微积分英文版

1、2021/3/101 CHAPTER 3 THE DERIVATIVE 2021/3/102 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton 2021/3/103 2.1 nTwo Problems with One Theme 2021/3/104 Tangent Lines 联系: 0 )( xx xf)( 0 x f 注意注意: 有什么区别与联系 ? )()( 00 xfxf ？ 与导函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1014 二、导数的定义二、导数的定义 定义

2、定义1 . 设函数)(xfy 在点 0 x 0 lim xx 0 0) ()( xx xfxf x y x 0 lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 存在,)(xf并称此极限为 )(xfy 记作: ; 0 xx y ; )( 0 x f ; d d 0 xx x y 0d )(d xx x xf 即 0 xx y )( 0 x f x y x 0 lim x xfxxf x )()( lim 00 0h xfhxf h )()( lim 00 0 则称函数 若 的某邻域内有定义 , 在点 0 x处可导可导, 在点 0 x的导数导数. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1

3、015 运动质点的位置函数)(tfs s o 0 t )( 0 tf)(tf t 在 时刻的瞬时速度 0 t lim 0 tt v )()( 0 tftf 0 tt 曲线 )(:xfyC在 M 点处的切线斜率 x y o )(xfy C N T 0 x M x lim 0 xx k )()( 0 xfxf 0 xx )( 0 t f )( 0 x f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1016 0 lim xx 0 0) ()( xx xfxf x y x 0 lim )()( 0 xfxfy 0 xxx 若上述极限不存在 ,在点 不可导. 0 x 若 ,lim 0 x y x

4、 也称)(xf在 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导, 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作:; y ; )(x f ; d d x y . d )(d x xf 就说函数 就称函数在 I 内可导. 的导数为无穷大 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.6 Leibniz Notation 2021/3/1017 Differentiability implies continuity. nIf the graph of a function has a tangent at point c, then there is no “jump” on the graph at th

5、at point, thus is continuous there. 2021/3/1018 处可导在点xxf)( 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系 定理定理. 处连续在点xxf)( 证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim 0 xf x y x 存在 , 因此必有 ,)( xf x y 其中0lim 0 x 故xxxfy)( 0 x 0 所以函数)(xfy 在点 x 连续 . 注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导. 反例反例:xy x y o xy 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/10

6、19 2. 设 )( 0 x f 存在 , 则 ._ )()( lim 00 0 h xfhxf h 3. 已知 ,)0(,0)0( 0 kff则 ._ )( lim 0 x xf x )( 0 x f 0 k 4. 若),(x时, 恒有,)( 2 xxf问)(xf 是否在 0 x 可导? 解解: 由题设)0(f0 0 )0()( x fxf x 0 由夹逼准则 0 )0()( lim 0 x fxf x 0 故)(xf在0 x 可导, 且 0)0( f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1020 2.3 nRules for Finding Derivatives 2021/

7、3/1021 常数和基本初等函数的导数 ) (C0 ) ( x 1 x ) (sin xxcos ) (cosxxsin ) (tan xx 2 sec ) (cot xx 2 csc ) (secx xxtansec ) (cscxxxcotcsc ) ( x aaa x ln ) ( x e x e ) (log x a axln 1 ) (ln x x 1 ) (arcsin x 2 1 1 x ) (arccosx 2 1 1 x ) (arctanx 2 1 1 x ) cot(arcx 2 1 1 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1022 例例. 求椭圆 1

8、916 22 yx 在点)3,2( 2 3 处的切线方程. 解解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x yy 9 2 0 y 2 3 2 3 x y y x 16 9 2 3 2 3 x y 4 3 故切线方程为3 2 3 y 4 3 )2( x 即 03843 yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1023 四则运算求导法则四则运算求导法则 定理定理.具有导数都在及函数xxvvxuu)()( )()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 )()( )()() 1 (xvxuxvxu )()()()( )()()2(xvxuxvxu

9、xvxu )( )()()()( )( )( )3( 2 xv xvxuxvxu xv xu 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . )0)(xv 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1024 此法则可推广到任意有限项的情形. 证证: 设, 则 vuvu )() 1 ( )()()(xvxuxf h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h xvxuhxvhxu h )()( )()( lim 0 h xuhxu h )()( lim 0 h xvhxv h )()( lim 0 )()(xvxu故结论成立. wvuwvu)( ,例如 机动 目录 上页

10、 下页 返回 结束 例如, 2021/3/1025 (2) vuvuvu ) ( 证证: 设, )()()(xvxuxf 则有 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h xvxuhxvhxu h )()()()( lim 0 故结论成立.)()()()(xvxuxvxu h hxu h )( lim 0 )(xu )(hxv h xv)( )(xu )(hxv 推论推论: ) () 1uC ) ()2wvu u C wvuwvuwvu ) log()3x a a x ln ln axln 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) 2021/3/1026 )()(

11、lim 0 xvhxvh )()( )()()()( xvhxv hxvxuxvhxu h )()(xvxu (3) 2 v vuvu v u 证证: 设)(xf则有 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h h lim 0 , )( )( xv xu )( )( hxv hxu )( )( xv xu h hxu )( )(xu )(xv h hxv )( )(xu )(xv 故结论成立. )( )()()()( 2 xv xvxuxvxu 推论推论: 2 v vC v C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( C为常数 ) 2021/3/1027 例例. 解解: xsin4

12、 1( 2 1 )1sin , )1sincos4( 3 xxxy. 1 x yy 及求 y )(x x )1sincos4( 2 1 3 xx x 2 3( xx) 1x y1cos4)1sin43( 1cos21sin 2 7 2 7 )1sincos4( 3 xx )1sincos4( 3 xx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1028 有限次四则运算的求导法则 )(vuvu ) ( uCu C ) ( vuvuvu v u 2 v vuvu ( C为常数 ) )0( v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1029 2.4 nDerivatives of

13、 Trigonometric Functions 2021/3/1030 FormulaFormula .)(sin)(sin,sin)( 4 x xxxxf及求设函数 解解 h xhx x h sin)sin( lim)(sin 0 2 2 sin ) 2 cos(lim 0h h h x h .cos x .cos)(sinxx即 44 cos)(sin xx xx. 2 2 2021/3/1031 f(sin x ) = cos x f(cos x) = - sin x nFind derivatives of other trig. functions using these deri

14、vatives and applying product rule and/or quotient rule x xx xx xf x xxxx xf x x x 2 22 22 2 sec )(cos 1 )(cos )(sin)(cos )(tan )(cos )sin()(sin()cos()cos( )(tan )cos( )sin( )tan( 2021/3/1032 ) (cscx xsin 1 x 2 sin )(sinx x 2 sin 例例. 求证,sec)(tan 2 xx 证证: .cotcsc)(cscxxx x x x cos sin )(tan x 2 cos xx

15、 cos)(sin)(cossinxx x 2 cos x 2 cosx 2 sin x 2 sec xcos xxcotcsc 类似可证:,csc)(cot 2 xx.tansec)(secxxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1033 Derivatives of sec(x), csc(x) and cot(x) nAll are found by applying the product and/or quotient rules and using known derivatives of sin(x) and cos(x). xxf xxxf xxxf 2 cs

16、c)(cot cotcsc)(csc tansec)(sec 2021/3/1034 2.5 nThe Chain Rule 复合函数求导法则复合函数求导法则 2021/3/1035 For a composite function, its derivative is found by taking the derivative of the outer function, with respect to the inner function, times the derivative of the inner function with respect to x. nIf the comp

17、osition consists of 3 or more functions, continue to take the derivative of the next inner function, with respect to the function within it, until, finally, the derivative is taken with respect to x. 2021/3/1036 在点 x 可导, lim 0 xx u x u uf )( x y x y x 0 lim d d 复合函数求导法则复合函数求导法则 定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)

18、(xgu 可导复合函数 fy )(xg且 )()( d d xguf x y 在点 x 可导, 证证:)(ufy 在点 u 可导, 故 )(lim 0 uf u y u uuufy)(（当 时 )0u 0 故有 )()(xguf u y )(uf )0()( x x u x u uf x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1037 求下列函数的导数 2 1 2 sin x x y 222 2 22 2 2 22 1 2 cos )1 ( 22 )1 ( )20(2)1 (2 1 2 cos 1 2 1 2 cos x x x x x xxx x x x x x x y 20

19、21/3/1038 例如,)(, )(, )(xvvuufy x y d d )()()(xvuf y u v x u y d d v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1039 例例. 求 解解: , 11 11 xx xx y. y 2 122 2 xx y1 2 xx 1 y 12 1 2 x )2( x 1 1 2 x x 例例.设),0( aaaxy xaa axa 解解: 1 a aa xayaa a x ln 1 a xa aa x a ln

20、求 . y aa x ln 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1040 例例. 求 解解: ,1arctan 2sin 2 xey x . y 1arctan) ( 2 xy ) ( 2 sin x e 2 sin x e 2 cosxx2 2 1 x 12 1 2 x x2 x21arctan 2 x 2 sin x e 2 cos x 2 sin x e 1 1 2 xx 关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1041 例例. 设 求, 11 11 ln 4 1 1arctan 2 1 2 2 2 x x xy.

21、y 解解: y 22 )1(1 1 2 1 x 2 1x x ) 11ln() 11ln( 22 xx 11 1 4 1 2 x 2 1x x 11 1 2 x 2 1x x 2 1 2 1 x x 2 2 1 x 2 1 x 23 1)2( 1 xxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1042 Find the derivative (note this is the composition of 3 functions, therefore there will be 3 “pieces” to the chain.) )cotcsc3()csc(5)csccos( )c

22、scsin( 24353 53 xxxxxxxy xxy 2021/3/1043 3.7 nHigher-Order Derivatives 2021/3/1044 f=2nd derivative f=3rd derivative f=4th derivative, etc nThe 2nd derivative is the derivative of the 1st derivative. nThe 3rd derivative is the derivative of the 2nd derivative, etc. 2021/3/1045 定义定义. 若函数)(xfy 的导数 )(x

23、fy可导, 或, d d 2 2 x y 即 )( yy或) d d ( d d d d 2 2 x y x x y 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 1n阶导数的导数称为 n 阶导数 , , y , )4( y )( , n y 或, d d 3 3 x y , d d 4 4 x y n n x y d d , )(xf的二阶导数二阶导数 , 记作 y )(x f 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1046 Velocity is the derivative of distance with respect to time

24、 (1st derivative) and Acceleration is the derivative of velocity with respect to time (2nd derivative of distance with respect to time) nUp (or right) is a positive velocity. nDown (or left) is a negative velocity. nWhen an object reaches its peak, its velocity equals zero. 2021/3/1047 )(tss 速度即 sv

25、加速度 , d d t s v t v a d d ) d d ( d d t s t 即)( sa 引例引例：变速直线运动 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1048 3.8 nImplicit Differentiation n(An application of the chain rule!) ny is now considered as a function of x, therefore we apply the chain rule to y nApply all appropriate rules and solve for dy/dx. 2021/3/104

26、9 Find the derivative yxyx xyy dx dy xyyyxyx dx dy dx dy yxyy dx dy xxy dx dy yy dx dy xxy xyxy 2 2 2 2 sec)cos( )cos(2 )cos(2)sec)cos( 2)(sec)cos()cos( 2)(sec) 1()cos( 2)tan()sin( 2021/3/1050 例例. 求椭圆 1 916 22 yx 在点)3,2( 2 3 处的切线方程. 解解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x yy 9 2 0 y 2 3 2 3 x y y x 16 9 2 3 2 3 x y 4

27、3 故切线方程为3 2 3 y 4 3 )2( x 即 03843 yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1051 例例. 求)0( sin xxy x 的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式 xxylnsinln 两边对 x 求导 y y 1 xx lncos x xsin ) sin lncos( sin x x xxxy x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1052 1) 对幂指函数 v uy 可用对数求导法求导 : uvylnln y y 1 uv ln u v u )ln( u vu uvuy v vuuy v lnuuv v 1 说明说明:

28、 : 按指数函数求导公式按幂函数求导公式 注意注意: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1053 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如例如,)1,0,0( b a ba a x x b b a y bax 两边取对数 yln 两边对 x 求导 y y b a ln x a x b bax a x x b b a y b a ln x a x b b a xlnlnlnxbalnlnaxb 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1054 又如又如, )4)(3( )2)(1( xx xx y u u u ) ln( 2 1 lny 对 x 求导 2 1 y

29、 y )4)(3( )2)(1( 2 1 xx xx y 4 1 3 1 2 1 1 1 xxxx 两边取对数 2ln1lnxx4ln3lnxx 1 1 x2 1 x3 1 x 4 1 x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1055 设)(xyy 由方程eyxe y 确定 , , )0( y 解解: 方程两边对 x 求导, 得 0yxyye y 再求导, 得 2ye y yxe y )(02 y 当 0 x时, 1y故由 得 e y 1 )0( 再代入 得 2 1 )0( e y 求 . )0( y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1056 设, )2( 2

30、)(sin3 2ln tan x x x x xy x x 求 . y 1 y 2 y 分别用对数微分法求 ., 21 yy 答案答案: : 21 yyy ) 1sinln(sec)(sin 2tan xxx x 3 2ln )2( 31 x x x x )2(3 2 )2(3 ln21 x x x x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1057 2.8 nRelated Rates nA very, very important application of the derivative! nApplies to situations where more than on

31、e variable is changing with respect to time. nThe other variables are defined with respect to time, and we differentiate implicitly with respect to time. 2021/3/1058 相关变化率相关变化率 )(, )(tyytxx为两可导函数 yx ,之间有联系 t y t x d d , d d 之间也有联系 称为相关变化率相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 机动

32、目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1059 相关变化率相关变化率 )(, )(tggtff为两可导函数 gf , 之间有联系 t g t f d d , d d 之间也有联系 称为相关变化率相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1060 例例. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 其速率为 ,minm140当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 500 h 解解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为 , 则t

33、an 500 h 两边对 t 求导 2 sec td d t h d d 500 1 已知,minm140 d d t h h = 500m 时,1tan 22 tan1sec ,2sec 2 td d 140 500 1 2 1 14. 0)minrad/( 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1061 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数 若参数方程 )( )( ty tx 可确定一个 y 与 x 之间的函数 )(, )(tt可导, 且,0 )( )( 22 tt 则 0)( t 时, 有 x y d d x t t y d d d d t x t y d d

34、 1 d d )( )( t t 0)( t 时, 有 y x d d y t t x d d d d t y t x d d 1 d d )( )( t t (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1062 例例. 抛射体运动轨迹的参数方程为 1t vx 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解解: 先求速度大小: 速度的水平分量为, d d 1 v t x 垂直分量为, d d 2 tgv t y 故抛射体速度大小 22 ) d d () d d ( t y t x v 2 2 2 1 )(gtvv 再求速度方向(即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, tan x y d d t y d d t x d d 1 2 v tgv 则 y xo 2 2 1 2 tgtvy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2021/3/1063 抛射体轨迹的参数方程 2 2 1 2 1 tgtvy tvx 速度的水平分量, d