西工大计算方法试题06-10(含答案)

1、一、考试内容线性方程组和非线性方程（组）的求解、矩阵特征值和特征向量的计算、微积分 的计算、微分方程定解问题的求解等，都是工程、科技、统计等实际问题中大量 碰到的数学问题，这些问题的精确解很难求出。而计算方法则是一门适合于计算机计算求解的数值方法，它简单可行，能有效求出上述数学问题的近似 解。通过本课程的学习，要求学生能掌握利用计算机求解基本数学问题常用的 数值计算方法，学会构造基本的计算格式，并能作一定的误差分析，使学生具备基本的科学计算能力。主要有：1. 了解计算方法的认务和特点；2. 熟练掌握方程的的近似解法，包括二分法、迭代法、牛顿迭代法和弦割法3. 熟练掌握线性代数方程组的解法，直接

2、解法中的高斯消去法、矩阵的直接三 角分解法，平方根分解法，解三对角方程组的追赶法；解线性方程组的迭代法， 简单迭代法，雅可比迭代法，赛德尔迭代法， SO肪法及其收敛性4. 熟练掌握矩特征值和特征向量的计算，乘幕法与反幕法，古典雅可比方法， 雅可比过关法5. 熟练掌握插值法，拉格朗日插值法，牛顿插值法，等距节点插值法，埃尔米 特插值法，三次样条插值法6. 熟练掌握最小二乘法与曲线拟合，掌握矛盾方程组与最小二乘法，数据的多项式拟合，可化为线性拟合模型的曲线拟合7. 熟练掌握数值积分与数值微分，包括牛顿-柯特斯求积公式、复化求积公式、 龙贝格求积算法、高斯型求积公式和数值微分；8. 熟练掌握常微分方

3、程初值问题数值解法，包括欧拉法与梯形法、泰勒展开法 与龙格-库塔法、线性多步法2006-2007 第一学期填空1) 近似数X = 1.253关于真值X =249有位有效数字；1 nnL f(x)dx 賂送 Akf(Xk) z Ak2) 设有插值公式z，则7=;(只算系数)*er ( r)-3) 设近似数xi = 0.0235，x 2.5160都是有效数，则相对误差x24) 求方程x = cosx的根的牛顿迭代格式为 ；x1 x2 = 1|2x1 2x2 二 2* 捲 _ x2 =1捲 _x2 = 15) 矛盾方程组宀+决=-1与占+2X2 = -1得最小二乘解是否相同 。X二. 用迭代法(方法

4、不限)求方程 xe =1在区间(0，1)内根的近似值，要求先论证收敛性，误差小于10 时迭代结束。2 x三. 用最小二乘法y =ax be中的常数a和b ,使该函数曲线拟合与下面四个占八、(1，-0.72)(1.5, 0.02),(2.0, 0.61),(2.5, 0.32)(结果保留到小数点后第四位)四用矩阵的直接三角分解法求解线性方程组*1 0 2 00 10 1X2312 43X317Q 10 3五设要给出f X二cosx的如下函数表XiX。- hX。x +hf (Xi)f(X0 -h)f (Xg)f(Xc +h)用二次插值多项式求f(x)得近似值，问步长不超过多少时，误差小于10六.

5、设有微分方程初值问题Jy = 2y 4x,0 x 兰0.2$(0)=21 ）写出欧拉预估一校正法的计算格式；2）取步长h=0.1，用欧拉预估校正法求该初值问题的数值解（计算结果保留 4位小数）。七. 设有积分01 x（小取11个等距节点（包括端点0和1）,列出被积函数在这些节点上的函数值 数点侯保留4位）;用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小（小 数点侯保留4位）。八. 对方程组卩2-2*4、111 IX21221丿61. 用雅可比迭代法求解是否对任意初始向量都收敛？为什么？2. 取初始向量x二（0,0,0）丁，用雅可比迭代法求近似解x（k1），使 x（畀 1

6、0（i =1,2,3）九.设f（x）在区间a，b上有二阶连续导数，且f（a）=f（b）=0 ，试证明1max f（x）8（b - max f（x）a 空辺8a :x _b参考答案:1: (1)3 (2) 2 (3) 0.0023Xk -COSXkxk sinxk cosxk(4)1 sinx1 sinx,k = 0,1,2,.2. 方程的等价形式为 x =，迭代格式为xke 收敛性证明；当X，（0,1）时, 申（x）| =e e0 =1所以依据全局性收敛定理，可知迭代格式收敛 取迭代初值为& = 0.5，迭代结果如下nXn|xn _xn00.510.606530.0106520.54524-0

7、.0612930.579700.0344640.56006-0.0196450.571170.0111160.56486-0.006313.x11.52.02.52Xn12.254.06.25Xn e2.718284.481697.3890612.18249-12.71828-0.7212.254.48169FL0.024.07.38906:bj0.61矛盾方程组为6.25 12.18249一I0.32 一对应的正则方程组为61.125118.4989 a _3.765*18.4989 230.4859b占.538196_解得 a - 2.0019, b -1.0009所以拟和曲线方程为y =

8、 2.19x2-1.。004. 由矩阵Doolittle 分解的紧凑记录形式有*10 2 05 *10 2 050 10 130 10 1312 4 31712 2 16少 10 37T1 0 24回代求解得4 1x42x3(6 -1 x4) = 22 23 -0x31x4x2115 -0x2 2x3 0x4x-i11方程组的解向量为x= (1,1,2,2).5.令maxxk丄童診4f ()3! (x -xk二)(x -Xk)(x -Xk 3!10可求得h 4.2498 (或h 0.2289)6. yF =1.6,浙=1.62,y2)=1.256, y2 =1.27247. 0.6932R(f

9、) 1.3331058.(1) Jacobi迭代法的迭代矩阵为0-1-20-22-1谱半径BJ =0 : 1 .此时Jacobi迭代法对任意初始向量都收敛(2)4r82、1x=-6(3),x =0(4),x =0厂79. 以X。二a*二b为插值节点，做Lagrange插值：1匕1Uf (x L1 (x)f ( )(x-a)(x-b) f ( )(x-a)(x-b)2! 2!其中(x)a,b。故1 1 1 2max f(x)兰max 匚f V)(a)(b_max f(x)max(xa)(xb)兰8(ba) max 广(x)a空至a童坐 2!2 a童色a纟色8a兰空2007-2008 第一学期1填

10、空（15分）1）设近似数x* = 9.2270 , x； =0.8009都是四舍五入得到的，则相对误差* *e（X1X2）2） 拟合三点A（3,1）, B（1,3），C（2,2）的平行于y轴的直线方程为 .3）近似数x =0.0351关于真值x =0.0349有 位有效数字.1n _J匸 f （x）dx 氐 E Ak f （xk）4） 插值型求积公式心至少有次代数精确度.5）Simpson（辛浦生）求积公式有 代数精确度.3 22.（ 10 分）已知曲线 2.89与y = 2.4xO.Mx在点（1.6,6.9）附近相切,x _ x 10_4试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值 人*，当x计-Xn

11、U误差小于p 时停 止迭代。3. （10分）用最小二乘法确定y =拟2 “1 nx中的常数a和b，使得该函数曲线拟合于下面四个点（1，2.01）, （2，7.3）, （3,16.9）, （4,30.6）（ 计算结果保留到小数点后4位）3 2A= 104.（10分）用乘幕法求矩阵346 1丿的按模最大的特征值?1的第k次近似7 （k）值1及相应的特征向量少）、1 。要求取初始向量U0=(1,2,1)T 且()1k1 0.1。5. （10分）设有方程组a1厂3(a = 0)写出与Jacobi迭代法对应的Gauss-Seidel方法的迭代格式；Jacobi方法的迭代矩阵为：当参数a满足什么条件时，J

12、acobi方法对任意的初始向量都收敛。6. （10分）已知四阶连续可导函数y = f（x）的如下数据:Xi12f (Xi)05f(Xi)110试求满足插值条件P（Xi） = f，P（Xi） = f （x）的三次插值多项式P（x）,并写出截断误差R（x）二f（X）- p（x）的导数型表达式（不必证明）7.（15分）设有积分1 x3eXdx1）取7个等距节点（包括端点1和2）,列出被积函数在这些节点上的函数值表 （小数点后至少保留4位）；2）用复化simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。8. （10分）给定初值问题2y =0, y=1,1 ： x _ 1.4x写出欧拉（E

13、uler）预估-校正的计算格式;取步长h =0.2，求y（1.4）的近似值9. （10分）用迭代法的思想证明：（等号左边有k个2）km.2 、2 III 2 =2参考答案：1: (1)6.78 X 10 5, (2) x=2 (3) 2(4) n-2 (5) 32 22.切线斜率相等：3x =4.8x 0.51 , 3x -4.8x 0.51 =023xn 4.8xn0.51Xn1=Xn-牛顿迭代格式：6焉-4.8取 x 1.6 得 x 1.70625,X? = 1.70002, X3 = 1.70000, x 1.70000a =2.01 4a +bln 2 =7.33. 矛盾方程组:9a

14、bl n3 = 16.916a bl n4 =30.8672.91(66.0471335434.84081a正则方程组:34.840813.60921 丿 厂a ： 1.9997, b ： -1.0042(k 1)4.取初始向量V = (1 2 1)，用乘幕法公式进行计算，且取(k) V1V，得為 1.0 x =(13516,27032,20226)T5.(1)迭代格式为(k 1)Xix3k 1)b1 x2k)-3x3k)ab2 -x；k 1 -2x3k)a二 1 b3 3才2x2k 1a Jacobi迭代法的迭代矩阵为12P(Bj )=谱半径.由B J ：1 得此时Jacobi迭代法对任意初

15、始向量都收敛.6.3p(x)=x -2x 1, R(x) = f (x) - p(x)匚 4!&-1)2&-2)2, (x)(1,2)7.8.20.2174 R(f)兰 0.0048(1) Euler预-校法的计算格式为yn 1 二 yn hf (Xn , y“)hyn yn 2 f (Xn,yn) f X 1 , 丫补0)2h =0.2 , f(x,y)二止(2)将x代入，则(0) yn半 ryn 1-yn 0.22ynXnyn +0.1 区 +1-(XnXn书丿代入X。i, yo i得；y0i.2y20 =1.4681y(1.2)沙=1.22y(1.4)托 y2 =1.497989.证明考

16、虑迭代格式Xo , Xk 1 = .2Xk,k二0,1,，则片=J2 x2 = $2+72 Xk =；2+#2+寸2 +2+J2设：(x)；2 x，则当 x 0,2时，(x) (0),(2)=1 由：(X2 2 x ,则当x 0,2时,1(x)兰|A(0)=丽 1所以，由迭代格式X0,Xk2 Xk产生的序列收敛于方程内的根:.设何人，则有：=2 ：，即叮2 =2 ：.解之得胡：(k个 2)2,2 0,2；x= 2 x 在0,2一1 .舍去不合题意lim Xk 2的负根，有k / ，即诚信保证本人知晓我校考场规则和违纪处分条例的有关规定，保证遵守考场规则，诚实做人。本人签字： 编号：学号：班号：

17、姓名：成绩西北工业大学考试试题(卷)2009 2010学年 第2学期开课学院：理学院课 程：计算方法学时：322010年04月30日考试时间：2小时 闭卷(A卷)(共9道题，注意检查)1.(每小题3分，共15分)填空(1) 设近似数x； = 9.2270,x； = 0.8009都是“四舍五入”得来的，则相对误差er(x1 x2)兰；(2) 拟合三点 A (3 , 1) , B (1 , 3) , C (2 , 2 )的平行于 y轴的直线方程为;(3)近似数x* = 0.0351关于真值x = 0.0349 有位有效数字；(4)1插值型求积公式f(x)dxn -1 Z .k mAk f (xk)

18、至少有次代数精确度;(5)Simpson (辛浦生)求积公式有次代数精确度。2. (10 分)已知曲线 y =x32.89 与 y = 2.4x2 0.51x 在点(1.6,6.9 )附近相切。试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值Xn出,当Xn出- Xn兰10时停止迭代。西北工业大学命题专用纸23. (10分)用最小二乘法确定y=ax - blnx中的常数a和b，使该函数曲线拟合于下列四个点：(1 , 2.01), (2,7.3) , (3,16.9) , (4,30.6)(计算结果保留到小数点后第4位)。西北工业大学命题专用纸4. (10分)用乘幕法求矩阵A =10的按模最大的特征值 1的第k

19、次近似值 ；k)及相应的特征向量 x1k)。要求取初始向量Uo = (1 ,2 ,1)T，且-0.1。所以：1k)，x1k)t(1 ,)T ,t = 0西北工业大学命题专用纸5 (10分)设有方程组a13)1f、X1b1 ”1a2 11X2=b21一32a.丿4 (1)写出与Jacobi迭代法对应的 Gauss-Seidel方法的迭代格式;(1) Jacobi方法的迭代矩阵为:(2)当参数a满足什么条件时 Jacobi方法对任意初始向量都收敛?西北工业大学命题专用纸共8 页第4 页6. (15分)已知四阶连续可导函数 y = f(x)的如下数据:Xi1 2f (Xi)05f (xj1 10试求

20、满足插值条件p(Xi)二 f (Xi) , p(xj 二 f (Xi)的三次插值多项式p(x)，并写出截断误差 R(x)二f(x)- p(x)的导数型表达式(不必证明)。西北工业大学命题专用纸共8 页第5 页7. ( 15分)设有积分I：x3exdx(1)取7个等距节点(包括端点 1和2),列出被积函数在这些节点上的函 数值表(小数点后至少保留 4位)；(2)用复化Simpson公式求该积分的近似值，并由截断误差公式估计误差大小。西北工业大学命题专用纸共8页第6 页8. (10分)给定初值问题2y - y =0 ,y(1)=1 ,1 x 1.4x(1) 将y(Xn i)在Xn作二阶Taylor

21、展开，由此建立求解该初值问题的计算格式;(2)取步长h=0.2,用上述方法求 y(1.2)、y(1.4)的近似值。西北工业大学命题专用纸共8页第7页9. ( 5分)用迭代法的思想证明lim $2 +J2+7k2=2(等号左边有k个2)西北工业大学命题专用纸共8 页第8 页参考答案1.(1) 6.78 10 - (2) X = 3 2 位(4) n-2(5) 3 次22在切点(x,y)导数相等得3x _4.8x_0.51 =0Xk 123xk -4.8xk -0.516Xk 4.8k =0,1,2,取初值X。=1.6，计算得x3 =1.7 00 00 0x4 =1.70000035430.068

22、22 丫a、广 672.91、,30.068223.60921 丿(b 丿住6.04712丿3.正规方程:a 1.1 8 5 2,b &42564. 丁 =3.561 ,t(1,0562,1)t，t 05. x=(0.66667,1.08333, - 1.05208)T x(4) =(1.000, 0.999, 0.999)t3f G)226. p(x)=x3-2x 1 R(f)(x-1)2(x-2)24!7.被积函数在节点处的值列表如下Xi17686961061162f(Xi)2.718285.099388.9924015.1257024.5115338.5417059.11245系数142

23、4241I 1 = = 1363.90571 =20.2169818 18rE孟的冲.08 计 WO.0234375)& yn 1 二 yn 0.2仏 0.02(牛一电) XnXn Xny(1.2)y, = 1.22 , y(1.4) y2 = 1.4894办公室卫生管理制度一、主要内容与适用范围1 本制度规定了办公室卫生管理的工作内容和要求及检查与考核。2 此管理制度适用于本公司所有办公室卫生的管理二、定义 1 公共区域：包括办公室走道、会议室、卫生间，每天由行政文员进行清扫；2个人区域：包括个人办公桌及办公区域由各部门工作人员每天自行清扫。1. 公共区域环境卫生应做到以下几点：1) 保持公共区域及个人区域地面干净清洁、无污物、污水、浮土，无死角。2