高中数学课件-第三章-第1节《任意角和弧度制及任意角的三角函数》

1、 1.了解任意角的概念了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切正弦、余弦、正切)的定义的定义. 1.任意角任意角 (1)角的分类角的分类. 按旋转方向分为按旋转方向分为、. 正角正角负角负角零角零角 (2)象限角象限角. (3)象限界角象限界角 (4)终边相同的角终边相同的角. 所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角(连同连同在内在内).可构成一个集可构成一个集 合合S|2k，kZ. 思考探究思考探究 (1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？终边相同的角相等吗？

2、它们的大小有何关系？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90的角的角 是锐角吗？是锐角吗？ 提示：提示：(1)终边相同的角不一定相等，它们相差终边相同的角不一定相等，它们相差360的整数的整数 倍倍. (2)第一象限角不一定是锐角，如第一象限角不一定是锐角，如390，300都是第一象都是第一象 限角，但它们不是锐角限角，但它们不是锐角. 小于小于90的角也不一定是锐角，如的角也不一定是锐角，如0，30，都不是锐，都不是锐 角角. 2.弧度制弧度制 三角函数三角函数正弦正弦余弦余弦正切正切 定义定义 设设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

3、是一个任意角，它的终边与单位圆交于点 P(x，y)，那么，那么 叫做叫做 的正弦，的正弦， 记做记做sin 叫做叫做的余的余 弦，记作弦，记作cos 叫做叫做的正的正 切，记作切，记作tan y x 3.任意角的三角函数任意角的三角函数 正正弦弦余弦余弦正切正切三角函数三角函数 各各 象象 限限 符符 号号 口诀口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦一全正，二正弦，三正切，四余弦 三角函数三角函数正弦正弦余弦余弦正切正切 三角函三角函 数线数线 有向线段有向线段 为正弦线为正弦线 MP 有向线段有向线段 为余弦线为余弦线 OM有向线段有向线段 为正切线为正切线 AT 1.与与610角终边相同的角可

4、表示为角终边相同的角可表示为() A.k360230，kZB.k360250，kZ C.k36070，kZD.k360270，kZ 解析：解析：由于由于610360250，所以，所以610与与250角角 的终边相同的终边相同. 答案：答案：B 2.已知角已知角的终边经过点的终边经过点(，1)，则角，则角的最小正值是的最小正值是 () 解析：解析：sin，且，且的终边在第四象限，的终边在第四象限， 答案：答案：B 3.已知已知costan0，那么角，那么角是是() A.第一或第二象限角第一或第二象限角B.第二或第三象限角第二或第三象限角 C.第三或第四象限角第三或第四象限角D.第一或第四象限角第

5、一或第四象限角 解析：解析：costansin0，cos0. 为第三、四象限角为第三、四象限角. 答案：答案：C 4.弧长为弧长为3，圆心角为，圆心角为135的扇形半径为的扇形半径为，面积，面积 为为. 解析：解析：弧长弧长l3，圆心角，圆心角， 由弧长公式由弧长公式lr得得r4， 面积面积S6. 答案：答案：46 5.若若k18045，kZ，则，则为第为第象限角象限角. 解析：解析：当当k2n时，时，n36045， 当当k(2n1)时，时，n360225， 为第一或第三象限角为第一或第三象限角. 答案：答案：一或三一或三 1.角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在角的集合的表示形式不是唯一

6、的，如：终边在y轴的负轴的负 半轴上的角的集合可以表为半轴上的角的集合可以表为， 也可以表示为也可以表示为. 2.角所在象限角所在象限 第一象限角第一象限角第二象限角第二象限角第三象限角第三象限角第四象限角第四象限角 第一或第一或 第三象限角第三象限角 第一或第一或 第三角限角第三角限角 第二或第二或 第四象限角第四象限角 第二或第二或 第四象限角第四象限角 特别警示特别警示(1)利用终边相同的角的集合利用终边相同的角的集合S|2k， kZ判断一个角判断一个角所在的象限时，只需把这个角写成所在的象限时，只需把这个角写成0,2 范围内的一个角范围内的一个角与与2的整数倍的和，然后判断角的整数倍的

7、和，然后判断角的象限的象限. (2)角度制和弧度制不能混用，如角度制和弧度制不能混用，如2k30(kZ)， k360(kZ)都是不正确的都是不正确的. (1)如果如果是第三象限的角，那么是第三象限的角，那么，2的终边落的终边落 在何处？在何处？ (2)写出终边在直线写出终边在直线y上的角的集合；上的角的集合； (3)若角若角的终边与的终边与角的终边相同，求在角的终边相同，求在0,2)内终边内终边 与与角的终边相同的角角的终边相同的角. 思路点拨思路点拨 课堂笔记课堂笔记(1)由由是第三象限的角得是第三象限的角得 即即. 角角的终边在第二象限；的终边在第二象限； 由由 得得24k234k(kZ)

8、. 角角2的终边在第一、二象限及的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴轴的非负半轴. (2)在在(0，)内终边在直线内终边在直线y上的角是上的角是， 终边在直线终边在直线yx上的角的集合为上的角的集合为|k， kZ. (3) 依题意依题意 k0,1,2， 即在即在0,2)内终边与内终边与相同的角为相同的角为 在在(1)的条件下，判断的条件下，判断为第几象限角？为第几象限角？ 解：解： 为第二或第四象限角为第二或第四象限角. 设扇形的弧长为设扇形的弧长为l，圆心角大小为，圆心角大小为(弧度弧度)，半径为，半径为r， 则则l|r；S扇形 扇形 lr|r2 特别警示特别警示这里给出的弧长、扇形面积公式

9、是在弧度制这里给出的弧长、扇形面积公式是在弧度制 下的，使用时切记将圆心角用弧度来表示下的，使用时切记将圆心角用弧度来表示. 已知一扇形的圆心角是已知一扇形的圆心角是，半径为，半径为R，弧长，弧长l. (1)若若=60,R=10cm，求扇形的弧长，求扇形的弧长l. (2)若扇形周长为若扇形周长为20cm,当扇形的圆心角当扇形的圆心角为多少弧度时为多少弧度时,这个这个 扇形的面积最大扇形的面积最大? 思路点拨思路点拨 课堂笔记课堂笔记 (2)由题意得由题意得l2R20， l202R(0R10). (10R)RR210R. 当且仅当当且仅当R5时，时，S有最大值有最大值25. 此时此时 当当2ra

10、d时，扇形面积取最大值时，扇形面积取最大值. 若扇形的周长为若扇形的周长为10cm，面积为，面积为4cm2，如何求，如何求？ 解：解：依题意有依题意有 代入得代入得R25r40， 解之得解之得R1或或R4. 当当R1cm时，时，l8cm，此时，此时8rad2rad，舍去；，舍去； 当当R4cm时，时，l2cm，此时，此时rad. 1.判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限. 2.对于已知三角函数式的符号判断角所在的象限，可先根对于已知三角函数式的符号判断角所在的象限，可先根 据三角函数式的符号确定三角函数值的符号，再判断角据三角函数式的符号确定三角

11、函数值的符号，再判断角 所在的象限所在的象限. (1)若若sincos0，且，且tancos0，则角，则角 的终边落在的终边落在() A.第一象限第一象限B.第二象限第二象限 C.第三象限第三象限D.第四象限第四象限 (2)若若是第二象限角，则是第二象限角，则的符号是什么？的符号是什么？ 思路点拨思路点拨 课堂笔记课堂笔记(1)因为因为sincos0，所以角，所以角在第一或第三在第一或第三 象限，又象限，又tancos0，则角，则角在第三或第四象限，故角在第三或第四象限，故角 的终边落在第三象限的终边落在第三象限. 答案答案C 本节是三角函数的基础，高考偶尔以选择题的本节是三角函数的基础，高考

12、偶尔以选择题的 形式进行考查，考点主要集中在三角函数在各象限形式进行考查，考点主要集中在三角函数在各象限 的符号问题，以及终边相同角的三角函数问题，纵的符号问题，以及终边相同角的三角函数问题，纵 观近三年高考题，观近三年高考题，08年全国卷年全国卷第第1题和题和09年北京年北京 卷第卷第5题都能很好的代表本节高考的考向题都能很好的代表本节高考的考向. 考题印证考题印证 (2008全国卷全国卷)若若sin0且且tan0，则，则是是() A.第一象限角第一象限角B.第二象限角第二象限角 C.第三象限角第三象限角D.第四象限角第四象限角 【解析解析】选选由由sin0得得在三、四象限在三、四象限. 由

13、由tan0得得在一、三象限；在一、三象限； 故故在第三象限在第三象限. C 自主体验自主体验 (2009北京高考北京高考)“2k(kZ)”是是“cos2”的的 () A.充分而不必要条件充分而不必要条件B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.充分必要条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析：由由2k(kZ)可得到可得到cos2. 由由cos2得得22k(kZ)， k(kZ). 由由cos2，不能得到，不能得到2k(kZ). 答案：答案：A 1.若若cos0，且，且sin20，则角，则角的终边所在象限是的终边所在象限是() A.第一象限第一象限B.第二象限第二象

14、限 C.第三象限第三象限D.第四象限第四象限 解析：解析：sin22sincos0，而，而cos0.sin 0. 为第四象限角为第四象限角. 答案：答案：D 2.“tan1”是是“”的的() A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.充要条件充要条件 D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析：解析： 答案：答案：B 3.(2010西宁模拟西宁模拟)已知锐角已知锐角终边上一点终边上一点A的坐标是的坐标是 (2sin,2cos)，则，则弧度数是弧度数是() 解析：解析：点点A的坐标是的坐标是(2sin,2cos)，即，即(1). sin，又，又为锐角，为锐角， . 答案：答案：C 4.已知角已知角的终边落在直线的终边落在直线y3x(x0)上，则上，则 . 解析：解析：角角的终边在直线的终边在直线y3x(x0)上，上， 为第二象限角，为第二象限角， sin