概率9章-3-几种重要的随机过程

1、随机过程随机过程第三节第三节 几类重要过程几类重要过程独立增量过程独立增量过程泊松过程泊松过程正态过程正态过程维纳过程维纳过程小结小结随机过程随机过程 2( ),( )( )X ttTtTE XtX t随随机机过过程程，如如果果对对每每一一都都存存定定在在，则则称称是是二二阶阶 义义 矩矩过过程程，二二阶阶矩矩过过程程的的均均值值函函数数和和相相关关函函数数总总是是存存在在的的. .随机过程随机过程 0110211( ),00, ( )( ) 0, ( )( ), ( )( ), , ( )() ( ),0,nnnX t tstX tX sntttnX tX tX tX tX tX tX t

2、ts t L LL L给给定定二二阶阶矩矩过过程程，若若称称随随机机变变量量为为随随机机过过程程在在区区间间；对对任任意意选选定定的的正正整整数数和和任任意意选选定定的的个个增增量量相相互互上上的的增增量量独独立立, , 则则称称为为独独立立增增量量义义 定定过过程程； 在互不重叠的区间上在互不重叠的区间上, 状态的增量是相互独立的状态的增量是相互独立的.随机过程随机过程 0,()( ).)(hshthX thX shX tX s 若若对对任任意意的的实实数数和和与与具具有有相相同同的的分分布布，则则增增量量具具有有 定定 称称平平稳稳性性义义, ( )( )()(0) (0), .()X t

3、X sX tsXtsstts 若若增增量量具具有有平平稳稳性性 则则的的分分布布函函数数与与 的的分分布布函函数数相相同同，即即只只依依赖赖于于时时间间差差而而不不依依赖赖于于和和本本身身 当当增增量量具具有有平平稳稳性性时时，称称相相应应的的独独立立增增量量过过程程是是齐齐次次的的 或或 时时齐齐的的 . .随机过程随机过程独立增量过程的性质独立增量过程的性质 ( ),0(0)0,X t tX若若是是独独立立增增量量过过程程，且且则则：1. ( )( )( ) (0) X tX tX sst 的的有有限限维维分分布布函函数数族族可可以以由由增增量量的的分分布布所所确确定定； 2. ( ) (

4、 , )min( , ) .XXXDtCs tDs t 设设已已知知，则则随机过程随机过程1. ( )( )( ) (0) X tX tX sst 的的有有限限维维分分布布函函数数族族可可以以由由增增量量的的分分布布所所确确定定； 1212121111121211: ( ),( ),( )( )(0), ( )( )( )(0) , . , ( )()( ),( ), ( )( )(0),( )( ),( )(). nnniiinnnntttX tX tX tX tXX tX tX tXX tX tX tX tX tX tXX tX tX tX t L LL LL LL L证证明明 对对任任意

5、意的的及及, ,即即的的分分布布函函数数可可由由：的的分分布布函函数数确确定定随机过程随机过程 ,( , )( ).XXtsCs tDt同同理理当当时时 可可证证得得 2. ( ) ( , )min( , ) .XXXDtCs tDs t 设设已已知知，则则( )( )( )XY tX tt 证证明明：记记，( )( )X tY t则则具具有有独独立立增增量量性性时时，也也具具有有独独立立增增量量性性，(0)0, ( )0, ( )( )YXYE Y tDtDt且且 , st 设设则则( , ) ( ) ( )XCs tE Y s Y t 2 ( )(0) ( )( ) ( )(0)EY sY

6、Y tY sY sY 2 ( )(0) ( )( )( )EY sYY tY sE Ys 2( )(0)( )( )( )( )=( )YXE Y sYE Y tY sE YsDsDs ( ) ( )( )( )E Y s Y tY sY s随机过程随机过程 ( ), 00, ( ), .0 N tttN tt 以以表表示示在在时时间间间间隔隔内内出出现现的的质质点点数数，则则是是一一状状态态取取非非负负整整数数、时时间间连连续续的的随随计计机机过过程程称称为为数数过过程程， 0000( , )( )( ), 0, , ,N t tN tN tttt t 记记 表表示示时时间间间间隔隔内内出出

7、现现的的质质点点数数 其其概概率率记记为为二、泊松过程二、泊松过程 00 ( , )( , ), 0,1,2 kP t tP N t tkkL L随机过程随机过程( )N t等间隔的等间隔的不等间隔的不等间隔的123 ttt45 tt随机过程随机过程( )N t 计计数数过过程程满满足足如如下下条条强强度度为为定定义义的的泊泊件件 ，称称作作松松过过程程. .1. .在在不不相相重重叠叠的的区区间间上上的的增增量量具具有有独独立立性性 12. , ( ,)( ,)1(), , ( )tP t ttP N t tttotN t 对对于于充充分分小小的的其其中中常常数数称称为为常常数数的的强强度度

8、. . 22 3. ( ,),()jjjtP t ttP N t ttjot 对对于于充充分分小小的的， 4. (0)0.N 随机过程随机过程 000( ),0 1 2. 0,( )( ); 3. (0)0,( ),0.N t tttN tN tttNN t t : : 若若计计数数过过程程满满足足下下列列三三个个条条件件：. . 它它是是独独立立增增量量过过程程; ;对对任任意意的的增增量量 则则称称是是一一强强度度为为 的的泊泊松松过过程程泊泊松松过过程程也也可可用用另另一一形形式式定定义义：随机过程随机过程 12121212( ),0( ),0, . : ( )( )( ) .7NttN

9、ttN tNtNt例例 设设和和为为两两个个相相互互独独立立的的泊泊松松过过程程 强强度度分分别别为为和和试试证证为为强强度度+ +的的泊泊松松过过程程证证明明： 00120(1)( );(2) , ( )( )()() ;(3) (0)0.N tttN tN tttN : : 为为独独立立增增量量过过程程对对任任意意分析分析: 利用等价定义利用等价定义, 只需证明以下三个条件成立只需证明以下三个条件成立:1212(3) (0)(0)0, (0)(0) (0)0.NNNNN由由题题意意知知 故故下面按下面按(3)(1)(2)的顺序进行证明的顺序进行证明.随机过程随机过程012111122112

10、121111(1) 0 , ( )( )-()=( )-() +( )-() , 1,2,., , , , , , , ,., ,.,niiiiiiiinnnnttttN tN tN tN tN tN tN tUVinxxxyyyP UxUxVyV L L LLLL任任取取作作的的增增量量对对任任意意实实数数; ; 有有 111111112121122,.,., , , ., , , , ., , , ., ,( ) .nnnnnnnnnnnnnnyP UxUxP VyVyP UxP UxP VyP VyUUUVVVUVUVUVN t 即即知知 相相互互独独立立从从而而 相相互互独独立立即即

11、为为独独立立增增量量过过程程随机过程随机过程 011010220200110220120(2) , ( )( )() , ( )( )() , ( )( )( )( )( )( ) ()(ttN tN tttNtNtttN tN tN tN tNtNttt : : : :对对任任意意由由题题意意知知从从而而 ) . 8834 ,34P第第三三章章习习题题习习题题 110220 ( )( )( )( )N tN tNtNt 与与独独立立随机过程随机过程 0001. ,;E N t tE N tN ttt 强强度度为为 的的泊泊松松过过程程的的数数字字特特征征： 00002. ,000 , ;NN

12、D N t tD N tN ttttNtE N ttDtD N tt 特特别别地地，由由假假设设，可可得得： 3. ,min,min, ,0NNCs tDs ts ts t 24. , min, , ,0NNNNRs tCs tsts tsts t随机过程随机过程( ),0(5)4;(5)4,(7.5)6,(12)9;(12)9(5)4;(4)(5),(5),(5),(12).N ttP NP NNNP NNE ND NCov NN 设设服服从从强强度度为为 的的泊泊松松过过程程，求求(1(1例例8 8) ) (2) (2) (3(3 ) ) (1) 54504P NP NN (2) 54,(

13、7.5)6,(12)9P NNN 54,(7.5)(5)2,(12)(7.5)3P NNNNN4522.534.5(5 )(2.5 )(4.5 )4!2!3!eee解解：45(5 )4!e 随机过程随机过程 ( ),0(5)4;(5)4,(7.5)6,(12)9;(12)9(5)4;(4)(5),(5),(5),(12) .N ttP NP NNNP NNE ND NCov NN 设设服服从从强强度度为为 的的泊泊松松过过程程，求求(1) (1) (2) (2) 例例(3) (3) 7 7解解： (3) (12)9(5)4P NN (12)(5)5(5)(0)4P NNNN57(12)(5)5

14、(7 )5!P NNe (4) (5)=5 , (5)5 ,E ND N (5),(12)(5)5 .Cov NND N (5)4(12)9?P NN随机过程随机过程 455749 449912(5)4, (12)9(12)9(5)4, (12)(5)5(12)9(5)4 (12)(5)5(12)9(5 )(7 )554!5!1(12 )12129!P NNP NP NNNP NP NPNNP NeeCe (5)4(12)9?P NN随机过程随机过程思考题思考题: : ( ),0, : , ( )|( )1.kn kN t tstnssP N sk N tnttk 对对任任意意泊泊松松过过程程

15、证证明明 对对都都有有随机过程随机过程等待时间等待时间点间间距点间间距(不作要求不作要求)随机过程随机过程 1212( ),1, ( ),( ),( ) ( ),nnX ttTnt ttTX tX tX tnX ttT LLLL是是一一随随机机过过程程, ,若若它它的的每每一一有有限限维维分分布布都都是是正正态态分分布布，即即对对任任意意整整数数及及任任意意服服从从维维正正态态分分正正态态过过程程布布，则则称称是是, ,高高定定 或或称称义义斯斯过过程程. . 正正态态过过程程的的全全部部统统计计特特性性完完全全由由它它的的均均值值函函数数和和自自协协方方差差函函数数所所确确定定。三、正态过程

16、三、正态过程随机过程随机过程四、维纳过程四、维纳过程维纳过程是布朗运动的数学模型维纳过程是布朗运动的数学模型 以以W(t)表示运动中一微粒从时刻表示运动中一微粒从时刻t=0到时刻到时刻t0的的位移的横坐标，且设位移的横坐标，且设W(0)=0。由于微粒的运动是受。由于微粒的运动是受到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果，于是到大量随机的、相互独立的分子碰撞的结果，于是:(1) 粒子在时段粒子在时段(s,t上的位移可看作是许多微小位移上的位移可看作是许多微小位移的和，根据中心极限定理，假设位移的和，根据中心极限定理，假设位移W(t)-W(s)服从服从正态分布是合理的。正态分布是合理的。(2) 由于

17、粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引由于粒子的运动完全由液体分子不规则碰撞而引起的，这样，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次起的，这样，在不相重叠的时间间隔内，碰撞的次数、大小和方向可假设相互独立，即数、大小和方向可假设相互独立，即W(t)具有独立具有独立增量，同时增量，同时W(t)的增量具有平稳性。的增量具有平稳性。随机过程随机过程 2( ),0 1. 2. 00,0; 3. (0)0,W t ttsW tW sNtsW 给给定定二二阶阶矩矩过过程程，如如果果它它满满足足：具具有有独独立立增增量量; ;对对任任意意，定定义义增增量量 , , 且且 称称此此过过程程 为为维维纳纳过过程程. .

18、随机过程随机过程 ( )0,WtE W t 维纳过程的性质维纳过程的性质1. 维纳过程是齐次的独立增量过程维纳过程是齐次的独立增量过程.2. 维纳过程是正态过程维纳过程是正态过程, 因此因此, 其分布完全由它的其分布完全由它的均值函数和自协方差函数均值函数和自协方差函数(即自相关函数即自相关函数)所确定所确定.2( )(0) (0,)W tWNt 3. 维纳过程的数字特征维纳过程的数字特征: 2 ( ),WDtD W tt 2 ,min, min, ,0.WWWCs tRs tDs ts ts t 随机过程随机过程( ),0 ( )(1)( ).W t tX tW tW t 设设是是一一个个维

19、维纳纳过过程程，求求+-+-的的均均值值函函数数和和相相9 9关关函函数数例例( )( )(1)( )0XtE X tE W tE W t 解解：+-+-( , )(1)( )(1)( )XRs tE W sW sW tW t+(1)(1)( )(1) (1)( )( )( )E W sW tE W s W tE W sW tE W s W t+ + +(min(1,1)(min( ,1) (min(1, )(min( , )WWWWDstDs tDstDs t随机过程随机过程2 0, 1( , )(1), 1XsttsRs ttsts 类类似似讨讨论论的的情情况况，即即有有st 设设，则则22222(min(1,1)(1), (min( ,1), (min( , ), (1), 1(min(1, ) , 1WWWWDstsDs tsDs tsstsDsttts 2 0 , 1( , )(1),1XtsRs ttsts 于于是是，随机过程随机过程2 ( )(), , ( ), ( ) .ttX teW eW tX t 设设为为正正常常数数为为维维纳纳过过程程 求求的的均均值值函函数数和和协协例例1 1方