定积分的几何应用面积和弧长PPT学习教案

1、会计学1 定积分的几何应用面积和弧长定积分的几何应用面积和弧长 定积分的元素法元素法 一、什么问题可以用定积分解决一、什么问题可以用定积分解决 ? 二二 、如何应用定积分解决问题、如何应用定积分解决问题 ? 第1页/共29页 表示为表示为 n i ii xfU 1 0 )(lim 1) 所求量所求量 U 是与区间是与区间a , b上的某分布上的某分布 f (x) 有关有关 的的 2) U 对区间对区间 a , b 具有具有可加性可加性 , 即可通过即可通过 “分割分割, 近似代替近似代替, 求和求和, 取极限取极限” b a xxfd)( n i ii xf 1 0 )(lim 定积分定义定积

2、分定义 一个整体量一个整体量 ; 第2页/共29页 第一步第一步 利用利用“分割分割 , 近似代替近似代替” 求出局部量的求出局部量的 微分表达式微分表达式 xxfUd)(d 第二步第二步 利用利用“ 求和求和 , 取极限取极限 ” 求出整体量的求出整体量的 积分表达式积分表达式 Uxxf b a d)( 这种分析方法称为这种分析方法称为元素法元素法 (或或微元分析法微元分析法 ) 元素元素的几何形状常取为的几何形状常取为: 条条, 带带, 段段, 环环, 扇扇, 片片, 壳壳 等等 近似值近似值 精确值精确值 第二节第二节 ( ) d (0(0) Uf xx dx dx 第3页/共29页 一

3、、一、 平面图形的面积平面图形的面积 二、二、 平面曲线的弧长平面曲线的弧长 定积分在几何学上的应用 第4页/共29页 y b xa )( 2 xfy )( 1 xfy O 1. 直角坐标情形直角坐标情形 设曲线设曲线)0()(xfy与直线与直线 )(,babxax及及 x 轴所围曲轴所围曲 则则 xxfAd)(d xxfA b a d)( 边梯形面积为边梯形面积为 A , 右下图所示图形面积为右下图所示图形面积为 xxfxfA b a d)()( 21 Oxb a y )(xfy xxd x xxxd O O 第5页/共29页 22 ,xyxy在第一象限所围在第一象限所围 图形的面积图形的面

4、积 . 解解: 由由 xy 2 2 xy 得交点得交点 ) 1, 1 ( , )0,0( 2 3 3 2 x 0 1 3 3 1 x 3 1 1 2 0 ()dAxxx x y O xy 2 2 xy x xxd ) 1 , 1 ( 1O 第6页/共29页 O xy2 2 4 xy x y xy2 2 与直线与直线 的面积的面积 . 解解: 由由 xy2 2 4 xy 得交点得交点)4,8( , )2,2( )4,8( 18 4 xy所围图形所围图形 )2,2( 2 2 1 yy4 4 2 3 6 1 y 为简便计算为简便计算, 选取选取 y 作积分变量作积分变量, 则有则有 4 2 1 2

5、2 (4)dAyyy y yyd O 第7页/共29页 a b 1 2 2 2 2 b y a x 解解: 利用对称性利用对称性 , xyAdd 所围图形的面积所围图形的面积 . 有有 a xyA 0 d4 利用椭圆的参数方程利用椭圆的参数方程 )20( sin cos t tby tax 应用定积分换元法得应用定积分换元法得 0 2 4Atbsinttad)sin( 2 0 2 dsin4ttba ba4 2 1 2 ba当当 a = b 时得圆面积公式时得圆面积公式 xxxdx y O 第8页/共29页 y x a bO ab O y x )( )( ty tx 给出时给出时, 按按顺时针

6、方向顺时针方向规定起点和终点的参数值规定起点和终点的参数值 21 ,tt 则曲边梯形面积则曲边梯形面积 2 1 d)()( t t tttA )( 1 axt对应)( 1 bxt对应 O 第9页/共29页 x y a2O )cos1 (, )sin(tayttax)0( a 的一拱与的一拱与 x 轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积 . 解解: t t ad 2 sin4 2 0 42 ) 2 ( t u 令uuadsin8 0 42 uuadsin16 2 0 42 2 16a 4 3 2 1 2 2 3 a 2 0 (1 cos )(1 cos )dAatatt ttad)cos1 (

7、 2 0 22 2 00 (sin )2(sin )fx dxfx dx O 第10页/共29页 ,0)(, ,)(C设求由曲线求由曲线)(r 及及 ,射线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 . )(r d 在区间在区间,上任取小区间上任取小区间d, 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d)( 2 1 d 2 A 所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为 d)( 2 1 2 A xOO 第11页/共29页 对应对应 从从 0 变变 解解: )0(aar d d)( 2 1 2 a 2 0 A 2 2 a 3 3 1 0 2 23 3 4 a 到到

8、 2 所围图形面积所围图形面积 . a2 xOO 第12页/共29页 心形线心形线 xa2 O ttadcos8 2 0 42 所围图形的所围图形的 面积面积 . 解解: )0()cos1 (aar d d)cos1 ( 2 1 22 a 0 2A 0 2 a d 2 cos4 4 (利用对称性利用对称性) 2 t令 2 8a 4 3 2 1 2 2 2 3 a 心形线心形线 O 第13页/共29页 x y a O 2222 yxaxayx 即即)cos1 ( ar 点击图中任意点点击图中任意点 动画开始或暂停动画开始或暂停 尖点尖点:)0,0( 面积面积: 2 2 3 a 弧长弧长:a8 参

9、数的几何意义参数的几何意义 第14页/共29页 2 coscos21 )2cos1 ( 2 1 a a2 x y O 与圆与圆 所围图形的面积所围图形的面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 , )0()cos1 (aar 所求面积所求面积 ar d)cos1 ( 2 1 22 a2 2 2 1 aA 2 22 2 1 aad)2cos 2 1 cos2 2 3 ( 2 4 3 2 1 22 aa 22 2 4 5 aa 2 第15页/共29页 a 2sin 2 a 所围图形面积所围图形面积 . 解解: 利用对称性利用对称性 , 2cos 22 ar d2cos 2 1 2 a 4 0 4A

10、4 0 2 a )2(d2cos 0 则所求面积则所求面积 为为 4 2 a 思考思考: 用定积分表示该双纽线与圆用定积分表示该双纽线与圆 sin2ar 所围公共部分的面积所围公共部分的面积 . 2A dsin 2 0 26 ad2cos 2 1 4 6 2 a 4 答案答案: 4 y x OO 第16页/共29页 定义定义: 若在弧若在弧 AB 上任意作内接折线上任意作内接折线 , 0 M 1i M i M n M 当折线段的最当折线段的最 大大 边长边长 0 时时, 折线的长度之和趋向于一个确定的极限折线的长度之和趋向于一个确定的极限 , 则称此极限为曲线弧则称此极限为曲线弧 AB 的弧的

11、弧 长长 , 即即 并称此曲线弧为可求长的并称此曲线弧为可求长的. ii MM 1 定理定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的任意光滑曲线弧都是可求长的. ( (证明略证明略) ) n i 1 0 lim s O A B y x 第17页/共29页 sd ab y xO )()(bxaxfy )(xfy 弧长元素弧长元素(弧微分弧微分) : xxxd xyd1 2 因此所求弧长因此所求弧长 xys b a d1 2 xxf b a d)(1 2 22 )(d)(ddyxs 第18页/共29页 )( )( )( t ty tx 弧长元素(弧微分) : 因此所求弧长 tttsd)()( 22 tttd

12、)()( 22 22 )(d)(ddyxs 第19页/共29页 )()( rr ,sin)(,cos)(ryrx令 因此所求弧长 d)()( 22 rrs d)()( 22 yx d)()( 22 rr 则得 sd 弧长元素(弧微分) : (自己验证) 第20页/共29页 )ch( c x c c x c csh 1 )(chbxb c x cy 成悬链线 . 求这一段弧长 . 解解:xysd1d 2 x c x dsh1 2 x c x dch b x c x s 0 dch2 c x c sh2 0 b c b csh2 2 ee ch xx x ) (ch x 2 ee sh xx x

13、) (sh x xsh xch c xbbO y 下垂 悬链线方程为 第21页/共29页 )cos1 ( )sin( tay ttax )0( a一拱)20( t 的弧长 . 解解:ts t y t x d)()(d 2 d d2 d d )cos1 ( 22 tata 22 sintd ttad)cos1 (2 t t ad 2 sin2 t t asd 2 sin2 2 0 2 cos22 t a 0 2 a8 x y Oa2 第22页/共29页 d 222 aa 相应于 02 一段的弧长 . 解解: )0(aar d)()(d 22 rrs d1 2 a d1 2 0 2 as 2 1

14、2 a 2 1ln 2 1 0 2 )412ln( 2 41 22 a a r a2 O ar 第23页/共29页 1. 平面图形的面积 边界方程 参数方程 极坐标方程 2. 平面曲线的弧长 曲线方程参数方程方程 极坐标方程 22 )(d)(ddyxs弧微分: d)()(d 22 rrs 直角坐标方 程 上下限按顺时针方向 确定 直角坐标方程 注意注意: 求弧长时积分上 下限必须上大下小 2 1 d)()( t t tttA d)( 2 1 2 A 第24页/共29页 1.用定积分表示图中阴影部分的面积用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长及边界长 s . 提示提示: 交点为交点为, )

15、3,9( , ) 1, 1 ( yAd 3 1 2 yx 032 yx y x O 1 3 y )32(y 2 y 3 32 yd 3 1 2 41y yd 3 1 2 21 弧线段部分弧线段部分直线段部直线段部 分分 )52ln()376ln( 4 1 55373 s 以以 x 为积分变量为积分变量 , 则要分则要分 两段积分两段积分, 故以故以 y 为积分变量为积分变量. 第25页/共29页 解：解： 2. 求曲线求曲线所围图形的面积所围图形的面积.1lnlnyx 显然显然1ln,1lnyx O y x e 1 e 1 e 1 1 e ee,ee 11 yx xln ,ln x ,ln x

16、 e1 x 1e 1 x yln ,ln y ,ln y e1 y 1e 1 y 1e 1 x 1e 1 y , e 1 xy中曲线为 面积为面积为 同理其他同理其他. e 1 yx xye e x y exy S 1 e 1 dx) e 1 (e x x e 1 dx) e e ( x x 2 1 e2 1 e 又又 故在区域故在区域 第26页/共29页 分析曲线特点分析曲线特点 ) 1( xxy O y x 解解: 4 1 )( 2 2 1 x 1 A ) 1( xxy与与 x 轴所围面积轴所围面积 1 1 0 1 d) 1(xxxA 6 1 ,0时 2 A 1 2 d) 1(xxxA , 21 AA 由 6 1 2 1 3 1 23 ,0) 2 1 3