巧用构造法之---三角函数

1、 巧用“构造法”之-三角函数 【摘要】：解数学问题的方法有很多，构造法是其中的一种基本方法，而构造法就是以已知条件为载体，以所求结论为方向构造一种新的数学形式，使问题在这种形式下容易解决，三角函数中的许多问题是求角或三角函数值及最值，巧妙地应用方程、函数、数列等有关知识进行构造，可以在解题过程中避免复杂公式，达到灵活，方便，快捷的目的。【关键词】：构造法 三角函数 构造思想 三角形 圆形数学家庞加莱说:“正因为简单是美的,因此我们宁可寻求简单的事实。”在解三角函数的题目时,三角函数问题千变万化，题型丰富,只用常规方法去处理可能很繁杂，甚至难以奏效,若能创造性的利用已知条件,运用构造的思想去考虑

2、,常常能得到简单的、优美的解法。“要什么，求什么，给什么，用什么”是基本的常规解题思路和解题模式，在解题过程中根据所给命题的题设条件或结论的结构特征，利用各种知识间的内在联系的性质或形式上的某种相似性，有目的地构造一个特定的数学模型，从而把原命题转化为一个与之等价却又具有了某种被赋于特定意义的命题，通过对它的讨论而使原命题得到解法所以说在解三角函数题中能应用好构造思想解题会给我们解题开辟新的思路,那么如何去构造呢？本文就通过一些具体问题，来探讨构造思想在三角函数中应用。一、构造方程解三角题对于某些三角求值问题，直接计算很难入手，可运用根与系数的关系，联想构造一元二次方程来求解。例：求sin18

3、和cos36的值。分析：180不是一个特殊角。按照一般的方法不易求得其准确值。若注意到180的五倍是900。可设x=180，有2x=900一3x，得sin2x=cos3x 展开，那么我们构造方程则易于解决问题。构造方程因为一元二次方程本身具有一些可扩展的内容，如方程有实根则其判别式不小于零；其根与系数之间具有非常特殊的关系韦达定理；二、构造几何图形解三角题例：已知锐角，满足cos2cos2cos21，求证：tan tan tan由已知条件cos2cos2cos21想到构造长、宽、高分别为a，b，c的长方体abcda1b1c1d1，（如图），使其对角线ac1与棱ab、ad、aa1的夹角分别为，显

4、然，满足cos2cos2cos21联想是由一事物想及到另一事物的思维方式和过程，这种想及通常是事物的形式、结构、范围、关系这些因素作用的结果特点活泼而流畅由联想而引发构造是构造思维的一种常见方式三、构造代数（或函数）式解三角题在构造代数（或函数）式解题时，常构造“对偶式”、“对称式”,还可以“换元”构造新的函数，有利于重组问题中各元素，汇聚题目条件，收到事半功倍的效果。例1：求sin220cos250sin20 cos50的值对于式子y， 我们主要是考虑到同角三角函数的平方关系，二倍角公式等，不断的利用三角恒等变换顺利完成三角恒等变形，使问题求解简便例2 求sin10sin30sin50sin

5、70解 设asin10sin30sin50sin70，构造对偶式bcos10cos30cos50cos70注 对于式子bcos10cos30cos50cos70， 我们是不断的利用二倍角公式，顺利完成三角恒等变形，使问题求解简便，是一种直觉思维这种创造性思维的构造，我们称为直觉构造三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简洁的求解，以上例题通过换元转化为二次函数的最值问题，但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，既要根据给定的x的取值范围，求出t的范围4. 构造几何背景解三角题某些问题是具有几何背景，

6、用常规方法较难解决，而类比构造其几何意义，运用数形结合的数学思想、直观地反映元素之间的关系，使问题快速解决。例：求函数 五、构造解析几何模型解三角题对各量关系不明确的问题，创造性地构造与之相关的解析几何模型，凸现各元素之间的内在联系，揭示问题的实质，使问题变得简单明了。从上述例题的求解可以充分看出，构造法确实是一种解题的好途径，应用构造思想解题不是拘泥于常规思路和一般解法，而是着眼于透过题设或结论的表面形式，掌握好构造思想和构造法，将对提高我们的思维能力有很大的好处构造法解题是一种富有创造性的思维活动，一种数学形式的构造绝不是单一思维方式的产物，而是多种思维方式交叉、联系、融汇在一起共同作用的结果如果在解三角函数题中能构