机械制图之投影变换

1、1 2 3 2.1 2.1 问题的提出问题的提出 当几何元素相对于投影面处于当几何元素相对于投影面处于 时，其投影往往能时，其投影往往能交点、交线交点、交线 的位置或图形实形、线段实长。的位置或图形实形、线段实长。 定位问题定位问题度量问题度量问题 4 几何元素不动几何元素不动 变换投影面位置变换投影面位置 投影变换目的投影变换目的 改变几何元素与投影面之间的相对位改变几何元素与投影面之间的相对位 置，使之平行或垂直投影面。借助于改置，使之平行或垂直投影面。借助于改 变后的辅助投影，而简化解题。变后的辅助投影，而简化解题。 投影面不动几何投影面不动几何 元素绕某轴旋转元素绕某轴旋转 5 2.2

2、 2.2 选择新投影面的原则选择新投影面的原则 如何求线段如何求线段ABAB的实长？的实长？ V H X P1 a1 b1 A a b a b B 6 选择新投影面的原则选择新投影面的原则 V H X P1 A a b a b B a1 b1 新投影面必对空间新投影面必对空间 几何元素处于有利几何元素处于有利 于解题的位置于解题的位置 新投影面必须垂直新投影面必须垂直 原投影面体系中的原投影面体系中的 某一投影面以构成某一投影面以构成 新的相互垂直的投新的相互垂直的投 影面体系影面体系 7 a a ax A V H X 2.3 2.3 点的投影变换规律点的投影变换规律 X1 P1 ax1 a1

3、 XV H a a ax X1 H P1 a1 ax1 8 XV H a a ax X1 H P1 a1 ax1 点的投影变换规律点的投影变换规律 在新投影面体系中，在新投影面体系中， 点的一对投影连线垂点的一对投影连线垂 直于新投影轴直于新投影轴 新投影到新轴之距新投影到新轴之距 = = 被代替的投影到原投被代替的投影到原投 影轴之距影轴之距 9 X V H a a 点的二次换面点的二次换面 X1 X2 H P1 P1 P2 a1 a2 10 2.4 2.4 四个基本作图问题四个基本作图问题 例例 求求ABAB实长及对实长及对H H面倾角面倾角 X1 a1 b1 实长实长H P1 a b a

4、 b O V H X 当当ABAB为新投影面的为新投影面的 平行线时，其投影平行线时，其投影 直接反映实长直接反映实长 更换哪个投影面？更换哪个投影面？ 因为要求因为要求 （与（与H H面面 倾角），则必须保倾角），则必须保 留留H H面而使面而使ABAB平行平行P P1 1 X1 ab a1 b1 P1 H 11 V H X Ba b a b P1 b1 a1 P2 a2 b2 A 将一般位置直线将一般位置直线 投影面垂直线投影面垂直线 更换一次投影面更换一次投影面 不能实现不能实现 将投影面平行线将投影面平行线 更换一次投影面更换一次投影面 投影面垂直线投影面垂直线 P X Ba b P1

5、 b1 a1 P2 a2 b2 A 将一般位置直线将一般位置直线 投影面平行线投影面平行线 将将投影面平行线投影面平行线 投影面垂直线投影面垂直线 12 X1 X2 a2 b2 a1 b1 X1 / ab X2 a1b1 H P1 P1 P2 将一般位置直线将一般位置直线 投影面平行线投影面平行线 将将投影面平行线投影面平行线 投影面垂直线投影面垂直线 X a b a b H V V H X B a b a b P1 b1 a1 P2 a2 b2 A 注意新投影轴方向的确定注意新投影轴方向的确定 13 a b k k a b XV H 过点过点K K作直线与作直线与 ABAB垂直相交并垂直相交

6、并 求其实长求其实长 X1 b1 k1 X2 l1 l l X1/ab k1l1/X2 H P1 P1 P2 在什么情况下所在什么情况下所 求线段的投影直求线段的投影直 接反映其实长接反映其实长? ? A B K L P a b l k 如何将如何将ABAB变换成变换成 投影面垂直线？投影面垂直线？ a1 求点求点K K到直线到直线ABAB之距之距 将将ABAB/线线 将将ABAB 线线 A B K L Pa b l k X2 a1b1 a2 b2 l2 k2 14 必须使平面内某必须使平面内某 一直线成为该投一直线成为该投 影面的垂直线影面的垂直线 取平面内的取平面内的 X1 m m a1

7、c1 b1 H P1 a b c b a c X V H 15 a b c b a c X V H 求求ABCABC实形实形 平面相对于投影面平面相对于投影面 处于何种位置时其处于何种位置时其 投影直接反映实形投影直接反映实形 先将平面变换先将平面变换 成投影面垂直面成投影面垂直面 X1 H P1 a1 a2 b1 b2 c1 c2 X2 P1 P2 1 1 X1 b1 再将平面变换再将平面变换 成投影面平行面成投影面平行面 X2 / c1b1a1 16 a c b d a c b XV H 应用举例应用举例 ABCABC与与ABDABD夹角为夹角为6060, ,求求a ad d,b,bd d

8、 c1 a1 b1 X1 a2 b2 H P1 d1 d X2 P1P2 当两平面的交线当两平面的交线 ABAB垂直于新投影垂直于新投影 面时它们在该投面时它们在该投 影面上的投影反影面上的投影反 映其夹角实大映其夹角实大 c2 d2 60 将将AB AB 投影面平行线投影面平行线 新投影轴新投影轴 X X1 1/ab/ab 将将AB AB 投影面垂直线投影面垂直线 新投影轴新投影轴X X2 2 a a1 1b b1 1 17 a b c b c a XV H 过点过点A A作直线与作直线与BCBC相交成相交成6060 X1 b1 c1 a1 X2 a2 b2 c2 m2 n2 m1 n1 m

9、 m n n H P1 P1 P2 在实形图形上直接反映直线夹角在实形图形上直接反映直线夹角 大小，此题实质是求实形问题大小，此题实质是求实形问题 将平面将平面 投影面垂直面投影面垂直面 X X1 1 平面内一投影面平行线平面内一投影面平行线 将平面将平面 投影面平行面投影面平行面 X X2 2 / / 平面的积聚性投影平面的积聚性投影 60 60 返回到原投影面体系返回到原投影面体系 18 将一般位置平面变换成投影面平行面将一般位置平面变换成投影面平行面 将一般位置平面变换成投影面垂直面将一般位置平面变换成投影面垂直面 将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面垂直线 将一般位置直线变换成投影面平行线将一般位置直线变换成投影面平行线 将一般位置直线变换成投影面垂直线将一般位置直线变换成投影面垂直线 将一般位置平面变换成投影面