微积分疑难分析讲座第一讲

1、微积分疑难分析讲座第一讲 微积分疑难分析讲座第一讲 科类科类微积分微积分线性代数线性代数概率统计概率统计 合计合计 满分满分828234343434150150 题型题型选择题选择题填空题填空题解答题解答题合计合计 满分满分3232 24 24 94 94150150 全国硕士研究生入学统一考试全国硕士研究生入学统一考试 高等数学试卷高等数学试卷 微积分疑难分析讲座第一讲 每年两大数学竞赛活动 全校高等数学竞赛每年九月举行 全国大学生高等数学竞赛每年十月下旬举行 全校数学建模竞赛每年五月举行 全国大学生数学建模竞赛每年九月下旬举 行 微积分疑难分析讲座第一讲 杰出校友、“网易”总裁、中国“首富

2、” 丁磊笑谈精彩人生： 强者创造机会 智者抓住机会 弱者等待机会 当一个人没有奋斗目标时，任何方向对他来 说都是不顺的。 成功不会一帆风顺，会有跌倒，但不要放弃！ 诚信 勤奋 学会学习 不迷信权威！ 财富有两层含意：一是财富，一是才富！ 微积分疑难分析讲座第一讲 实 际 问 题 基 本 概 念 定 义 基 本 定 理 性 质 基 本 方 法 计 算 证 明 应 用 解 决 实 际 问 题 微积分疑难分析讲座第一讲 学习第一章的重要性 学好微积分课程在大学具有奠基性作用 函数是微积分的研究对象函数是微积分的研究对象 极限理论是微积分的理论基础极限理论是微积分的理论基础 微积分疑难分析讲座第一讲

3、一、怎样理解数列极限的一、怎样理解数列极限的“ ”定义与定义与 函数极限的函数极限的“ ”定义定义 ,N 0,:. n NNn nNaxa 1 ,) ,). N aaaN xaa 任任给给一一个个的的 邻邻域域( (，总总存存在在正正整整数数 ， 使使得得从从项项起起，数数列列对对应应的的点点全全部部落落入入( (中中 0,:|. n NNn nNxa lim n n xa 数列极限的概念数列极限的概念 , . n ax 在在点点 的的任任何何邻邻域域之之外外只只有有数数列列 的的有有限限多多个个点点 n n x: 1, 1, 1, 1, 1, 1,( 1) , . n ax 在在点点 的的任

4、任何何邻邻域域之之内内有有数数列列 的的无无限限多多个个点点 微积分疑难分析讲座第一讲 212 limlim kk kk xxa 1 ,) ,). N aaa Nx aa 任任给给一一个个的的 邻邻域域( (，总总存存在在 正正整整数数 ，使使得得从从 项项起起，数数列列对对应应的的点点 全全部部落落入入( (中中 0,:|. n NNn nNxa lim n n xa 数列极限的概念数列极限的概念 . n ax 在在点点 的的任任何何邻邻域域之之外外数数列列 只只有有有有限限多多个个点点 lim kk nnn k xxxa 的的 子子列列都都有有 微积分疑难分析讲座第一讲 )(xfy A A

5、 A 0 x 0 x 0 x x y o 0 0, 0, (, ), ( )xUxAf xA 函函数数极极限限的的概概念念 0 0 ( )()lim( ) xx f xUxf xA 在在有有定定义义， 0 0, 0, :0 |,|( )|.xxxf xA 微积分疑难分析讲座第一讲 0 ( ) ( )() f xA f xAxx 无无穷穷小小 或或 无无穷穷小小 00 (0)(0)f xf xA 00 ,(),lim() nnn n xxxUxf xA 都都有有 0 0,0,:0 |,| ( )|.xxxf xA 0 0 ( )()lim( ) xx f xUxf xA 在在有有定定义义， 函函

6、数数极极限限的的概概念念 微积分疑难分析讲座第一讲 1, ( ) 0, x D x x 为为有有理理数数 为为无无理理数数 ? 0 0( ,),lim( ) xx xD x 0 0 (lim()1, n nn xx xxD x 取取有有理理数数): ): 0 0 (lim()0. n nn xx xxD x 取取 无无理理数数) ): : 000 lim()lim()lim( ). nn nn xxxxxx D xD xD x 不不 0 00 lim( ),(),lim() nnn xxn f xAxxxUxf xA 都都有有 微积分疑难分析讲座第一讲 lim( ) x f x 000 ,xx

7、xxxx ,xxx 0 0,0,:0 |,| ( )|.xxxf xA 0 0 ( )()lim( ) xx f xUxf xA 在在有有定定义义， ( ), ( ), ( ),f xf xf x 无无穷穷大大量量： 函函数数极极限限的的概概念念 0,0,:,( )MXx xX f xM ( )f xA 微积分疑难分析讲座第一讲 二二、极极限限的的性性质质及及运运算算法法则则要要注注意意什什么么问问题题？ 00 ( )( ) lim( )lim( ) xxxx f xg x f xg x 局部有界性局部有界性; ; (2) (2) 局部保号性局部保号性; ; (3) (3) 不等式性质不等式性

8、质; ; (4) (4) 四则运算法则四则运算法则; ; (5) (5) 复合运算法则复合运算法则. 00000 lim( ), lim( )lim()limlim xxxxxxxxxx f xg xfgfg 微积分疑难分析讲座第一讲 0 ( )0 ( ) (0)0,lim2,0( )( ). 1cos (A); (B)(0)0; (C); 1 990 (D) x f xx f x fxf x x f 设设 在在 的的某某个个邻邻域域连连续续， 且且则则在在处处 不不可可导导可可导导, , 研研 且且 取取得得极极大大值值取取得得极极小小值值 分分析析 0 ( )( ) lim2(0),0,(

9、) 1cos1cos x f xf x U xx 局局部部保保号号性性 1cos0 x 0 fx 在在 取取得得极极小小值值. . ( )0(0), (0)f xfxU 微积分疑难分析讲座第一讲 : ( )( )( ) lim ( )( )0,lim( ) 2000 ( ). ( )( ) ( )(. ) xx xxf xg x g xxf x AB CD ， 则则 且且等等于于零零; ; 不不一一定定等等于于零零; ; 必必不不 ; ; 不不一一定定 研研 lim ( )( )0 lim( )lim( )0lim( )lim( ) x xxxx g xx g xxg xx lim( ) .

10、x f x 由由夹夹逼逼准准则则知知 00000 lim, lim lim()limlim xxxxxxxxxx fgfgfg 微积分疑难分析讲座第一讲 : ( )( )( ) lim ( )( )0,lim( )( ). ( )( ) ( )() 2000 . xx xxf xg x g xxf x AB CD ， 则则 且且等等于于零零; ; 不不一一定定等等于于零零; ; 必必不不 ; ; 不不一一定定 研研 ( )( )( )1,xf xg x ( )( )( ),xf xg xx lim ( )( )0, lim( )1 , xx g xxf x lim ( )( )0, lim(

11、)lim . xxx g xxf xx 不不 微积分疑难分析讲座第一讲 三三、 第第一一章章求求极极限限有有哪哪些些基基本本方方法法？ 利用左、右极限；利用左、右极限； 利用四则运算或恒等变形利用四则运算或恒等变形; ; 利用变量代换；利用变量代换； (4) (4) 利用两个重要极限；利用两个重要极限； (5) (5) 利用等价无穷小代换；利用等价无穷小代换； (6) (6) 将数列极限化为函数极限；将数列极限化为函数极限； (7) (7) 利用夾逼准则；利用夾逼准则； (8) (8) 利用单调有界准则；利用单调有界准则； (9) (9) 利用连续函数利用连续函数. . 微积分疑难分析讲座第一

12、讲 32 00 sin6 ( )6( ) lim0, lim( ) ( ) 0; 0 ( ) 6; ( ) 36; 0 () ; xx xx f xf x xx ABCD 2 20 0研研 设设则则 00000 lim( ), lim( )lim()limlim xxxxxxxxxx f xg xfgfg 333 000 sin6( )sin6( ) 0limlimlim xxx xxf xxxf x xxx 322 000 6( )6( ) limlimlim xxx xf xf x xxx 微积分疑难分析讲座第一讲 32 00 sin6 ( )6( ) lim0, lim( ) ( ) 0

13、; ( ) 6; ( ) 36; 200 ); 0 ( xx xx f xf x xx ABCD 则则 设设 32 00 2 0 ( ) sin6( ) 0limli si m ( n6 m 6) li xx x f x xxf x xx x x x x f 332 000 sin6( )( )6( ) 0limlimim 6 l xxx xxf xxf xf x x x xx 微积分疑难分析讲座第一讲 xx xxf xf x xx ABCD 32 00 sin6( )6( 2 ) lim0,lim() ( ) 000 0;( ) 6;( ) 36;(); 设设则则 3 0 6sin6sin6

14、( ) lim x xxxxf x x 33 00 6sin 6sin 6() limlim xx xxxxfx xx 2 0 6( ) lim x f x x 解解1 恒恒等等变变形形 2 22 00 1 (6 ) 66cos6 2 lim02lim36 3 xx x x xx 3 0 6( ) lim x xxf x x 微积分疑难分析讲座第一讲 32 00 sin6( )6( ) lim0,lim() () 0;() 6;() 3 20 ; 0 6(); 0 xx xxf xf x xx ABCD 设设则则 23 00 6( )6sin6 limlim xx f xxx xx 33 00

15、 sin666( ) limlim xx xxxxf x xx 3 0 sin6( ) 0lim x xxf x x 解解2 36 恒恒等等变变形形 3 0 sin666( ) lim x xxxxf x x 微积分疑难分析讲座第一讲 33 000 6sin66sin6 lim ( ) lim0lim36 xxx xxxx x xx 3 sin6( ) 0( ), xxf x x x 2 22 00 sin6 6( ) 6( ) limlim xx x xx f x x xx 解解32 sin6 ( )( ) x f xxx x 函函数数、极极限限与与无无穷穷小小的的 或或无无穷穷 关关系系

16、小小的的概概念念 32 00 sin6( )6( ) lim0,lim() () 0;() 6;() 3 20 ; 0 6(); 0 xx xxf xf x xx ABCD 设设则则 微积分疑难分析讲座第一讲 o 3 33 00 6sin6()6sin6 limlim036 xx xxxxx xx o 3 sin6( )(),xxf xx o 3 22 00 ()sin6 6 6( ) limlim xx xx f x xx xx 解解4 o 3 ()sin6 ( ) xx f x xx 高高阶阶无无穷穷 小小的的定定义义 32 00 sin6( )6( ) lim0,lim() () 0;(

17、) 6;() 3 20 ; 0 6(); 0 xx xxf xf x xx ABCD 设设则则 微积分疑难分析讲座第一讲 22 00 sin 6 6 6() limlim xx x fx x xx sin6( )0,xxf x令令 sin6 ( ) x f x x 解解5 特特殊殊函函数数检检验验法法 3 0 6sin6 lim36 x xx x 32 00 sin6( )6( ) lim0,lim() () 0;() 6;() 3 20 ; 0 6(); 0 xx xxf xf x xx ABCD 设设则则 微积分疑难分析讲座第一讲 3 2 0 coscos lim sin x xx x 例

18、例 6212 sico,n101s,.xuxuxu 令令则则，当当 1110 1 11 lim 112 u uuu 12 1 1 lim 1 u u u 1110 1 1 lim (1)(1) u u uuuu 32 12 1 lim 1 u uu u 原原式式 解解 变量代換变量代換 微积分疑难分析讲座第一讲 e 2 cos ln 3 3 0 1 lim x x x x 原原式式= = 1 0 x exx() 3 0 12cos lim1 3 2004 x x x x 研研限限 求求极极： 3 0 2cos ln 3 lim x x x x = 2 2 0 1 11 2 lim 36 x x

19、 x = 2 0 cos1 3 lim x x x = 2 0 cos1 ln 1 3 lim x x x = 1 0 xxxln() () 2 1 1 0 2 xxxcos() 0 0 等价无穷小代換等价无穷小代換 解解 微积分疑难分析讲座第一讲 4 0 sinsin(sin)sin 2008lim x xxx x 研研 3 0 sinsin(sin ) lim x xx x 0 3 sin lim xx xx x 3 0 lim0 x xx x 错错误误 1 6 sin(0)sin(sin ) sin(0)xxxxxx ? 等价无穷小代換等价无穷小代換 需要注意的问题需要注意的问题 3 0

20、 tansin1 lim 2 x xx x sinsin(sin )sin (0)xxxxx 0 sinsin(sin ) lim1, sin x xx xx 必必须须说说明明否否则则错错误误。 微积分疑难分析讲座第一讲 =e lim( ) 1( ) ( )( ) lim( )lim1( )1 (:( )1,( ). x f xg x g xg x xx f xf x xf xg x 1 0 1 2 lim 1,lim 1. x x xx exe x sin ( ) lim1 (:( )0) ( ) x f x xf x f x 利利用用两两个个重重要要极极限限求求极极限限 (1 ) () 1

21、 ( ) lim1( ):( )0 f x x f xexf x e lim( )( ) ( ) lim1( )(1 ) (:( )0,( ). x f x g x g x x f x xf xg x x x x 0 sin 1 lim1 微积分疑难分析讲座第一讲 1 2 0 lim199.1 xxnx x x eee n 求求研研 1 2 0 lim 1 xxnx x x eeen n 解解 原原式式 2 0 1 lim xxnx x eeen xn e 1 (12)n n e 1 2 n e 2 0 1(1) (1)(1) lim xxnx x eee nx e 2 000 1111 li

22、mlimlim xxnx xxx eee nxxx e 1 e lim( )( ) ( ) lim1( )(1 ) (:( )0,( ). x f x g x g x x f x xf xg x 微积分疑难分析讲座第一讲 . ( ) (0), ( ) f x A g x ( ) lim() ,( )0( )0 ( ) f x Ag xf x g x 常常数数 ( ) lim0,( )0( )0 ( ) f x Bf xg x g x ( )( )( )0f xAg xg x 微积分疑难分析讲座第一讲 0 ( ) limln 10 x f x x x 解 0 1( ) limln 1 3 x f

23、 x x xx ee 例 巳知求 11 3 00 ( )( ) lim 1,lim 1. xx xx f xf x xe xx 0 2 0 ( ) lim3 ( ) lim2 x x f x x x x f x x 0 ( ) ln 1 lim3 x f x x x x 0 ( ) lim0 x f x x 2 0 1 ( ) lim 2 0 ( ) lim 1 x f x x x x f x ee x 微积分疑难分析讲座第一讲 lim( , ,0 3 ) n nnn n abc a b c 例例 111 lim 3 x xxx x abc 原原式式 1 0 lim 3 ttt t t abc

24、 1 0 3 lim 1 3 ttt t t abc 0 3 lim 3 e ttt t abc t 1 解解 化数列极限化数列极限 为函数极限为函数极限 1 t x 微积分疑难分析讲座第一讲 lim( , ,0 3 ) n nnn n abc a b c 例例 3 abc 1ln 0 x axax 1 0 1111 explim 3 ttt t abc ttt 000 1111 explimlimlim 3 ttt ttt abc ttt 化数列极限化数列极限 为函数极限为函数极限 1 lnlnln 3 abc e 微积分疑难分析讲座第一讲 n nnnn 222 111 lim 12 22

25、1 n nn x nnn 22 lim1, lim1 1 nn nn nnn 222 111 lim1 12 n nnnn 四四、怎怎样样利利用用夹夹逼逼定定理理求求极极限限？ nnnnnn nnn yxzyzAxA,limlimlim 微积分疑难分析讲座第一讲 222 12 lim199 2 5 1 n n nnnnnnn 研研 222 12 n n x nnnnnnnnn 222 12 111 n n x nnnnnn 222 1111 lim 2 12 n nnnn 22 1(1)1(1) 2221 n n nn n x nnnn 解解 夹逼定理夹逼定理 微积分疑难分析讲座第一讲 lim

26、1 n n n 例例 证证明明： 1 11 n n n 2 () ?n 1 n n 1 1 (1 11) n n n 1nn n 1 2 n 12 1212 ,0, n n nn aaa a aaa aa n 微积分疑难分析讲座第一讲 lim1 n n n 例例 证证明明： 2 11 n nn n 1 ()n 1 n n 2 1 (1 11) n n nn 22nn n 22 1 nn 证证1 夹逼定理夹逼定理 12 1212 ,0, n n nn aaa a aaa aa n 微积分疑难分析讲座第一讲 ()11 n nnn nnn 2 (1) 1(1)(1)(1) 2! nnnn n n n

27、nnn lim1 n n n 例例 证证明明： 2 0 |1|0 () 1 n nn n 2 2 (1)(1) 1 n nn n 2 (1) (1) 2 n n n nn 证证2 用二项式定理用二项式定理 12 lim1 nn n n n 证证明明： 微积分疑难分析讲座第一讲 五、怎样利用单调有界定理证明五、怎样利用单调有界定理证明 数列极限存在并求极限？数列极限存在并求极限？ 单单调调增增加加有有上上界界的的数数列列必必有有极极限限存存在在 单单调调减减少少有有下下界界的的数数列列必必有有极极限限存存在在 微积分疑难分析讲座第一讲 11 03,(3) (1,2,) : 2002 , nnn

28、n xxxxn x 设设 证证明明的的极极限限限限 研研 并并求求极极 分析lim(3) n n xaaaa 令令 证证1 1 11 13 (3) 22 xx 3 0, 2 aa 11 0330,xx 1 13 0(3)(3) 22 nnnnn xxxxx , 3 . 2 n x 由由归归纳纳法法知知 有有上上界界 211 1 (3)3 1 nn n nnn xxx xxx 1 0 nn xx 还还可可证证 3 0 2 n x 设设 故故数数列列的的极极限限存存在在. . 单调有界定理单调有界定理 1 ,. nnn xxx 211 0(3)xxx 微积分疑难分析讲座第一讲 11 03,(3)

29、(1,2,) : 2002 , nnn n xxxxn x 设设 证证明明的的极极限限 并并求求极极限限. . 证证2 2 0, n x 由由题题设设知知 1 3 0, 2 n x 22 1 30 nnn xxx , 222 11 333 (,)()( ), 222 nnnn xxxyxx 滿足滿足方方程程：且且 222 1 33 ()( )(1,2) 22 nn xxn 1 1 (,) 4 nn xx 点点在在上上左左 圆圆周周上上， 1nn yxxx 故故 . . 微积分疑难分析讲座第一讲 证证 ln(1)(0) 1 111 ln(1)() 1 x xxx x nN nnn 111 1 2

30、 ln() 23 011 n n x xnnN n 证证明明数数列列的的极极限限存存 研研 在在： 1nn xx 11 ln(1) 1nn 0. n x 单单调调递递减减 1 ln(1)ln 1 nn n 微积分疑难分析讲座第一讲 31 ln2lnlnln 2 n n n 3 41 ln 2ln 2 31 nn n nn 2011 111 1ln() 23 n n x xnnN n 证证明明数数列列的的极极限限存存在在： 11 ln(11)ln(1)ln(1)ln 2 n xn n 11 ln(1) nn ln(1)ln00. n nnx 有有下下界界 111 l0.5772156im 1ln

31、 2 649 3 n n n C 欧欧拉拉常常数数 微积分疑难分析讲座第一讲 欧拉欧拉 ( Euler, 17071783 )瑞士数学家、物理学家瑞士数学家、物理学家. “没有一个人能像他那样多产，没有一个人能像他那样多产， 像他那样巧妙地把握数学；也沒有像他那样巧妙地把握数学；也沒有 一个人能收集和利用代数、几何、一个人能收集和利用代数、几何、 分析的手段去产生那么多令人欽佩分析的手段去产生那么多令人欽佩 的成果。的成果。” 一生论著一生论著800800多种，发表多种，发表500500多种，平均每年多种，平均每年 800800页论著，页论著，欧拉全集欧拉全集共共7272卷。卷。 双目失明双目

32、失明1717年，口述年，口述400400多篇论文与几本专著多篇论文与几本专著。 数学家的英雄数学家的英雄 数学界的莎士比亚数学界的莎士比亚 微积分疑难分析讲座第一讲 动动物物繁繁殖殖问问题题 11 () nnn n nn FFF Fn FF 设设有有一一对对新新出出生生的的小小兔兔 雌雌雄雄各各一一，两两个个月月之之后后成成年年，从从第第三三 个个月月开开始始每每个个月月产产一一对对小小兔兔; ;且且新新生生的的每每对对小小兔兔，也也在在两两个个月月 后后成成年年, ,第第三三个个月月开开始始每每个个月月产产一一对对小小兔兔. .( (假假定定兔兔子子均均无无死死亡亡) ). . 设设 是是第

33、第 月月兔兔对对总总数数, ,兔兔群群繁繁殖殖增增长长率率为为 1 1, , Fibonacci Fibonacci 1 1202 51 lim10.618 2 n n n n F F F 该该问问题题由由意意大大利利数数学学家家 于于 年年提提出出， 其其中中 称称为为 数数列列， = =正正是是黄黄金金分分割割数数. . 1 lim1,. n n n F F 证证明明 并并求求此此极极限限值值 微积分疑难分析讲座第一讲 第第n月月 出生期出生期 兔对数兔对数 成长期成长期 兔对数兔对数 成年期成年期 兔对数兔对数 各月兔各月兔 对总数对总数 1 2 3 4 5 6 7 ( 11 2,3,4

34、,) nnn FFFn 1 1 1 1 112 1113 1225 23 3 8 35513 微积分疑难分析讲座第一讲 1 2 1.5 1.6 6 1.6 1.6 2 1.6 15 1.6 19 1.6 17 1.6 18 n 22 ,1, nn aa n F 461 1n n F F 7910 11281321334 55 1 523 2 8 3 2 5 3 5 8 5 1n n n F a F 89 55 13 8 21 13 34 21 55 34 n a 2121 ,2, nn aa O 2n a 21n a 12 微积分疑难分析讲座第一讲 1 1 1 1,1(2,3,), lim n

35、 n n n aan a a 已已知知 证证明明极极限限 存存在在，并并求求极极限限值值 11 1 1 11 11 nnn n n nnn n FFF a F FFa F 1n n n F a F 212122 ,2,1, nnnn aaaa 观观察察得得： . n a即即既既有有上上界界又又有有下下界界 11 11 1 2,12, nnn n aaa a 设设则则由由 知知 12 1,2,aa 2. n a 用用归归纳纳法法证证有有界界：1 1 微积分疑难分析讲座第一讲 212 lim, lim. nn nn aa 212 ,. nn aa 即即有有上上界界有有下下界界 2123 222 1

36、1 11, nn nn aa aa 222 2121 11 11, nn nn aa aa 13242121 , nn aa aaaa , , 设设 則則 212 ,. nn aa 用用归归纳纳法法证证： 1 1 1 ,1 n nn nn F aa Fa 微积分疑难分析讲座第一讲 212 lim, lim, nn nn aAaB 令令 1 1515 limlim 22 n n nn n F ABa F 1 51 :lim0.618 2 nn n n FF F 繁繁殖殖增增长长率率的的极极限限 1 1 1 n n a a 在在 两两边边取取极极限限得得 1 1 1 ,1 n nn nn F aa

37、 Fa 11 1,1,AB BA 微积分疑难分析讲座第一讲 数学家 华罗庚 微积分疑难分析讲座第一讲 优选法 微积分疑难分析讲座第一讲 数学家 华罗庚 微积分疑难分析讲座第一讲 华罗庚 陈景润 微积分疑难分析讲座第一讲 1985年华罗庚 在日本演讲 微积分疑难分析讲座第一讲 华罗庚华罗庚 (1910-1985) 杰出数学家杰出数学家江苏金坛县人江苏金坛县人 1924 初中毕业辍学在家,料理杂货铺并自学数学 1930 发表关于五次方程的论文受到熊庆来教授赞 赏，被邀到清华大学工作, 任管理员,助教,讲师 1936-1938 到英国剑桥大学做访问学者 1938-1946 回国任昆明西南联大教授 1

38、946-1950 到美国普林斯顿大学等校任教授 1950 回国任清华大学任教授,中国科学院数学研究 所所长,中国数学会理事长,中国科学院副院长等职 1979 以后先后到英、法、德、美等国访问讲学， 受到热烈欢迎与高度评价 1985 在日本做学术报告时心脏病发作去世 微积分疑难分析讲座第一讲 华罗庚：华罗庚：“聪明在于学习，天才在于积累” “有的同志觉得我在数学方面有什么天才， 其实从我身上是找不到这种天才的痕迹的。 我读小学时，因为成绩不好就没有拿到毕业 证书，初一时数学也是经过补考才及格的， 但从初二以后就发生了根本转变，我认识到 既然我的资质差些，就应该多用点时间来学 习，这样数学成绩就不

39、断提高。在基本技巧 烂熟之后，往往能够一个钟头就看完人家十 天半月也解不透的文章，前一段时问的加倍 努力，在以后却收到了意想不到的效果。” 微积分疑难分析讲座第一讲 0 00 ( )() lim( )() xx f xU xf xf x 在在有有定定义义，且且 00 0,0,:|, |( )()|.xxxf xf x ( 000 0 lim()() x f xxf xxxx 00 0 lim0()() x yyf xxf x 000 (0)(0)()f xf xf x 0 ( )f xx在在点点 连连续续 六、怎样理解连续函数的概念？六、怎样理解连续函数的概念？ 怎样求函数的间断点并判定其类型

40、？怎样求函数的间断点并判定其类型？ 微积分疑难分析讲座第一讲 1, () 0, x D x x 为为 有有 理理 数数 为为 无无 理理 数数 0 0( ,), lim( ) , (). xx xD x 不不 处处处处不不连连续续 , ( ) ( ) 0, xx f xx D x x 为为有有理理数数 为为无无理理数数 ? 只只在在一一点点连连续续，而而在在其其他他点点都都不不连连续续的的函函数数 0 .x 为为第第二二类类间间断断点点 ( )D D x ?处处处处不不连连续续的的函函数数复复合合成成处处处处连连续续的的函函数数 0 lim( )0(0) x f xf 1 微积分疑难分析讲座第

41、一讲 1 x x 解解 1 (1)xx 0 ( )().xf x 是是 的的第第二二类类 无无穷穷 间间断断点点 1 01() x x xefx 1()()xfx 是是 的的第第一一类类 跳跳跃跃 间间断断点点; ; ( )0f x :1,0;xx 间间断断点点 2005研研 1 1 ( ). 1 x x f x e 求求 的的间间断断点点并并指指出出其其类类型型 1 x x 1 (01)xx 1 0( )1 x x ef x 1 x x e 微积分疑难分析讲座第一讲 2 1 ( )lim. 1 n n x f x x 求求 的的间间断断点点并并指指出出其其类类型型 2 0 () n xn 解

42、解 1|:x 1:( )0.xf x 11:( ),xf x ()0fx 2 () n xn 1|:x 1998研研 ( )1f xx 0,1, 0,1, ( )1,11 1,1, 0,1, x x f xxx x x ( 10)( 10)0( 1)fff 1x 连连续续 (10)2,(10)0,ff 1x 为为跳跳跃跃间间断断点点. . 微积分疑难分析讲座第一讲 ( ) , ( ) , .f xC a bf xa b有有界界性性定定理理：在在 上上有有界界 ( ) , ,( )( ),( ( ),( ) ( ( ),( )( , ),( ). f xC a bf af bf af b f b

43、f aa bf 介介值值定定理理： 或或 使使 ( ) , , (,)( , )( ). f xC a bMm m Ma bf 推推论论：其其最最大大、小小值值分分别别为为 、 ， 使使 () ( ) , ,( )( )0( , ),( )0.f xC a bf af ba bf 零零点点定定理理 根根的的存存在在定定理理 ： 使使 ( ) , ( ) , . f xC a b f xa b 最最值值定定理理： 必必在在上上取取得得最最大大值值与与最最小小值值 七、怎样理解与运用闭区间上连续函数的性质七、怎样理解与运用闭区间上连续函数的性质? 微积分疑难分析讲座第一讲 ( ) , , ( ,0

44、, ( , )( )( )() ( ), f xC a bacdbp q a bp f cq f dpq f 设设 ，常常数数) ) 证证明明：使使 例例 分分析析 ( )( ) ( , )( ) () pf cqf d a bf pq 使使 ()( )( )()pq mpf cqf dpq M ( )( ) () pf cqf d m pq M ( ),( ),mf cMmf dM ( ),( )pmpf cpMqmqf dqM maxmin ( , ,f xC a bfM fm ) 介介值值定定理理 微积分疑难分析讲座第一讲 ( , , ( ,0, ( , )( )( )() ( ), f

45、 xC a bacdbp q a bp f cq f dpq f 设设 ) )，常常数数) ) 证证：使使 例例 分分析析 ( )( ),( )( )0( , ),( )0f cf dF cF dc dF 若若则则 ( )( )( )() ( ) ( )( )F dpf cqf dpq f dp f cf d 2 ( )( ) ( )( )0F cF dpq f cf d ( )( )( )() ( )F xpf cqf dpq f x 证令 ( )( )( )()( )( )( )F cpf cqf dpq f cq f df c ( )( )()( )0.pf cqf dpq f x 需证方程 有根 ( )( )( )( )0;f cf dF cF dcd 若若，则则或或 微积分疑难分析讲座第一讲 (,), ( ) (,)( ). f xCf f xx f 设设 ) )且且 ， 证证明明：使使 例例 分分析析 ( ),f f xx 分分析析条条件件 ( )0;f xx 需需证证方方