中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)[共9页]

1、精品文档中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）一、基本图形所有问题的老祖宗只有两个：定点到定点：两点之间 ,线段最短；定点到定线：点线之间 ,垂线段最短。 由此派生：定点到定点：三角形两边之和大于第三边；定线到定线：平行线之间 ,垂线段最短；定点到定圆：点圆之间 ,点心线截距最短（长）；定线到定圆：线圆之间 ,心垂线截距最短；定圆到定圆：圆圆之间 ,连心线截距最短（长）。余不赘述 ,下面仅举一例证明：定点到定圆：点圆之间 ,点心线截距最短（长）。已知O半径为r ,AO=d ,P是O上一点 ,求AP的最大值和最小值。证明：由“两点之间 ,线段最短”得APA

2、O+PO ,AOAP+PO ,得d-rAPd+r ,AP最小时点P在B处 ,最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边” ,其实质也是由“两点之间 ,线段最短”推得）。上面几种是解决相关问题的基本图形 ,所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式 ,如圆与线这些图形不是直接给出 ,而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。（一）直接包

3、含基本图形例1.在O中 ,圆的半径为6 ,B=30 ,AC是O的切线 ,则CD的最小值是 。简析：由B=30知弧AD一定 ,所以D是定点 ,C是直线AC上的动点 ,即为求定点D到定线AC的最短路径 ,求得当CDAC时最短为3。（二）动点路径待确定例2. ,如图 ,在ABC中 ,ACB=90 ,AB=5 ,BC=3 ,P是AB边上的动点（不与点B重合） ,将BCP沿CP所在的直线翻折 ,得到BCP ,连接BA ,则BA长度的最小值是。简析：A是定点 ,B是动点 ,但题中未明确告知B点的运动路径 ,所以需先确定B点运动路径是什么图形 ,一般有直线与圆两类。此题中B的路径是以C为圆心 ,BC为半径的

4、圆弧 ,从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-BC=1。例3.在ABC中 ,AB=AC=5 ,cosABC=3/5 ,将ABC绕点C顺时针旋转 ,得到ABC ,点E是BC上的中点 ,点F为线段AB上的动点 ,在ABC绕点C顺时针旋转过程中 ,点F的对应点是F ,求线段EF长度的最大值与最小值的差。简析：E是定点 ,F是动点 ,要确定F点的运动路径。先确定线段AB的运动轨迹是圆环 ,外圆半径为BC ,内圆半径为AB边上的高 ,F是AB上任意一点 ,因此F的运动轨迹是圆环内的任意一点 ,由此转化为点E到圆环的最短和最长路径。E到圆环的最短距离为EF2=CF2-CE=4.8-3=1.8 ,E到圆环的

5、最长距离为EF1=EC+CF1=3+6=9 ,其差为7.2。（三）动线（定点）位置需变换线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、相似。【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”例4.如图 ,AOB=30 ,点M、N分别是射线OA、OB上的动点 ,OP平分AOB ,且OP=6 ,当PMN的周长最小值为 。简析：动线段（或定点）应居于动点轨迹的两侧 ,本题的三条动线段PM、MN、PN在OA、OB的内侧。所以本题的关键是把定线段变换到动点轨迹的两侧 ,从而把三条动线段PM、MN、PN转化为连接两点之间的路径。如图 ,把点P分别沿OA、OB翻折得P1、P2 ,PMN的周长转化为P1

6、M+MN+P2N ,这三条线段的和正是连接两个定点P1、P2之间的路径 ,从而转化为求P1、P2两点之间最短路径 ,得PMN的周长最小值为线段P1P2OP6。例5.如图 ,在锐角ABC中 ,AB=4 ,BAC=45 ,BAC的平分线交BC于点D ,M、N分别是AD和AB上的动点 ,则BM+MN的最小值是 。简析：本题的问题也在于动线段BM、MN居于动点轨迹AD的同侧 ,同样把点N沿AD翻折至AC上 ,BM+MNBM+MN ,转化为求点B到直线AC的最短路径 ,即BNAC时 ,最小值为2。【平移变换类】典型问题：“造桥选址”例6.如图 ,m、n是小河两岸 ,河宽20米 ,A、B是河旁两个村庄 ,

7、要在河上造一座桥 ,要使A、B之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？简析：桥长为定值 ,可以想像把河岸m向下平移与n重合 ,同时把点A向下平移河宽 ,此时转化成n上的一点到A、B的路径之和最短 ,即转化为定点A到定点B的最短路径。如下图：思路是把动线AM平移至AM ,AN+BN即转化为求定点A与定点B之间的最路径。本题的关键是定长线段MN把动线段分隔 ,此时须通过平移把动线段AN、BN变为连续路径 ,也可以把点B向上平移20米与点A连接。例7.如图 ,CD是直线y=x上的一条定长的动线段 ,且CD=2 ,点A（4 ,0） ,连接AC、AD ,设C点横坐标为m ,求m为何值时 ,ACD的

8、周长最小 ,并求出这个最小值。解析：两条动线段AC、AD居于动点所在直线的两侧 ,不符合基本图形中定形（点线圆）应在动点轨迹的两侧。首先把AC沿直线CD翻折至另一侧 ,如下图：现在把周长转化为AC+CD+AD ,还需解决一个问题：动线段AC与AD之间被定长线段CD阻断 ,动线段必须转化成连续的路径。同上题的道理 ,把AC沿CD方向平移CD的长度即可 ,如下图。现在已经转化为AD+AD的最短路径问题 ,属定点到定点 ,当AD与AD共线时AD+AD最短 ,即为线段AA的长。【三角变换类】典型问题：“胡不归”例8.如图 ,A地在公路BC旁的沙漠里 ,A到BC的距离AH23 ,AB219 ,在公路BC

9、上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2倍。某人在B地工作 ,A地家中父亲病危 ,他急着沿直线BA赶路 ,谁知最终没能见到父亲最后一面 ,其父离世之时思念儿子 ,连连问：“胡不归 ,胡不归！”（怎么还不回来） ,这真是一个悲伤的故事 ,也是因为不懂数学而导致的。那么 ,从B至A怎样行进才能最快到达？简析：BP段行驶速度是AP段的2倍 ,要求时间最短即求BP/2+AP最小 ,从而考虑BP/2如何转化 ,可以构造含30角利用三角函数关系把BP/2转化为另一条线段。如下图 ,作CBD=30 ,PQBD ,得PQ=1/2BP ,由“垂线段最短”知当A、P、Q共线时AP+PQAQ最小。【相似变换类】典型问题：

10、“阿氏圆”“阿氏圆”：知平面上两点A、B ,则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆 ,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现 ,故称阿氏圆 ,如下图所示 ,其中PO：BOAO：POPA：PBk。例9.已知A(-4 ,-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1) ,AB与x轴交于点E ,以点E为圆心 ,ED长为半径作圆 ,点M为E上一动点 ,求 1/2AM+CM 的最小值。简析：本题的主要问题在于如何转化1/2AM ,注意到由条件知在M的运动过程中 ,EM：AE1：2保持不变 ,从而想到构造相似三角形 ,使之与AEM的相似比为1：2 ,这样便可实现1/2AM的转化 ,如下图取EN：EM1：2 ,即可得EMNEAM ,再得MN=1/2AM ,显然 ,MN+CM的最小值就是定点N、C之间的最短路径。之后便是常规方法先求N点坐标 ,再求CN的长。【解法大一统】万法归宗：路径成最短 ,折线到直线。（所求路径在一般情况下是若干折线的组合 ,这些折线在同一直线上时即为最短路径）基本图形：动点有轨迹 ,动线居两边。（动点轨迹可以是线或圆 ,动线指动点与定点或定线、定圆的连线 ,动线与折线同指）核心方法：同侧变异侧 ,分散化连续。（动线