【公开课课件】高中数学选修1-2 5.2.2间接证明：反证法

1、反证法 . , , . 证法证法 有时会不自觉地使用反有时会不自觉地使用反决某些数学问题时决某些数学问题时 在日常生活或解在日常生活或解生生于这种方法其实并不陌于这种方法其实并不陌 我们对我们对种基本方法种基本方法反证法是间接证明的一反证法是间接证明的一 ? ., .2 ,3 释这种现象吗释这种现象吗 你能解你能解朝上朝上都不能使硬币全部反面都不能使硬币全部反面翻转翻转 那么无论怎样那么无论怎样枚硬币枚硬币次用双手同时翻转次用双手同时翻转 每每朝上的硬币朝上的硬币枚正面枚正面桌面上有桌面上有思考思考 .指有面额的那面指有面额的那面 . , 里采用反证法里采用反证法 我们这我们这但是但是明的方法

2、解释明的方法解释上述现象可以用直接证上述现象可以用直接证 .以使硬币全部反面向上假设经过若干次翻转可 .,3 ,3, , 即要翻转奇数次次个奇数之和翻转 需要枚硬币全部反面朝上时所以翻转奇数次 都需要上变为反面朝上由于每枚硬币从正面朝 .3 , .,2 3 ,2 枚硬币全部反面朝上能使 即无论怎样翻转都不原结论正确说明假设错误 这个矛盾即偶数次的倍数翻转的次数只能是 枚硬币被枚硬币翻转但由于每次用双手同时 . )absurdity toreduction( , , , 证明方法叫做证明方法叫做 这样的这样的从而证明了原命题成立从而证明了原命题成立错误错误 因此说明假设因此说明假设最后得出矛盾最

3、后得出矛盾的推理的推理 经过正确经过正确假设原命题不成立假设原命题不成立一般地一般地 反证法反证法 .CD,AB ., CD,AB, 22.24 不能互相平分不能互相平分求证求证 且不全为直径且不全为直径的两条相交弦的两条相交弦 为圆为圆如图如图例例 .CBDCAD ,ADBACB,ACBD ,CD,AB 故为平行四边形则 互相平分假设证明 所以为圆内接四边形因为,ABCD .180CBDCAD,180ADBACB 00 .CD,AB,., CD,AB.90CAD,90ACB 00 不能互相平分因此与已知矛盾为直径 均故对角线则 ?还还有有其其他他的的证证明明方方法法吗吗 A BC D 22.

4、2 图图 . CD,AB. , CD,AB, 22.24 能互相平分能互相平分 不不求证求证全为直径全为直径 且不且不为圆的两条相交弦为圆的两条相交弦 如图如图例例 .CBDCAD ,ADBACB, ACBD, CD,AB 故边形 为平行四则平分 互相假设证明 所以为圆内接四边形因为,ABCD .180CBDCAD,180ADBACB 00 .CD,AB,., CD,AB.90CAD,90ACB 00 不能互相平分因此与已知矛盾为直径 均故对角线则 ?还还有有其其他他的的证证明明方方法法吗吗 A BC D 22.2 图图 .25是是无无理理数数求求证证例例 .)Nn ,Zm,n,m( n m

5、, .,2. , 推出矛盾推出矛盾下面我们看看能否由此下面我们看看能否由此的形式的形式 互质互质形如形如任一有理数都可以写成任一有理数都可以写成知道知道 我们我们那么它就是有理数那么它就是有理数不是无理数不是无理数假设假设反证法反证法 我们采用我们采用数比较困难数比较困难直接证明一个数是无理直接证明一个数是无理分析分析 , n m 2, n,m , ., 2 使得 的正整数存在互质是 于那么它就是有理数数 不是无理假设证明 .1n,m , 1 n,m, n,m 即即大公约数是大公约数是 的最的最是指是指互质互质 两个正整数两个正整数 .n,m.n,k2n ,n2k4,kk2m .m,n2m,

6、n2m 22 22 22 互质矛盾这与也是偶数所以即 从而有是正整数于是可设 为偶数所以因此从而有 .2,是无理数从而误由上述矛盾可知假设错 . ,; ,1, ,2 步伐步伐大大推动了数学前进的大大推动了数学前进的 第一次危机第一次危机从而引发了数学史上的从而引发了数学史上的理数理数 这就是无这就是无是不可公度的是不可公度的还有一类数与还有一类数与外外 之之使人们认识到在有理数使人们认识到在有理数的发现的发现正是正是 ., ,. , 、事实矛盾等、事实矛盾等或与定义、公理、定理或与定义、公理、定理假设矛盾假设矛盾 或与或与条件矛盾条件矛盾这个矛盾可以是与已知这个矛盾可以是与已知理下得出矛盾理下

7、得出矛盾 的推的推反证法的关键是在正确反证法的关键是在正确由上面的例子可以看出由上面的例子可以看出 ! , ., ,)( : , 全局拱手让予对方全局拱手让予对方 数学家索性把数学家索性把或顶多一子或顶多一子棋对奕者不外牺牲一卒棋对奕者不外牺牲一卒 象象它还要高明它还要高明势的让棋法势的让棋法局时牺牲一子以取得优局时牺牲一子以取得优 比起象棋开比起象棋开武器武器是数学家最有力的一件是数学家最有力的一件反证法反证法 归谬法归谬法赞它赞它数学家哈代曾经这样称数学家哈代曾经这样称国近代国近代 英英问题的有力工具问题的有力工具疑难疑难反证法常常是解决某些反证法常常是解决某些 ., .) (, 用及应用用及应用进一步了解反