2021年高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第2单元《一元二次函数、方程与不等式》(基础篇）（解析版）

1、第2单元 一元二次函数、方程与不等式（基础篇）基础知识讲解一不等式定理【基础知识】对任意的a，b，有abab0；abab0；abab0，这三条性质是做差比较法的依据如果ab，那么ba；如果ab，那么ba如果ab，且bc，那么ac；如果ab，那么a+cb+c推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d如果ab，且c0，那么acbc；如果c0，那么acbc二不等式大小比较【技巧方法】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间

2、量或放缩法；（8）图象法其中比较法（作差、作商）是最基本的方法三基本不等式【基础知识】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数公式为：（a0，b0），变形为ab（）2或者a+b2常常用于求最值和值域四、基本不等式的应用【基础知识】1、求最值2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【技巧方法】技巧一：凑项需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值技巧二：凑系数遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值技巧三：分离技巧四：换元一般，令t

3、x+1，化简原式在分离求最值技巧五：结合函数f（x）x+的单调性技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错技巧七：取平方两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式五二次函数的性质【基础知识】 二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化它的一般表达式为：yax2+bx+c（a0）【技巧方法】开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a0（0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x；最

4、值为：f（）；判别式b24ac，当0时，函数与x轴只有一个交点；0时，与x轴有两个交点；当0时无交点根与系数的关系若0，且x1、x2为方程yax2+bx+c的两根，则有x1+x2，x1x2；二次函数其实也就是抛物线，所以x22py的焦点为（0，），准线方程为y，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离平移：当ya（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成ya（x1+b）2+c；六一元二次不等式【基础知识】 含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式它的一般形式是 ax2+bx+c0 或 ax2+bx+c0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式【技

5、巧方法】 （1） 当b24ac0时，一元二次方程ax2+bx+c0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（xx1）（xx2） （2） 当b24ac0时，一元二次方程ax2+bx+c0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（xx1）2 （3） 当b24ac0时一元二次方程ax2+bx+c0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解特例：一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0（a0）解的讨论（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，（3）无理不等式：转化为有理不等式求解（

6、4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；应用化归思想等价转化七一元二次方程根与系数的关系【基础知识】 一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c0（a0）有解时，不妨设它的解为x1，x2，那么这个方程可以写成ax2a（x1+x2）x+ax1x20即x2（x1+x2）x+x1x20它表示根与系数有如下关系：x1+x2，x1x2习题演练1 选择题（共12小题）1若a，b，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】A【解析】对于A，若，则，故A正确

7、；对于B，若，则，故B错误；对于C，若，则满足，但此时，故C错误；对于D，若，则满足，但此时，故D错误.故选：A.2下列不等式中，正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】A【解析】若，则,故B错，设,则，所以C、D错，故选A3如果实数满足：，则下列不等式中不成立的是 （ ）ABCD【答案】D【解析】，则，A正确；由两边同除以得，B正确；由得，C正确；，则，D错误故选：D4下列结论正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】C【解析】当时，满足，但不成立，所以A错；当时，满足，但不成立，所以B错；当时，满足，但不成立，所以D错；因为所以，又，因此同向不等式相加得，即C对；故选：

8、C5函数的最小值是（ ）A4B6C8D10【答案】C【解析】因为，所以，取等号时，即，所以.故选：C.6函数的最小值是（ ）A4B6C8D10【答案】C【解析】解：因为，所以，取等号时，即，所以.故选：C7已知，则的最小值为（ ）A16B4CD【答案】C【解析】因为，则，当且仅当且即，时取等号故选：C8不等式的解集是（ ）ABCD【答案】B【解析】解：不等式，即，求得，所以原不等式的解集为故选：9已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】欲使不等式的解集为空集，即函数的图像与轴无交点或只有一个交点，则，解得，故选A项.10若不等式 对任意实数 均成立，则实数的取值

9、范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】由题意，不等式，可化为， 当，即时，不等式恒成立，符合题意； 当时，要使不等式恒成立，需 ， 解得，综上所述，所以的取值范围为，故选：.11已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】集合，则故选：C12已知集合，则集合（ ）ABCD【答案】A【解析】由，解得，所以.，所以.故选：A2 填空题（共6小题）13不等式的解集为_【答案】【解析】由得，所以不等式的解集为故答案为：.14已知，且，则的最小值为_.【答案】9【解析】，等号成立时，.故答案为：9.15已知，则的取值范围是_【答案】【解析】因为，则，又由，根据不等式的基本性质，可得，所以的取值范围是.1

10、6已知正数a，b满足，则的最小值为_【答案】49【解析】因为正数a，b满足，所以，当且仅当时，等号成立故答案为：4917已知，且，则的最小值为_.【答案】4【解析】，可得，当且仅当时取等号，或（舍去），故的最小值为4.故答案为：418关于的不等式的解集是，则_【答案】【解析】因为关于的不等式的解集是，所以关于的方程的解是，由根与系数的关系得，解得，所以.三解析题（共6小题）19已知不等式的解集是（1）若，求的取值范围；（2）若，求不等式的解集【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到值，代入不等式可求解其解

11、集试题解析：（1），（2），是方程的两个根，由韦达定理得解得不等式即为：其解集为20已知函数（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）当时，解关于的不等式【答案】（1）；（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为【解析】（1）由条件知，关于的方程的两个根为1和2，所以，解得（2）当时，即，当时，解得或；当时，解得；当时，解得或综上可知，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为21已知关于的不等式：（1）若不等式的解集为，求的值； （2）若不等式的解集为，求的取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为关于的不等式：的解集为，所以和1是方程的两个实数根，由韦达定理可得:，得（2）因为关于的不等式的解集为 当时，-30恒成立. 当时，由，解得： 故的取值范围为22设函数（1）若不等式的解集为，求的值（2）若，求的最小值【答案】（1）（2）9【解析】（1）因为不等式的解集为，所以和是方程的两实根，从而有，即，解得（2）由，得因为，所以，当且仅当，即时等号成立所以的最小值为923已知（1）当时，求不等式的解集；（2）解关于的不等式【答案】（1）；（2）答案见解析.【解析】（1）时，不等式化