2）求）求 I 应用动量定理应用动量定理 1212 vmvmPPI 碰撞前后碰撞前后 m 动量方向不同，分方向讨论。动量方向不同，分方向讨论。 RmRmI mvmvI 0 0 垂直垂直 平行平行 垂直于轴垂直于轴 平行于轴平行于轴 2 2 22 RmmvIII 垂直垂直平行平行 讨论：讨论： 1）碰撞过程中动能是否守恒？）碰撞过程中动能是否守恒？ 2）角动量守恒时，动量不一定守恒。）

44、角动量守恒时，动量不一定守恒。 方向向上方向向上 方向沿切线方向沿切线 所表示的速度不同）所表示的速度不同）和和 Rv R v Rm mv (tan 普通物理力学例题总结 解：杆解：杆地球系统，地球系统， 只有重力作功，只有重力作功， E 守恒。守恒。 初始：初始： Ek1=0， 令令 Ep1=0 例例6 6：均匀直杆：均匀直杆 m ，长为，长为 l，初始水平静止，轴光滑，初始水平静止，轴光滑，AO = l /4。 求杆下摆求杆下摆 角后，角速度角后，角速度 ?轴对杆作用力轴对杆作用力 N ? 末态：末态：mgEJE p2ok2 sin 4 , 2 1 2 l 则：则： 0mgJo sin 4

45、2 1 2 l 2222 48 7 412 1 ml) l m(mlmdJJ co 由平行轴定理由平行轴定理 l g 7 sin6 2 解得：解得： 2 00 2 1 cos 4 Jd l mgMd 0 另解（功能定理）：另解（功能定理）： 普通物理力学例题总结 应用质心运动定理：应用质心运动定理： c agN mm ctt cll mamgNt mamgNl cos sin 方向：方向： 方向：方向： g l aclsin 7 6 4 2 7 g J mg l l l a o ct cos3 cos 4 44 mgN l sin 7 13 mgN t cos 7 4 解得：解得： t mgl

46、 mgN cos 7 4 sin 7 13 普通物理力学例题总结 解：解： 例例 7：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心：如图，一匀质圆盘可在竖直平面内绕光滑的中心 垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为垂直轴旋转，初始时，圆盘处于静止状态，一质量为m 的粘土块从的粘土块从 h 高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起高度处自由落下，与圆盘碰撞后粘在一起 ，之后一起转动。已知：，之后一起转动。已知：M = 2m , = 600 求：求： (1) 碰撞后瞬间盘的碰撞后瞬间盘的 0 = ? (2) P 转到转到 x 轴时的轴时的 = ? = ? （1） m 自由下落自由下落ghv2 碰

47、前碰前 碰撞碰撞 t 极小，对极小，对 m + 盘系统，冲盘系统，冲 力远大于重力，故重力对力远大于重力，故重力对O力矩可力矩可 忽略，角动量守恒：忽略，角动量守恒： 0 2 1 (cos)mRMRmvR 22 R gh cos 2 2 0 动量不守恒？动量不守恒？ 普通物理力学例题总结 对对 m + M +地球系统，只有重力做功，地球系统，只有重力做功， E守恒，守恒，（2） P、 x 重合时重合时E P=0 。 。 令令 222 2 2 1 mRmRMRJ 22 0 JJmgR 2 1 2 1 sin R)34h( 2 g R2 1 R g mR mgR J M 2 22 普通物理力学例题

48、总结 s m M R k m1 h 例例8：匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转，轻绳跨过圆盘一：匀质圆盘可绕中心竖直轴旋转，轻绳跨过圆盘一 端与弹簧相连，另一端与质量为端与弹簧相连，另一端与质量为 m 的物体相连，弹簧的物体相连，弹簧 另一端固定在地面上，轻绳与盘无滑动，系统处于静止另一端固定在地面上，轻绳与盘无滑动，系统处于静止 状态，此时一质量为状态，此时一质量为 m1 的小物块从的小物块从 h 高度处自由落下高度处自由落下 ，与，与 m 碰撞后粘在一起。求：碰撞后粘在一起。求：m 下降的最大位移下降的最大位移 s 。 0 kxmg 解：解： 自由落体，碰时角动量守恒，自由落体，碰时角动量守恒，

49、碰后机械能守恒碰后机械能守恒 ghvvmgh 2 11 2 2 1 m R v JRvmmvRm 1 111 2 2 0 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 sxkgsmmkx R v Jvmm 01 1 1 最大位移最大位移 s 普通物理力学例题总结 l, m v0m 例例 1：一光滑水平面上静放一长为：一光滑水平面上静放一长为 l，质量为，质量为 m 的细直杆，今有一的细直杆，今有一 质量也为质量也为 m 的质点，在与杆垂直的方向上以的质点，在与杆垂直的方向上以 v0 运动，并在杆的一运动，并在杆的一 端和杆发生完全非弹性碰撞，求端和杆发生完全非弹性碰撞，求(1) 碰后质心的速度和

50、转动的角速碰后质心的速度和转动的角速 度；度；(2) 碰撞过程中损失多少机械能。碰撞过程中损失多少机械能。 解解 (1) 碰前后动量守恒，碰前后动量守恒， c vmvm 2 0 碰撞时水平方向有无外力？碰撞时水平方向有无外力？ 水平方向无外力，故质点系动量守恒。水平方向无外力，故质点系动量守恒。 质点系转动过程中转动方向上有无外力矩？质点系转动过程中转动方向上有无外力矩？ 无，惯性系中质心角动量守恒。无，惯性系中质心角动量守恒。 碰前后角动量守恒，碰前后角动量守恒， 0 2 1 vvc 0 4 l mvJ 22 ) 4 () 4 ( 12 1l m l mmlJ 2 对质心：对质心： (2)

51、碰前后损失机械能为：碰前后损失机械能为： 222 0 111 (2) 222 c mvmvJ c v 普通物理力学例题总结 c a 例例 2： 半径为半径为 R 质量为质量为 m 的均匀实心圆柱体，沿倾角为的均匀实心圆柱体，沿倾角为 的斜面的斜面 无滑动滚下，求圆柱体的受力大小及质心的加速度。无滑动滚下，求圆柱体的受力大小及质心的加速度。 解解: 对质心的平动，对质心的平动， c maf-mgsin Racfac, mg f N 对绕质心的转动，对绕质心的转动，JfR c 普通物理力学例题总结 刚体的纯滚动可以看做是绕瞬时轴的转动，如果支撑面是固定在刚体的纯滚动可以看做是绕瞬时轴的转动，如果支

52、撑面是固定在 惯性系上的，也可以对瞬时轴应用转动定律。惯性系上的，也可以对瞬时轴应用转动定律。 纯滚动中刚体与支撑面接触处的速度为零，作用于刚体的为静摩纯滚动中刚体与支撑面接触处的速度为零，作用于刚体的为静摩 擦力，不做功，机械能守恒。滚动动能为：擦力，不做功，机械能守恒。滚动动能为： JmvE ck c 2 1 2 1 2 普通物理力学例题总结 定轴定轴O R t h m v0=0 绳绳 解：解： 轮与轮与 m 为联结体为联结体，轮为定轴轮为定轴 转动、转动、 m 为平动，二者用绳联系起来。为平动，二者用绳联系起来。m 的速的速 度大小与轮边缘线速度大小相等。度大小与轮边缘线速度大小相等。

53、) 1( JTR ) 2 (maTmg T N G mg T = - T ma 例例 3. .己知：定滑轮为均匀圆盘，其上绕一细绳，绳一己知：定滑轮为均匀圆盘，其上绕一细绳，绳一 端固定在盘上，另一端挂重物端固定在盘上，另一端挂重物 m。绳与轮无相对滑动，。绳与轮无相对滑动， 绳不可伸长。轮半径绳不可伸长。轮半径 R = 0.2m，m = 1kg, , m 下落时间下落时间 t = 3 s，v0 = 0, , h = 1.5 m。求：轮对求：轮对 O 轴轴 J = ?= ? = a R (3) hat = 1 2 2 (4) 求解求解 T恒定恒定 普通物理力学例题总结 例例4：转台绕过质心的铅直轴转动：转台绕过质心的铅直轴转动,初角速度为初角速度为 0 , 转台转台 对此轴的转动惯量对此轴的转动惯量 J = 5 10-5( kgm2 ), 今有砂粒以每秒今有砂粒以每秒 1 g 速率垂直落在转台上速率垂直落在转台上, 砂粒落点距轴砂粒落点距轴 r = 0.1m, 求砂求砂