123角平分线的性质

1、角平分线的性质 在一个三角形居住区内修有在一个三角形居住区内修有 一个学校一个学校P P，P P到到ABAB、BCBC、CACA三边三边 的距离都相等的距离都相等, ,请在三角形居住区请在三角形居住区 内标出学校内标出学校P P的位置的位置,P,P在何处？在何处？ A BC 不利用工具，请你将一张用纸片不利用工具，请你将一张用纸片 做的角分成两个相等的角。你有什么做的角分成两个相等的角。你有什么 办法？办法？ A O B C （对折对折） 探究角平分线的性质 (1)实验：将实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形对折，再折出一个直角三角形 （使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形（使第

2、一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形 成的三条折痕，你能得出什么结论？成的三条折痕，你能得出什么结论？ (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的两边的 距离相等距离相等. . 角平分线性质.gsp 证明：证明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD OA，PE OB PDO= PEO=900 OP=OP （公共边）（公共边） PDO PEO（A.A.S.） PD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P P A A OO B B C C E E DD 12 已知：如图，已知：如图，

3、OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC 上，上，PDOAPDOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E 求证求证: PD=PE: PD=PE (3)验证猜想验证猜想 符号语言符号语言 题设题设： 1= 2, PD OA， PE OB 结论：结论：PD=PE P P A A OO B B C C E E DD 12 (4)角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 1、 判断题判断题（ ） 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） BD = DC ( ) AD C B 角的平分线上的点到角的两边角的平分线上的点到角的两边 的距离相等。的距离相等。 活动三 随堂练习 如图

4、，在直线如图，在直线l上找出一点上找出一点P，使得点，使得点P到到 AOB的两边的两边OA、OB的距离相等的距离相等 提示：作提示：作AOB的平的平 分线，交直线分线，交直线l 于于P就就 是所求的点是所求的点 随 堂 练 习 A B C 已知：如图已知：如图, ,PDPDOAOA，PEPEOBOB， 点点D D、E E为垂足，为垂足，PDPDPEPE 求证：点求证：点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上 O C B 1 A 2 P D E 证明：证明： PDOA，PEOB， 在在Rt PDO 与与Rt PEO中中 PDO= PEO=900 PD=PE（已知）（已知） OP=OP（公共边

5、）（公共边） RtPDO Rt PDO(H.L.) 1=2 即点即点P在在AOB的平分线上的平分线上 逆命题角的内部到角两边的距角的内部到角两边的距 离相等的点在角的平分离相等的点在角的平分 线上线上. 题设题设PD=PE PDOA， PEOB 结论结论 OC平分平分 AOB A C B E D P M H K 例题如图，在ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与 顶点 C的外角的平分线CE相交于点P 求证：点到三边AB、BC、AC的距离相等 证明：过点P作PMAB、 PKBC、PHAC，垂足分别 为M、K、H。 BD平分CBM PMAB、PKBC PKPM 同理PKPH PKPMPH 即点P到三边AB、BC、AC的距 离相等 若求证点P在BAC的平分线上， 又该如何证明呢？ 3、如图，如图，O是三条角平分线的交点，是三条角平分线的交点， ODBC于于D，OD=3， ABC的的 周长为周长为15，求，求S ABC A B C O M N GD 小结 下课了! 这节课我们学到了什么？这节