椭圆及其标准方程-PPT学习教案

1、会计学1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程- 天体的运行天体的运行 第1页/共44页 第2页/共44页 第3页/共44页 生活中生活中 的椭圆的椭圆 （二）突出认知（二）突出认知 、建构概念、建构概念 第4页/共44页 如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形 的物件呢？的物件呢？ 生生 活活 中中 的的 椭椭 圆圆 一一 椭圆的画法椭圆的画法 第5页/共44页 F1F 2 第6页/共44页 动画演示 （三）注重本质（三）注重本质 、理解概念、理解概念 第7页/共44页 一、椭圆的定义：一、椭圆的定义： 平面内与两个定点平面内与两个定点F

2、1、F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数 （大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做椭圆椭圆， 这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距. 问题问题1：当常数等于当常数等于|F1F2|时时，点，点M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？ 问题问题2：当常数小于当常数小于|F1F2|时时，点，点M的轨迹的轨迹 是什么？是什么？ 线段线段F1F2 轨迹不存在轨迹不存在 第8页/共44页 绳长绳长等于等于两定点间两定点间 距离即距离即2a=2c 时时, 绳长绳长小于小于两定点间两定点间 距离即距离即2a2c（？）；（？）； 4、

3、如果如果2a = 2c，则，则M点的点的轨迹是线段轨迹是线段F1F2. 5、如果如果2a 2c)的动的动 点点M的轨迹方程。的轨迹方程。 解：以解：以F1F2所在直线为所在直线为X轴，轴， F1F2 的中的中 点为原点建立平面直角坐标系，则焦点点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2 的坐标分别为的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。 (- c,0) (c,0) (x,y) 设设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，为所求轨迹上的任意一点， 则则:|MF1|+ |MF2|=2a aycxycx2)()(: 2222 即 第13页/共44页 O X Y F1F2 M (- c,0) (c,0

4、) (x,y) 两边平方得：两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 即：即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 因为因为2a2c，即，即ac，所以，所以 a2-c20，令，令a2-c2=b2，其，其 中中b0，代入上式可得：，代入上式可得： 1 2 2 2 2 b y a x 2222 )(2)(ycxaycx所以 2222222 )()(44)( :ycxycxaaycx两边平方得 222 )(:ycxacxa即 b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以两边同时除以a2b2得：得： (ab0) 这个方程叫做这个方程叫做椭圆的标准方程，

5、椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的它所表示的椭圆的焦点在焦点在x 轴上。轴上。 第14页/共44页 a A1 y OF1F2x B2 B1 A2 c b 三、三、椭圆方程的几何意义：椭圆方程的几何意义： x y o 1F2F 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 第15页/共44页 如果椭圆的如果椭圆的焦点在焦点在y轴上轴上， 焦点是焦点是F1(o,-c)、F2(0,c)方程是怎样呢？方程是怎样呢？ 椭圆的第二种形式椭圆的第二种形式： 1 o F y x 2 F M 0 1 2 2 2 2 ba b x a y 第16页/共44页 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 0 1

6、2 2 2 2 ba b x a y 图图 形形 方方 程程 焦焦 点点 F( (c，0)0)在轴上在轴上 F(0(0，c) )在轴上在轴上 a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2 P=M|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0) 定定 义义 12 y o FF M x 1 o F y x 2 F M 四、两类标准方程的对照表： 注注: : 哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上哪个分母大，焦点就在相应的哪条坐标轴上 ！ 第17页/共44页 O X Y F1F2 M (- c,0) (c,0) Y X O F1 F2 M (0,- c) (0 , c) )0(1

7、2 2 2 2 ba b y a x )0(1 2 2 2 2 ba b x a y 椭圆的标准方程的再认识： （1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1 （3）椭圆的标准方程中三个参数）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足满足a2=b2+c2。 （4）由椭圆的标准方程可以求出三个参数）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的的 值。值。 （2）椭圆的标准方程中，）椭圆的标准方程中，x2与与y2的分母哪一个大，则焦点在哪的分母哪一个大，则焦点在哪 一个轴上。一个轴上。 第18页/共44页 例例 写出适合下列条件的椭圆的标

8、准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在，焦点在 x 轴轴上上； (2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；，焦点在坐标轴上； 1 16 2 2 y x 1 16 2 2 y x1 16 2 2 y x 或 、 第19页/共44页 例例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：、求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），）， 椭圆上一点椭圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。 (2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），）， 且椭圆经过点且椭圆经过点P

9、 。 ) 2 3 , 2 5 ( 第20页/共44页 (1)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-4，0）、（）、（4，0），椭），椭 圆上一点圆上一点P到两焦点距离之和等于到两焦点距离之和等于10。 解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程轴上，所以可设它的方程 为：为： )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 2a=10，2c=8即 a=5，c=4 故 b2=a2-c2=52-42=9 所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为：1 925 22 yx 第21页/共44页 (2)两焦点的坐标分别是（两焦点的坐标分别是（-2，0）、（）、（2，0），且），

10、且 椭圆经过点椭圆经过点P 。 解：因为椭圆的焦点在解：因为椭圆的焦点在X轴上，所以可设它的方程为：轴上，所以可设它的方程为： )0(1 2 2 2 2 ba b y a x 由椭圆的定义可知： 又因又因 c=2， 所以椭圆的标准方程为：所以椭圆的标准方程为： 1 1 6 6 y y 1 10 0 x x 2 22 2 ) 2 3 , 2 5 ( 102) 2 3 ()2 2 5 () 2 3 ()2 2 5 (2 2222 a 1010所以a所以a 故故 b2=a2-c2=10-22=6 第22页/共44页 课堂练习2： 1 1625 )1( 22 yx 1 1 )5( 2 2 2 2 m

11、y m x 1 1616 )3( 22 yx 0225259)4( 22 yx 123)2( 22 yx 1 1624 )6( 22 k y k x 1.口答：下列方程哪些表示椭圆？口答：下列方程哪些表示椭圆？ 22,b a 若是若是,则判定其焦点在何轴？则判定其焦点在何轴？ 并指明并指明 ，写出焦点坐标，写出焦点坐标. ? 第23页/共44页 1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件 的的m的取值范围：的取值范围： 表示一个圆；表示一个圆； 1 m16 y m25 x 22 2 9 m mm m m 1625 016 025 析：方程表示圆需要满足的条件：析：方程表示

12、圆需要满足的条件： 第24页/共44页 1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件 的的m的取值范围：的取值范围： 表示一个圆；表示一个圆； 表示一个椭圆表示一个椭圆； 1 m16 y m25 x 22 2 9 )1(m 2 9 2516mm且 mm m m 1625 016 025 析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件： 第25页/共44页 1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件 的的m的取值范围：的取值范围： 表示一个圆；表示一个圆； 表示一个椭圆表示一个椭圆； 1 m16 y m25 x 22 2 9 )1

13、(m 2 9 2516mm且 mm m m 1625 016 025 析：方程表示一个椭圆需要满足的条件：析：方程表示一个椭圆需要满足的条件： 第26页/共44页 1、方程、方程 ，分别求方程满足下列条件，分别求方程满足下列条件 的的m的取值范围：的取值范围： 表示一个圆；表示一个圆； 表示一个椭圆；表示一个椭圆； 表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆。轴上的椭圆。 1 m16 y m25 x 22 2 9 )1(m 2 9 2516)2(mm且 2 9 16m 析：表示焦点在析：表示焦点在x轴上的椭圆需要满足的条件：轴上的椭圆需要满足的条件： mm m m 1625 016 025 第27页/共

14、44页 _ _,1A 22 轴上的充要条件是表示焦点在 表示椭圆的充要条件是思考：方程 y Byx 解题感悟：解题感悟： 方程表示椭圆时要看清楚限方程表示椭圆时要看清楚限 制条件，焦点在哪个轴上。制条件，焦点在哪个轴上。 0 , 0, 0 BA BABA 第28页/共44页 练习练习3：若方程：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆，求轴上的椭圆，求k的取值范围。的取值范围。 1 1 4 1 14 22 22 k yx kyx得解：由 方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭 圆 4 1 k 1 解之得：0k4 k的取值范围为0k 0 xy ab ab 22 22

15、+=1 0 xy ab ba 分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上 222 =+abc 平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等 于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹 12 - , 0 , 0，FcFc 1 2 0,-0,，FcFc 标准方程标准方程 不不 同同 点点相相 同同 点点 图图 形形 焦点坐标焦点坐标 定定 义义 a、b、c 的关的关 系系 焦点位置的判断焦点位置的判断 x y F1 1F2 2 P Ox y F1 1 F2 2 P O 复习旧知 第34页/共44页 ) 1 , 32(),2, 3(BA x2/15+

16、y2/5=1 分析一：当焦点在x轴上时， 设方程x2/a2+y2/b2=1 当焦点在x轴上时， 设方程x2/b2+y2/a2=1 分析二：设方程mx2+ny2=1(m0,n0) 第35页/共44页 22 1 1 2 22 2 2 2 cm y m x y m y cm x x 轴上可以设方程为若知椭圆的焦点在 轴上可以设方程为若知椭圆的焦点在 第36页/共44页 例例2、在圆上任取一点、在圆上任取一点P，过点，过点P作作x轴轴 的垂线段的垂线段PD,D为垂足。当点为垂足。当点P在圆上运动时，线在圆上运动时，线 段段PD的中点的中点M的轨迹是什么？为什么？的轨迹是什么？为什么？ 4 22 yx

17、o x y P D 相关点法相关点法(转移法转移法):即利用中间变量求曲线方程即利用中间变量求曲线方程. 第37页/共44页 的轨迹。求点上，并且在点垂线段 轴作向从这个圆上任意一点变式：已知圆 MMPPMPPMPP xPyx , 2, , 9 22 y x o P P M 2 2 1 9 x y 第38页/共44页 P 的最大值）（ 的面积）三角形（ 求若 是两个焦点上的一点，是椭圆：例 21 21 0 21 21 22 2 1 60 ,1 64100 3 PFPF PFF PFF FF yx P 第39页/共44页 100 100) 2 (2 2010)2( 3 364 sin 2 1 3 256 144320 1443)( 144 1260cos2- ) 1 (20 2121 221 212121 21 2121 2121 2 21 2 21 21 2 2 2 1 20 21 2 2 2 1 21 21 的最大值为”成立时“当且仅当 ，又 中由余弦定理知在 ，解：由椭圆定义知 PFPFPFPF PFPF PFPFPFPFPFPF PFPFa PFFPFPFS PFPFPFPF PFPFPFPF PFPFPFPF PFPFPFPF PFF PFPF 2 tan 1 2 21 PFF bPFFS 焦点三角形面积公式： 第40页/共44页 的最大值。）求（ 面积，求）若（ 椭