向量组的线性相关习题

1、2021/3/111 第一章第一章 习题课习题课 2021/3/112 定义定义: n 个有次序的数个有次序的数a1, a2, , an所组成的数组所组成的数组 称为称为n维向量维向量, 这这n个数称为该向量的个数称为该向量的n个个分量分量, 第第 i 个个 数数ai 称为第称为第 i 个分量个分量. 分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量, 分量为复数的分量为复数的 向量称为向量称为复向量复向量. 行向量行向量; 列向量列向量. 向量的相等向量的相等; 负向量负向量; 零向量零向量. 向量按照向量按照矩阵运算法则矩阵运算法则进行运算进行运算. 向量加法和数乘向量运算称为向量

2、的向量加法和数乘向量运算称为向量的线性运算线性运算, , 满足下列八条运算规则满足下列八条运算规则: : 2021/3/113 (1) 加法交换律加法交换律: a a + +b b = = b b + + a a ; (2) 加法结合律加法结合律: ( (a a + +b b ) + ) + g g = = a a + ( + ( b b + +g g ) ) ; (3) 对任一向量对任一向量a a , 有有a a +O = a a; (4) 对任一向量对任一向量a a, 存在负向量存在负向量a a , 有有a a +(+(a a ) = ) = O O ; (5) 1 a a = a a ;

3、 (6) 数乘结合律数乘结合律: k(l a a) = (l k)a a ; (7) 数乘对向量加法的分配律数乘对向量加法的分配律: k( a a + b b ) = ka a + kb b ; (8) 数量加法对数乘的分配律数量加法对数乘的分配律: ( k + l ) a a = ka a + l a a ; 其中其中a a, b b, g g为为n维向量维向量, 1, k, l为数为数, O为零向量为零向量. 除了上述八条运算规则除了上述八条运算规则, 显然还有以下性质显然还有以下性质: (1) 0a a =O; (2) 若若 ka a = O, 则或者则或者k=0, 或者或者a a =

4、O; (3) 向量方程向量方程: a a + x = b b, 有唯一解有唯一解 x = = a a - - b b ; 其中其中a a, b b 为为n维向量维向量, 0为数零为数零, k任意数任意数, O为零向量为零向量. 2021/3/114 若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量(或同维数的行向量或同维数的行向量)所组所组 成的集合叫做成的集合叫做向量组向量组. 定义定义: 给定向量组给定向量组A: a a1, a a2, , a am, 对于任何一组对于任何一组 实数实数k1, k2, ,km, 向量向量 k1a a1 + k2a a2 + + kma am 称为称为向量组向量组A

5、: a a1, a a2, a am一个一个线性组合线性组合, k1, k2, ,km称为这个称为这个线性组合的线性组合的系数系数. 给定向量组给定向量组A: a a1, a a2, , a am和和向量向量b, 如果存在一如果存在一 组数组数 1, 2, , m, 使使 b = 1a a1 + 2a a2 + + ma am 则向量则向量b是向量组是向量组A的线性组合的线性组合, 这时称向量这时称向量b能由向能由向 量组量组A线性表示线性表示. 2021/3/115 定理定理1: 向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示的充分必要线性表示的充分必要 条件是矩阵条件是矩阵A=(a a1, a

6、a2, , a am)与与B=(a a1, a a2, , a am, b)的的 秩相等秩相等. 定义定义: 设有两设有两向量组向量组 A: a a1, a a2, , a am 与与 B: b b1, b b2, , b bs . 若若B组中的每一个向量都能由组中的每一个向量都能由A组线性表示组线性表示, 则称则称向量向量 组组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示; 若向量组若向量组B与向量组与向量组A可可 以相互线性表示以相互线性表示, 则称这则称这两个向量组等价两个向量组等价. 定义定义: 给定向量组给定向量组A: a a1, a a2, , a am , 如果存在不全如果存在不全

7、为零的数为零的数 k1, k2, ,km , 使使 k1a a1 + k2a a2 + + kma am = O 则称向量组则称向量组A是是线性相关线性相关的的, 否则称它是否则称它是线性无关线性无关. 2021/3/116 定理定理3: 向量组向量组a a1, a a2, , a am线性相关的充分必要线性相关的充分必要 条件是它所构成的矩阵条件是它所构成的矩阵A=(a a1, a a2, , a am)的秩小于向的秩小于向 量个数量个数m; 向量组线性无关的充分必要条件是向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m. 定理定理2: 向量组向量组 a a1, a a2, , a am (当当

8、m 2 时时)线性相关线性相关 的充分必要条件是的充分必要条件是a a1, a a2, , a am中至少有一个向量可中至少有一个向量可 由其余由其余 m1个向量线性表示个向量线性表示. 定理定理4: (1)若向量组若向量组A:a a1, a a2, , a am线性相关线性相关, 则则 向量组向量组B: a a1, a a2, , a am, a am+1也线性相关也线性相关; 反言之反言之, 若若 向量组向量组B线性无关线性无关, 则向量组则向量组A也线性无关也线性无关. ), 2 , 1(, , 1 2 1 2 1 mj a a a a a a a jr rj j j j rj j j

9、j = = = = = = + + b ba a (2)设设 2021/3/117 即即a aj 添上一个分量后得向量添上一个分量后得向量b bj. 若向量组若向量组A: a a1, a a2, , a am线性无关线性无关, 则向量组则向量组B: b b1, b b2, , b bm也线性无关也线性无关; 反反 言之言之, 若向量组若向量组B线性相关线性相关, 则向量组则向量组A也线性相关也线性相关. (3) m个个n维向量组成的向量组当维数维向量组成的向量组当维数n小于向量小于向量 个数个数m时一定线性相关时一定线性相关 (4) 设向量组设向量组A: a a1, a a2, , a am线

10、性无关线性无关, 而向量组而向量组 B: a a1, a a2, , a am, b b 线性相关线性相关, 则向量则向量b b 必能由向量组必能由向量组A 线性表示线性表示, 且表示式是唯一的且表示式是唯一的. 2021/3/118 定义定义: 设有向量组设有向量组A, 如果在如果在A中能选出中能选出r 个向量个向量 A0: a a1, a a2, a ar, 满足满足 (1)向量组向量组A0: a a1, a a2, a ar, 线性无关线性无关; (2)向量组向量组A中任意中任意r+1个向量个向量(如果存在的话如果存在的话)都线都线 性相关性相关. 那末称向量组那末称向量组A0是向量组是

11、向量组A的一个的一个最大线性最大线性 无关向量组无关向量组(简称简称最大无关组最大无关组). 最大无关组所含向量个数最大无关组所含向量个数r 称为称为向量组的秩向量组的秩. 定理定理1: 矩阵的秩等于它的列向量组的秩矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于也等于 它的行向量组的秩它的行向量组的秩. 定理定理2: 设向量组设向量组B能由向量组能由向量组A线性表示线性表示, 则向量则向量 组组B的秩不大于向量组的秩不大于向量组A的秩的秩, 即即 R(B) R(A). 推论推论1: 等价的向量组的秩相等等价的向量组的秩相等. 2021/3/119 推论推论2: 设设Cm n = Am s Bs n,

12、则则 R(C) R(A), R(C) R(B). 推论推论3: 设向量组设向量组B是向量组是向量组A的部分组的部分组, 若向量组若向量组 B线性无关线性无关, 且向量组且向量组A能由向量组能由向量组B线性表示线性表示, 则向量则向量 组组B是向量组是向量组A的一个最大无关组的一个最大无关组. 定义定义: 设设V为为n维向量的集合维向量的集合, 如果集合如果集合V非空非空, 且且 集合集合V对于加法及乘数两种运算封闭对于加法及乘数两种运算封闭, 那么就称集合那么就称集合V 为为向量空间向量空间. 集合集合V对于加法及乘数两种运算封闭是指对于加法及乘数两种运算封闭是指: 若若a a, b b V,

13、 则则 a a+b b V; 若若a a V, R, 则则 aa V. RaaaxV mmm + + + += = = ,| 212211 一般地一般地, 由向量组由向量组a1, a2, , am所生成的向量空间所生成的向量空间 为为: 2021/3/1110 定义定义: 设有向量空间设有向量空间V1及及V2, 若有若有V1 V2. 则称则称V1 是是V2的的子空间子空间. 定义定义: 设设V是向量空间是向量空间, 如果有如果有r 个向量个向量a a1, a a2, , a ar V, 满足满足 (1) a a1, a a2, , a ar 线性无关线性无关; (2) V中任一向量都可由中任一

14、向量都可由a a1, a a2, , a ar 线性表示线性表示. 则称向量组则称向量组a a1, a a2, , a ar为向量空间为向量空间V的一个的一个基基, 称整称整 数数r 为向量空间为向量空间V的的维数维数, 并称并称V为为r 维向量空间维向量空间. 说明说明1: 只含有零向量的向量空间称为只含有零向量的向量空间称为0维向量空维向量空 间间, 因此它没有基因此它没有基 说明说明2: 若把向量空间若把向量空间V看作向量组看作向量组, 那末那末V的基就的基就 是向量组是向量组V的最大无关组的最大无关组, V的维数就是向量组的秩的维数就是向量组的秩. 2021/3/1111 .,| 12

15、211 RxV rrr + + + += = = a a a a a a 说明说明3: 若向量组若向量组a a1, a a2, , a ar 是向量空间是向量空间V的一的一 个基个基, 则则V可表示为可表示为 向量方程向量方程; 解向量解向量. 解向量的性质解向量的性质 (1) 若若x = 1, x = 2为为Ax = 0的解的解, 则则 x = 1 + 2也是也是 Ax = 0的解的解. (2) 若若x = 1为为Ax = 0的解的解, k为数为数, 则则 x = k 1也是也是 Ax = 0的解的解. 由以上两个性质可知由以上两个性质可知, 方程组的全体解向量所组方程组的全体解向量所组 成

16、的集合成的集合, 对于加法和数乘运算是封闭的对于加法和数乘运算是封闭的, 因此构成一因此构成一 个个向量空间向量空间, 称此向量空间为齐次线性方程组称此向量空间为齐次线性方程组 Ax = 0 的的解空间解空间. 2021/3/1112 定义定义: 如果向量组如果向量组 1, 2, , t 为齐次线性方程组为齐次线性方程组 Ax = 0的的解空间解空间的一组的一组基基, 则向量组则向量组 1, 2, , t 称为称为 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax = 0的的基础解系基础解系. 称向量组称向量组 1, 2, , t为齐次线性方程组为齐次线性方程组Ax = 0的的 基础解系基础解系, 如果如果

17、(1) 1, 2, , t 是是Ax = 0的一组的一组线性无关的解线性无关的解; (2) Ax = 0的任一解都可由的任一解都可由 1, 2, , t 线性表出线性表出. 方程组方程组Ax = 0的基础解系是不唯一的的基础解系是不唯一的. 如果向量组如果向量组 1, 2, , t 为齐次线性方程组为齐次线性方程组Ax = 0 的一组的一组基础解系基础解系, 那么那么, Ax = 0的的通解通解可表示为可表示为: x = k1 1 + k2 2 + + kt t 其中其中k1, k2, , kt t 为任意常数为任意常数. 2021/3/1113 求齐次线性方程组的基础解系求齐次线性方程组的基

18、础解系 - - - - 0000 0000 10 01 ,1 , 111 rnrr rn bb bb A 1. 用初等行变换将系数矩阵用初等行变换将系数矩阵A化为最简行阶梯形化为最简行阶梯形: 2021/3/1114 ;, , , 2 , 1 1, 2, 2 2, 1 21, 1, 2 1, 1 1 - - - - - - = = - - - - - - = = - - - - - - = = - -+ + + + + + + + + + + + c c c c c c c c c nr n n rnrr r r rr r r 2. 将第将第r+1, r+2, , n列的前列的前r个分量反号个

19、分量反号, 得解得解 1, 2, , n-r的前的前r个分量个分量: 2021/3/1115 . 1 0 0 , 0 1 0 , 0 0 1 , , 2 , 1 2, 2, 2 2, 1 2 1, 1, 2 1, 1 1 - - - - - - = = - - - - - - = = - - - - - - = = - - + + + + + + + + + + + + c c c c c c c c c nr n n rn rr r r rr r r 3. 将其余将其余nr个分量依次组成个分量依次组成 nr 阶单位矩阵阶单位矩阵, 于于 是得齐次线性方程组的一个是得齐次线性方程组的一个基础解

20、系基础解系: 2021/3/1116 (1) 设设 x= 1 及及 x= 2 都是方程组都是方程组 Ax=b 的解的解, 则则 x= 1 2为对应齐次方程组为对应齐次方程组Ax=0的解的解. (2) 设设 x= 是方程组是方程组 Ax=b 的解的解, x= 是方程组是方程组 Ax=0 的解的解, 则则 x= + 仍为方程组仍为方程组 Ax=b 的解的解. 解向量的性质解向量的性质 2021/3/1117 求非齐次线性方程组的特解求非齐次线性方程组的特解 用初等行变换将增广矩阵用初等行变换将增广矩阵B化为最简行阶梯形化为最简行阶梯形: , 000000 00000 100 010 001 1 ,

21、1, 2, 21, 2 1, 11, 1 + + + + + + + + r rnrrr nr nr d d d d cc cc cc 当当dr+1 0时时, 则方程组则方程组 Ax=b 无解无解; 否则否则, 得齐次线得齐次线 性方程组性方程组Ax=0的基础解系的基础解系 1, 2, , n-r和非齐次线性和非齐次线性 方程组方程组Ax=b的一个特解的一个特解: *=(d1, d2, , dr , 0, , 0)T. 2021/3/1118 研究这类问题一般有两个方法研究这类问题一般有两个方法. 方法方法1. 从定义出发从定义出发 整理得齐次线性方程组整理得齐次线性方程组: = = + +

22、+ + + 0 0 0 2 1 2 22 21 2 1 12 11 1 a a a k a a a k a a a k mn m m m nn 令令 k1a a1 + k2a a2 + + kma am = 0, 即即 = =+ + + + = =+ + + + = =+ + + + 0 0 0 2211 2222112 1221111 kakaka kakaka kakaka mmnnn mm mm (1) 2021/3/1119 若齐次线性方程组若齐次线性方程组(1)只有零解只有零解, 则则a a1, a a2, , a am 线性无关线性无关; 否则否则, a a1, a a2, , a

23、 am线性相关线性相关. 方法方法2. 利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系 给出一组给出一组n维向量维向量a a1, a a2, , a am, 就得到一个相应就得到一个相应 的矩阵的矩阵A=(a a1, a a2, , a am), 求求R(A), 则则 若若R(A)=m, 则则 a a1, a a2, , a am线性无关线性无关; 若若R(A)m, 则则 a a1, a a2, , a am线性相关线性相关. 例例1: 研究下列向量组的线性相关性研究下列向量组的线性相关性, . 2 0 1 , 5 2 0 , 3 2 1 321 - - = = - -

24、= = - -= =a aa aa a 解一解一: 令令 k1a a1 + k2a a2 + k3a a3 = 0, . 0 0 0 2 0 1 5 2 0 3 2 1 321 = = - - + + - - + + - - kkk 即即 2021/3/1120 整理得齐次线性方程组整理得齐次线性方程组: = =+ +- - = =+ +- - = =- - 0253 022 0 321 21 31 kkk kk kk , 0 253 022 101 = = - - - - - - (2) 上述齐次线性方程组上述齐次线性方程组(2)的系数行列式为的系数行列式为: 齐次线性方程组齐次线性方程组(

25、2)有非零解有非零解, 故故a a1, a a2, a a3线性相关线性相关. , 253 022 101 - - - - - - 解二解二: 构造矩阵构造矩阵 A = (a a1, a a2, a a3) = - - - - - - - - - - = = 000 220 101 253 022 101 初等行变换初等行变换 A则则 2021/3/1121 由由 R(A) = 2 3 得得, 向量组向量组a a1, a a2, a a3线性相关线性相关. 例例2: 设向量组设向量组a a1, a a2, , a ar (r 2)线性相关线性相关, 证明证明: 存在不全为零的数存在不全为零的数

26、 t1, t2, , tr , 使得对任何向量使得对任何向量b b, 都都 有有 a a1 + t1b b, a a2 + t2b b, , a ar + tr b b, 线性相关线性相关.分析分析: 我们从定义出发我们从定义出发, 考察向量方程考察向量方程: k1(a a1 + t1 b b) + k2(a a2 + t2 b b) + + kr(a ar + tr b b) = 0 即向量方程即向量方程: k1a a1 + k2a a2 + + kra ar + (k1t1 + k2t2 + + krtr ) b b = 0 是否有某组不全为零的数是否有某组不全为零的数k1, k2, ,

27、kr , 而使得对而使得对任何任何 向量向量b b, 恒有非零解恒有非零解, 因此可得如下证明因此可得如下证明: 证明证明: 因为向量组因为向量组a a1, a a2, , a ar 线性相关线性相关, 所以所以, 存在不全为零的数存在不全为零的数k1, k2, , kr , 使得使得 k1a a1 + k2a a2 + + kra ar = 0. 2021/3/1122 因为因为 r 2, 所以必有非零解所以必有非零解, 设设(t1, t2, , tr )为其为其 一个非零解一个非零解, 则对任意向量则对任意向量b b , 都有都有 再考察方程组再考察方程组: k1x1 + k2x2 + +

28、 krxr = 0. k1a a1 + k2a a2 + + kra ar + (k1t1 + k2t2 + + krtr ) b b = 0, 即即k1(a a1 + t1 b b) + k2(a a2 + t2 b b) + + kr(a ar + tr b b) = 0. 线性相关线性相关. 由由k1, k2, , kr不全为零得不全为零得: a a 1 + t1b b, a a2 + t2b b, , a ar + tr b b 例例3: 已知向量组已知向量组A: a a1, a a2, , a as 的秩是的秩是r, 证明证明: A 中任意个中任意个r 线性无关的向量均构成它的一个最

29、大线性线性无关的向量均构成它的一个最大线性 无关组无关组. 分析分析: 证明向量组的一个部分组构成最大线性无证明向量组的一个部分组构成最大线性无 关组的基本方法就是关组的基本方法就是: 根据最大线性无关组的定义来根据最大线性无关组的定义来 证证, 它往往还与向量组的秩相联系它往往还与向量组的秩相联系. 2021/3/1123 证明证明: 不失一般性不失一般性, 设设 是是A: a a1, a a2, , a as 中的任意中的任意r 个线性无关的向量个线性无关的向量, 于是对于任意的于是对于任意的a ak (k=1, 2, , s), 向量组向量组 ,a ak 线性相关线性相关, 否则否则 向

30、量组向量组A的秩大于的秩大于r. r iii a aa aa a, 21 r iii a aa aa a, 21 r iii a aa aa a, 21 又向量组又向量组 线性无关线性无关, 所以所以a ak可以由可以由 r iii a aa aa a, 21 线性表示线性表示. 由定义这就证明了由定义这就证明了 是是A的一个最大的一个最大 r iii a aa aa a, 21 线性无关组线性无关组. 求一个向量组的秩求一个向量组的秩, 可以把它转化为矩阵的秩来可以把它转化为矩阵的秩来 求求, 这个矩阵是由这组向量为行这个矩阵是由这组向量为行(列列)向量所排成的向量所排成的. 若矩阵若矩阵A

31、经过初等行经过初等行(列列)变换化为矩阵变换化为矩阵B, 则则A和和B 中任何对应的列中任何对应的列(行行)向量组都有相同的线性相关性向量组都有相同的线性相关性. 2021/3/1124 如果向量组的向量以列如果向量组的向量以列(行行)向量的形式给出向量的形式给出, 把把 向量作为矩阵的列向量作为矩阵的列(行行), 对矩阵作初等行对矩阵作初等行(列列)变换变换, 这这 样样,不仅可以求出向量组的秩不仅可以求出向量组的秩, 而且可以求出最大线性而且可以求出最大线性 无关组无关组. 例例4: 求向量组求向量组 . 1 4 6 2 , 1 2 3 1 , 1 1 1 0 , 1 1 2 1 , 0

32、0 1 1 54321 - - = = - - = = - - = = - - - - = = - - = =a aa aa aa aa a 的秩的秩. 解解: 作矩阵作矩阵A=(a a1, a a2, a a3, a a4, a a5), 对对A作初等行变作初等行变 换化为阶梯形换化为阶梯形. 2021/3/1125 - - - - - - - - - = = 11110 42110 63121 21011 A - - - - - - - + + 11110 42110 42110 21011 12 rr - - - - + + + +- - 53000 00000 42110 21011

33、24 2 )1( 3 rr rr - - - - 00000 53000 42110 21011 34rr .),( 54321 U= = = = b bb bb bb bb b 记作记作 故故, R(A)=3, 从而向量组从而向量组a a1, a a2, a a3, a a4, a a5的秩为的秩为3. 又又b b1, b b2, b b4是向量组是向量组b b1, b b2, b b3, b b4, b b5的一个最大线的一个最大线 性无关组性无关组. 所以所以a a1, a a2, a a4也是也是向量组向量组a a1, a a2, a a3, a a4, a a5的的一个一个 最大线性

34、无关组最大线性无关组. 2021/3/1126 判断向量的集合是否构成向量空间判断向量的集合是否构成向量空间, 需看集合是需看集合是 否对于向量的否对于向量的加法加法和和数乘数乘两种运算封闭两种运算封闭. 若封闭若封闭, 则构则构 成向量空间成向量空间; 否则否则, 不构成向量空间不构成向量空间. 例例5: 判断判断R3中与向量中与向量(0, 0, 1)不平行的全体向量不平行的全体向量 所组成的集合是否构成向量空间所组成的集合是否构成向量空间. 解解: R3中与向量中与向量(0, 0, 1)不平行的全体向量所组成不平行的全体向量所组成 的集合的集合V是否构成向量空间是否构成向量空间. 两向量两

35、向量a a, b b 平行当且仅当它们的分量对应成比例平行当且仅当它们的分量对应成比例. 因为因为, 对不平行于向量对不平行于向量(0, 0, 1)的向量的向量 a a1=(0, k, 0), a a2=(0, -k, 1) V ( k 0 ), a a1+a a2 = (0, 0, 1) V.有有 即即V对加法运算不封闭对加法运算不封闭, 故故V不构成向量空间不构成向量空间. 2021/3/1127 例例6: 证明与基础解系等价的线性无关的向量组也证明与基础解系等价的线性无关的向量组也 是基础解系是基础解系. 分析分析: 要证明某一向量组是方程组要证明某一向量组是方程组Ax=0的基础解的基础

36、解 系系, 需要证明三个结论需要证明三个结论: (1) 该组向量都是方程组的解该组向量都是方程组的解; (2) 该组向量线性无关该组向量线性无关; (3) 方程组的任一解均可由该向量组线性表示方程组的任一解均可由该向量组线性表示. 证明证明: 设设 1, 2, , t是方程组是方程组Ax=0的一个基础解的一个基础解 系系, a a1, a a2, ,a am是与是与 1, 2, , t等价的线性无关的向等价的线性无关的向 量组量组. 由于等价的线性无关向量组所含向量个数相同由于等价的线性无关向量组所含向量个数相同, 所以所以, 这两个向量组所含向量个数相等这两个向量组所含向量个数相等, 即即

37、m = t . 2021/3/1128 (1) 由向量组的等价关系易知由向量组的等价关系易知, a ai ( i = 1, 2, , t ) 可以表示成可以表示成 1, 2, , t 的线性组合的线性组合. 而方程组而方程组 Ax=0 的解的线性组合仍然是原方程组的解的解的线性组合仍然是原方程组的解, 故故a a1, a a2, ,a at 仍是方程组仍是方程组 Ax=0 的解的解. (2) 由题设知由题设知, a a1, a a2, ,a at 是线性无关的是线性无关的. (3) 设设 为方程组为方程组Ax=0的任一解的任一解, 则则 可由可由 1, 2, , t 线性表示线性表示, 由向量

38、组的等价性由向量组的等价性, 1, 2, , t 均可由均可由 a a1, a a2, ,a at 线性表示线性表示, 故故 也可由也可由a a1, a a2, ,a at 线性表线性表 示示. 注注: 当线性方程组有非零解时当线性方程组有非零解时, 基础解系的取法不基础解系的取法不 唯一唯一, 且不同的基础解系之间是等价的且不同的基础解系之间是等价的. 故由定义知故由定义知, a a1, a a2, ,a at 也是方程组也是方程组Ax=0 的一个的一个 基础解系基础解系. 2021/3/1129 例例7: 设设 *是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组Ax=b的一个解的一个解, 1, 2,

39、, nr是其导出组是其导出组(对应齐次线性方程组对应齐次线性方程组Ax=0)的的 一个基础解系一个基础解系, 证明证明: (1) *, 1, 2, , nr 线性无关线性无关; (2) *, *+ 1, *+ 2, , *+ nr 是方程组是方程组Ax=b的的 nr+1个线性无关的解个线性无关的解; (3) 方程组方程组Ax=b的任一解的任一解x都可以表示为这都可以表示为这nr+1 个解的线性组合个解的线性组合, 而且组合系数之和为而且组合系数之和为1. 证明证明(1): 令令 k0 * + k1 1 + k2 2 + + knr nr = 0 (1) 其中必有其中必有k0=0. 否则有否则有

40、 2021/3/1130 , 0 1 0 1 rn rn k k k k - - - - - - - -= = 由于由于 1, 2, , nr 是其对应齐次线性方程组是其对应齐次线性方程组 Ax=0的基础解系的基础解系, 故等式右边的线性组合必为故等式右边的线性组合必为 Ax=0 的解的解,而等式左边而等式左边 *是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组Ax=b 的解的解. 矛盾矛盾. 所以所以有有 k0=0 . 将将 k0=0 代如代如(1)式得式得, k1 1 + k2 2 + + knr nr = 0 由于由于 1, 2, , nr 线性无关线性无关, 因此只能有因此只能有 k0 = k1

41、= k2 = = knr = 0 所以所以, *, 1, 2, , nr 线性无关线性无关. (2) 由线性方程组解的性质知由线性方程组解的性质知, *, *+ 1, *+ 2, , *+ nr 都是都是Ax=b的解的解, 以下证它们线性无以下证它们线性无 关关. 2021/3/1131 k0 * + k1( *+ 1) + + knr( *+ nr ) = 0 令令 得得(k0 + k1 + + knr ) * + k1 1 + + knr nr = 0 类似于类似于(1)的证明方式的证明方式, 可得可得 故故, *, *+ 1, *+ 2, , *+ nr 是方程组是方程组Ax=b的的 n

42、r+1个线性无关的解个线性无关的解; *, *+ 1, *+ 2, , *+ nr 是线性无关的是线性无关的. (3) 设设x为方程组为方程组Ax=b的任一解的任一解, 则则 x可表为可表为 x = *+ c1 1 + + cnr nr = *+ c1( *+ 1 *) + + cnr ( *+ nr *) = (1c1 cnr ) *+c1( *+ 1)+cnr ( *+ nr) 令令 c0= 1c1 cnr , 则则c0 + c1 + + cnr = 1, 2021/3/1132 故故, 方程组方程组Ax=b的任一解的任一解x都可以表示为这都可以表示为这nr+1 个解个解 *, *+ 1,

43、 *+ 2, , *+ nr的线性组合的线性组合, 而且组而且组 合系数之和为合系数之和为1. 注意注意(1): 本例是对非齐次线性方程组本例是对非齐次线性方程组Ax=b的解的的解的 结构作进一步的分析和讨论结构作进一步的分析和讨论, 即非齐次线性方程组一即非齐次线性方程组一 定存在着定存在着nr+1个线性无关的解个线性无关的解, 题中题中(2)的证明表明的证明表明 了它的存在性了它的存在性. 注意注意(3): 对非齐次线性方程组对非齐次线性方程组Ax=b, 有时也把如有时也把如 题中所给的题中所给的nr+1个解称为个解称为Ax=b的基础解系的基础解系, 所不同所不同 的是它的线性组合只有当组

44、合系数之和为的是它的线性组合只有当组合系数之和为1时时, 才是方才是方 程组程组Ax=b的解的解. 注意注意(2): 对齐次线性方程组对齐次线性方程组, 当当R(A)=r n 时时, 有有 无穷多组解无穷多组解, 其中任一解可由其基础解系线性表示其中任一解可由其基础解系线性表示. 2021/3/1133 10. 设向量组设向量组A: a1, a2, , am的秩为的秩为p, 向量组向量组B: b1, b2, , bn的秩为的秩为q, 向量组向量组C: a1, a2, , an, b1, b2, , bn 的秩为的秩为r, 证明证明 证明证明: 显然向量组显然向量组A和和B都可由向量组都可由向量

45、组C线性表示线性表示. 因此有因此有, R(A) R(C), R(B) R(C), 即即 Maxp, q r . 设向量组设向量组A, B的最大无关组分别为的最大无关组分别为A0, B0, 且且A0与与 B0中的所有向量构成向量组中的所有向量构成向量组D. 由于由于R(A)=p, R(B)=q, 所以向量组所以向量组A0, B0中的向量中的向量 个数分别为个数分别为p, q, 故向量组故向量组D中的向量数仅为中的向量数仅为 p + q 个个. 又由于向量组又由于向量组A0和和B0都可由向量组都可由向量组D线性表示线性表示, 从而从而, 向量组向量组A和和B都可由向量组都可由向量组D线性表示线性

46、表示, 所以所以, R(D) p + q. Maxp, q r p + q. C可由向量组可由向量组D线性表示线性表示, 因此因此, 故向量组故向量组 p+q.r =R(C) R(D) 2021/3/1134 Maxp, q r p + q. 因此得证因此得证: 11. 证明证明:R(A+B) R(A)+R(B). 证明证明: 设设A=(a1, a2, , an), B=(b1, b2, , bn), 则则 A+B =(a1+b1, a2+b2, , an+bn)=(c1, c2, , cn), 显然显然, 向量组向量组c1, c2, , cn即即a1+b1, a2+b2, , an+bn 可

47、以由向量组可以由向量组 a1, a2, , an, b1, b2, , bn线性表示线性表示. 所以所以, R(c1, c2, , cn) R(a1, a2, , an, b1, b2, , bn), R(a1, a2, , an, b1, b2, , bn) 又由又由习题习题10知知, R(a1, a2, , an)+R(b1, b2, , bn) 因此因此R(c1, c2, , cn) R(a1, a2, , an)+R(b1, b2, , bn) 即即 R(A+B) R(A)+R(B) 2021/3/1135 21. 设设A, B都是都是n阶方阵阶方阵, 且且AB=O, 证明证明: R(

48、A)+R(B) n. 证明证明: 设设R(A)=r . 是以是以A为系数矩阵的齐次线性方程组为系数矩阵的齐次线性方程组Ax=0的解向量的解向量. 由由AB=O知知, B的每一个列向量都的每一个列向量都 (1) 当当 r = n 时时, 齐次线性方程组齐次线性方程组Ax=0只有零解只有零解, 故故B=O, 此时有此时有, R(A)+R(B) = n + 0 = n, 结论成立结论成立. (2) 当当 r n 时时, 该齐次线性方程组该齐次线性方程组Ax=0的基础解的基础解 系中含有系中含有nr个向量个向量, 从而从而, B的列向量组的秩的列向量组的秩 nr , 即即R(B) nr, 此时有此时有, R(A)+R(B) r +