高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第一节函数及其表示教师用书理1014222

1、第一节函数及其表示2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单应用。2015，全国卷，5,5分(分段函数)2014，全国卷，15,5分(分段函数)1.以考查函数的三要素和表示法为主，函数的图象、分段函数也是考查的热点；2.题型以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是函数的解析式，对研究函数的性质、应用有很重要的作用。微知识小题练自|主|排|查1函数与映射的概念函数映射定义建立在两个非空数集a

2、到b的一种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应建立在两个非空集合a到b的一种确定的对应关系f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应记法yf(x)，xaf：ab2.函数的三要素函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数yf(x)，xa，其中x叫做自变量，x的取值范围a叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xa叫做值域。3函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。4分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数

3、。分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。微点提醒1由于映射中的两个集合是非空集合，函数中的两个集合是非空数集。所以函数是特殊的映射。2判断两个函数是不是相等函数，关键是看定义域和对应关系是否相同。3求分段函数的函数值，要依据自变量所属的区间，选择相应的对应关系求解。当自变量不确定时，需分类讨论。4判断函数图象的常用结论：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点。小|题|快|练一 、走进教材1(必修1p17例1(1)改编)函数f(x)的定义域为()a0,2) b(2，)c0,2)(2，) d(，2)(2，)【解析】由题意得解得x0且x2。故选c。【答案】c2(必修1p23练习t2

4、改编)若函数yf(x)的定义域为mx|2x2，值域为ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()【解析】a中函数定义域不是2,2，c中图象不表示函数，d中函数值域不是0,2。故选b。【答案】b二、双基查验1下列四组函数中，表示同一函数的是()af(x)|x|，g(x)bf(x)lgx2，g(x)2lgxcf(x)，g(x)x1df(x)，g(x)【解析】a中，g(x)|x|，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；b中，两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；c中，f(x)x1(x1)与g(x)x1两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；d中，f(x)的定义域为1，)，g(x)的定义域为

5、(，11，)，所以不是同一函数。故选a。【答案】a2(2016全国卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lgx的定义域和值域相同的是()ayx bylgxcy2x dy【解析】通性通法函数y10lgx的定义域为(0，)，又当x0时，y10lgxx，故函数的值域为(0，)。只有d选项符合。故选d。光速解法易知函数y10lgx中x0，排除选项a、c；又10lgx必为正值，排除选项b。故选d。【答案】d3(2016重庆模拟)设函数f(x)满足f(x2)2f(x)x，且当0x0，解得4x4，x3或2x3，即函数f(x)的定义域为(2,3)(3,4。故选c。(2)因为0x3，所以1x218，所以

6、f(x)的定义域为1,8。【答案】(1)c(2)1,83抽象函数：(1)若已知函数f(x)的定义域为a，b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；(2)若已知函数f(g(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域。【变式训练】(1)(2016沈阳模拟)已知函数yf(x1)的定义域是2,3，则yf(2x1)的定义域是()a3,7 b1,4c5,5 d.(2)(2017包头模拟)函数f(x)的定义域是_。【解析】(1)由x2,3得x11,4，由2x11,4，解得x。故选d。(2)要使该函数有意义，需要则有解得3x0或2x3，所以所求函数的定义域为(3,0

7、)(2,3)。【答案】(1)d(2)(3,0)(2,3)考点二 求函数的值域【典例2】(1)函数y的值域是_；(2)函数y的值域是_；(3)函数y的值域是_；(4)函数y的值域是_。【解析】(1)y4x值域为(0，)，所以0164x 16，所以00，则x2，y；若x0，x2，y。即该函数的值域是。【答案】(1)0,4)(2)0,2(3)(，3)(3，)(4)反思归纳求函数值域的常用方法有：(1)观察法；(2)配方法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)换元法；(6)数形结合法；(7)不等式法等等，其中单调性法是最常见的方法。【变式训练】(1)函数y的值域是_；(2)函数y的值域是_；(3)

8、函数y的值域是_。【解析】(1)根据函数yx2的值域及不等式的性质可以直接观察出函数的值域为y|0y。(2)由得x1，y在1，)上单调递减。又，因此0y。所以函数y的值域为(0，。(3)因为x2x120恒成立，所以函数的定义域为r，原式可化为y(x2x1)x2x1，整理得(y1)x2(y1)xy10。若y1，即2x0，则x0；若y1，因为xr，即有0，所以(y1)24(y1)20，解得y3且y1。综上所述，函数的值域是y|y3。【答案】(1)(2)(0，(3)考点三 求函数的解析式母题发散【典例3】(1)已知f(x)是二次函数，且f(0)0，f(x1)f(x)x1，则f(x)_。(2)已知fx

9、2，则f(x)_。【解析】(1)设f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0，知c0，f(x)ax2bx，又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，所以解得ab。所以f(x)x2x，xr。(2)由于fx222，所以f(x)x22，x2或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22，x2或x2。【答案】(1)x2x，xr(2)x22，x(，22，)【母题变式】若将本典例(2)的条件改为“f(x)的定义域为(0，)，且f(x)2f1”，如何求解？【解析】在f(x)2f1中，用代替x，得f2f(x)1，将f1代入f(x)2f1中，可求

10、得f(x)。即函数f(x)的解析式为f(x)，x(0，)。【答案】f(x)，x(0，)反思归纳函数解析式的求法1待定系数法：适合已知函数的类型(如一次函数、二次函数)。2换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围。3配凑法：由已知条件f(g(x)f(x)，可将f(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式。4消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件将x换成或x构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。【拓展变式】定义在r上的函数f(x)满足f(x1)2f(x)。若当0x1时，f(x)x(1x

11、)，则当1x0时，f(x)_。【解析】当0x1时，f(x)x(1x)，当1x0时，0x11，f(x1)(x1)1(x1)x(x1)，而f(x)f(x1)x2x。当1x0时，f(x)x2x。【答案】x2x考点四 分段函数多维探究角度一：分段函数求值【典例4】(1)(2016沈阳监测)已知函数f(x)则f(f(4)的值为()a b9c. d9(2)已知f(x)若f(a)，则a_。【解析】(1)f(4)log4log22，所以f(f(4)f(2)32。故选c。(2)若a0，由f(a)得，a，解得a；若a0，则|sina|，a，解得a。综上可知，a或。【答案】(1)c(2)或角度二：分段函数图象与性质

12、的应用【典例5】对任意实数a，b定义运算“”：ab设f(x)(x21)(4x)，若函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点，则k的取值范围是()a(2,1) b0,1c2,0) d2,1)【解析】解不等式x21(4x)1，得x2或x3。所以f(x)其图象如图实线所示，由图可知，当1k2，yf(x)与yk恰有三个交点，即当2k1时，函数yf(x)k的图象与x轴恰有三个不同交点。故选d。【答案】d反思归纳1.对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内。2由

13、分段函数的函数值相同求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数图象与相应直线相交的交点横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参数范围。微考场新提升1下列函数中，与函数yx相等的是()ay()2 bycy dy解析a中，y()2x(x0)与函数yx(xr)对应关系相同，但定义域不同，故a错；c中，函数y|x|(xr)与函数yx(xr)的对应关系不同，故c错；d中，函数yx(x0)与函数yx(xr)的定义域不同，故d错；b中，函数yx(xr)与函数yx(xr)对应关系相同，定义域也相同，故b正确。故选b。答案b2已知集合m1,1,2,4，n0,1,2，给出下列四个

14、对应法则：yx2，yx1，y2x，ylog2|x|。其中能构成从m到n的函数的是_。解析对于，m中的2,4两元素在n中找不到元素与之对应，对于，m中的1,2,4在n中没有元素与之对应。答案3对于集合ax|0x2，by|0y3，则由下列图形给出的对应f中，能构成从a到b的函数的是()解析对于b，c两图可以找到一个x与两个y对应的情形，对于a图，当x2时，在b中找不到与之对应的元素。故选d。答案d4设f，g都是从a到a的映射(其中a1,2,3)，其对应关系如下表：x123f312g321则f(g(3)等于()a1 b2c3 d不存在解析由表格可知g(3)1，f(g(3)f(1)3。故选c。答案c5设函数f(x)若f4，则b()a1 b.c. d.解析f3bb，当b1，即b时，f2b，即2b422，得到b2，即b；当b时，f3bb4b，即4b4，得到b0，则|f1f2|2c，依题意，得|pf1|pf2|2d(d为常数，且dc)，所以|xc|y0|xc|y0|2d，即|xc|xc|2|y|2d。当cxc时，(xc)cx2|y|2d，即y(dc)；当xc时，(xc)xc2|y|2d，即xyd0。画出以上三种情形的图象，可知选