模糊数学及其评价应用

1、模糊集合的概念模糊集合的概念一般地，为研究某事物的规律性，总是先给定义目标集，如研究年龄规律，取0，130，它表达了问题的总范围，称为论域,一般记为U。定义：论域定义：论域U中的模糊集合中的模糊集合A，是以隶属函数，是以隶属函数 A A为表征集合，即为表征集合，即 A A：U U0，1 A A A A称作称作A A的隶属函数，的隶属函数， A A（ ）表示元素）表示元素 U属属于于A的程度，并称的程度，并称 A A（ ）为）为 对于对于A A的隶属度。的隶属度。关于此定义，有如下几点说明：关于此定义，有如下几点说明： 1）A的隶属函数与普通集合的特征函数相比，它是经典的隶属函数与普通集合的特征

2、函数相比，它是经典集合的一般化，而经典集合则是它的特殊形式。亦即集合的一般化，而经典集合则是它的特殊形式。亦即A是是U上的一个模糊子集。上的一个模糊子集。 2）模糊子集完全由其隶属函数来刻划。事实上，我们可）模糊子集完全由其隶属函数来刻划。事实上，我们可以建立模糊子集与隶属函数间的一一对应关系。以建立模糊子集与隶属函数间的一一对应关系。 A A（ ）接近于）接近于1 1，表示，表示 隶属于隶属于A A的程度大；反之的程度大；反之 A A（ ）接近于零，表示接近于零，表示 隶属于隶属于A A的程度小。的程度小。 3 3）隶属函数是模糊数学的最基本概念。借助于它才有可）隶属函数是模糊数学的最基本概

3、念。借助于它才有可能对模糊集合进行量化，也才有可能利用精确数学方法去能对模糊集合进行量化，也才有可能利用精确数学方法去分析和处理模糊信息。分析和处理模糊信息。 正确地建立隶属函数，是使模糊集合能够恰当地表现模糊正确地建立隶属函数，是使模糊集合能够恰当地表现模糊概念的关键。概念的关键。 2 模糊集合的表达方式模糊集合的表达方式 当论域当论域X为有限集为有限集x1, x2, , xn 时时 （1）Zadeh 表示法表示法 （2）序偶表示法）序偶表示法 A=(x1, A A(x(x1 1), ), (x2, A A(x(x2 2), ), (xn, A A(x(xn n) （3）向量表示法）向量表示

4、法 A= ( A A(x(x1 1), ), A A(x(x2 2), ), A A(x(xn n) 当当X X为无限不可数的集合时，为无限不可数的集合时，Zadeh给出如下记法给出如下记法 其表示论域上的元素其表示论域上的元素x与其隶属度与其隶属度 A A(x)(x)间的对应关系。间的对应关系。 3 模糊集合的运算模糊集合的运算 模糊集合完全由隶属函数加以确定，实际上模糊集合间的模糊集合完全由隶属函数加以确定，实际上模糊集合间的运算，就是逐点对隶属函数作相应的运算。运算，就是逐点对隶属函数作相应的运算。（1）模糊集合间的包含和相等关系）模糊集合间的包含和相等关系 设论域设论域X的两个模糊集合

5、的两个模糊集合A、B，对于，对于X上的每一个元素上的每一个元素x都有都有 A A(x) (x) B B(x)(x)，则称，则称A包含包含B，记作，记作 设论域设论域X的两个模糊集合的两个模糊集合A、B，对于，对于X上的每一个元素上的每一个元素x都都有有 A A(x)(x)= B B(x)(x)，则称，则称A与与B相等，记作相等，记作A=B。（2）模糊集合的并、交、补运算）模糊集合的并、交、补运算 设设A、B为论域为论域X上的两个模糊集合，对于上的两个模糊集合，对于A、B 的并集的并集AB 、交集、交集AB 、补集、补集的隶属函数分别定义为：的隶属函数分别定义为：式中符号式中符号表示取大运算，表

6、示取大运算，表示取小运算，称为表示取小运算，称为Zadeh算子。算子。例：设论域例：设论域 X=x1, x2, x3, x4, A和和B是论域上的两个模糊集合：是论域上的两个模糊集合： 4 隶属函数的确定与选择隶属函数的确定与选择 模糊性的根源在于客观事物的差异存在着中介过渡，存在模糊性的根源在于客观事物的差异存在着中介过渡，存在着亦此亦彼的现象，而要将客观规律反映到隶属函数中来，又着亦此亦彼的现象，而要将客观规律反映到隶属函数中来，又必须经过人们主观意识的综合、整理加工。必须经过人们主观意识的综合、整理加工。 模糊数学已总结出确定隶属函数的多种方法，给出了多种模糊数学已总结出确定隶属函数的多

7、种方法，给出了多种隶属函数。判别确定和选定的隶属函数是否符合实际，不是看隶属函数。判别确定和选定的隶属函数是否符合实际，不是看单个元素隶属度的数值如何，而是要看这个函数是否正确反映单个元素隶属度的数值如何，而是要看这个函数是否正确反映了元素从属于集合到不属于集合这一变化过程的整体特性。了元素从属于集合到不属于集合这一变化过程的整体特性。 确定隶属函数的主要原则：确定隶属函数的主要原则：（1）运用模糊统计试验和对试验结果予以数学推理，确定）运用模糊统计试验和对试验结果予以数学推理，确定其隶属函数。其隶属函数。（2）运用专家经验打分，并总结出人为技巧对模糊事物进）运用专家经验打分，并总结出人为技巧

8、对模糊事物进行推理来确定隶属函数，然后通过应用进行实践检验，不行推理来确定隶属函数，然后通过应用进行实践检验，不断修改和完善。断修改和完善。（3）当可用实数闭区间表示论域时，可根据问题的性质，）当可用实数闭区间表示论域时，可根据问题的性质，选择恰当的隶属函数。选择恰当的隶属函数。 几种常见的隶属函数几种常见的隶属函数 通常将实数域上的隶属函数称为模糊分布。隶属函数的理通常将实数域上的隶属函数称为模糊分布。隶属函数的理论分布有很多种，这里给出几种连续型的隶属函数。论分布有很多种，这里给出几种连续型的隶属函数。 降半矩形隶属函数降半矩形隶属函数正态隶属函数正态隶属函数 例：设模糊集合例：设模糊集合

9、A、B的隶属函数为的隶属函数为 求求AB 、AB 、。 5 模糊集合的截集与模糊性的度量模糊集合的截集与模糊性的度量 （1）模糊集合的截集）模糊集合的截集 论域论域X中对模糊集合中对模糊集合A的隶属度不小于的隶属度不小于的一切元素组成的的一切元素组成的集合叫作集合叫作A的的截集截集A 。 A =x=xxX， A A(x) (x) 其中其中0，1， 称为阈值或置信水平。称为阈值或置信水平。 A 是一个普通集合，对于论域是一个普通集合，对于论域X X中的元素中的元素x x，当，当 A A(x) (x) 时，时， x A ，意即在，意即在水平下水平下x x属于属于A A；当；当 A A(x) (x)

10、 时，时，x A ，意即在，意即在水平下水平下x x不属于不属于A A。所谓取一个模糊集合。所谓取一个模糊集合A A的的截集，也就是将隶属函数截集，也就是将隶属函数 A A(x)(x)按下式转化成特征函数按下式转化成特征函数 （2 2）模糊性的度量）模糊性的度量 模糊度：是指用一个与实数域模糊度：是指用一个与实数域00，11相对应的法则即映射来相对应的法则即映射来刻画论域刻画论域X X上模糊子集模糊程度的量。上模糊子集模糊程度的量。 19721972年的国学者年的国学者DelacaDelaca首先提出了模糊集的模糊度的概首先提出了模糊集的模糊度的概念，给出以下几条模糊度公理：念，给出以下几条模

11、糊度公理： 当当论域论域X上的模糊集合上的模糊集合A的隶属度的隶属度 A A(x)(x)取取0 0和和1 1时，则时，则A A的模的模糊度糊度D(A)=0D(A)=0，说明一个普通集合的模糊度为，说明一个普通集合的模糊度为0 0，即普通集合是，即普通集合是不模糊的。不模糊的。 当当 A A(x)=0.5(x)=0.5时，时，D(A)D(A)取最大值，即取最大值，即D(A)=1D(A)=1。即当隶属度取。即当隶属度取0.50.5时最模糊。时最模糊。 若对于任意若对于任意xX，设，设X上的两个模糊子集为上的两个模糊子集为A(x)和和B(x)。若。若 A A(x)(x) B B(x)(x)0.5或或

12、 A A(x)(x) B B(x)(x)0.5时，则有时，则有 D(B) D（A） 这说明隶属度越靠近这说明隶属度越靠近0.5越模糊，离越模糊，离0.5越远，则越清晰。越远，则越清晰。 模糊集模糊集A(x)与其补集与其补集 的模糊度是相同的。因为的模糊度是相同的。因为 贴近度：是两个模糊集接近程度的一种度量。贴近度：是两个模糊集接近程度的一种度量。 利用两个模糊集的内积、外积来表示贴近度。利用两个模糊集的内积、外积来表示贴近度。 设设A、B为论域为论域X上的两个模糊集合，则上的两个模糊集合，则A和和B的内积与外的内积与外积分别定义为积分别定义为 而而A和和B的贴近度定义为的贴近度定义为或或 例

13、：设论域例：设论域X=x1,x2,x3,求求A与与B的贴近度。的贴近度。 解：解：则则 取最大、最小的贴近度。取最大、最小的贴近度。 当论域当论域X=x1,x2,xn时，时，当论域当论域X=a,b时时例：例：A=0.4,0.6,0.3,0.5,B=0.1,0.7,0.5,0.2求取最小、最大求取最小、最大的贴近度。的贴近度。 解：解：（3）最大隶属原则与择近原则）最大隶属原则与择近原则 一般地，用隶属函数及隶属度来量化模糊事物，而模糊一般地，用隶属函数及隶属度来量化模糊事物，而模糊事物的模糊程度可用模糊度、贴近度等概念来度量。作为应事物的模糊程度可用模糊度、贴近度等概念来度量。作为应用人们往往

14、需要对工作中的模糊事物（模型）进行识别，它用人们往往需要对工作中的模糊事物（模型）进行识别，它主要依据两条基本原则：最大隶属原则与择近原则，这两条主要依据两条基本原则：最大隶属原则与择近原则，这两条原则将模式识别的方法分为直接方法与间接方法两种。原则将模式识别的方法分为直接方法与间接方法两种。 （1）最大隶属原则）最大隶属原则 设论域设论域 X=x1,x2,xn 上有上有m个模糊子集个模糊子集A1,A2,Am（即（即m个模型），构成了一个标准模型库，若对任一个模型），构成了一个标准模型库，若对任一x0X，i=1，2，m, 使得使得则认为则认为x0相对隶属于相对隶属于Ai，这称为最大隶属原则。，

15、这称为最大隶属原则。例：设有五种产品组成的有限论域例：设有五种产品组成的有限论域X=x1,x2,x5 ，现若定义，现若定义了产品质量好的模糊子集了产品质量好的模糊子集A=0.82,0.54,1.0,0,0.25以及产品以及产品坏的模糊子集坏的模糊子集B =0.05,0.22,0,0.87,0.58。 应用最大隶属原则，易于判定产品应用最大隶属原则，易于判定产品x3相对隶属于相对隶属于A的资的资格最大，而产品格最大，而产品x4相对隶属于相对隶属于B的程度最大。的程度最大。 (2)择近原则择近原则 通过比较模糊子集之间贴近度的大小来识别模糊事通过比较模糊子集之间贴近度的大小来识别模糊事物相对属于哪

16、个类别的，即通过识别有关模糊子集间的关物相对属于哪个类别的，即通过识别有关模糊子集间的关系来鉴别事物，故称为间接模糊模式识别法。系来鉴别事物，故称为间接模糊模式识别法。 设论域设论域X上有上有m个模糊子集个模糊子集A1,A2,Am（即（即m个模个模型），构成了一个标准模型库型），构成了一个标准模型库| A1,A2,Am |，B为论域中为论域中一待识别的模糊子集，若存在一待识别的模糊子集，若存在则称则称B与与Ai按标准分为四类：按标准分为四类： A1,A2, A3,A4 及待识别的洗衣及待识别的洗衣机机B，确定，确定B属于何类。属于何类。解：取影响洗衣机质量的因素集为论域解：取影响洗衣机质量的因

17、素集为论域X。 X=造型、价格、洗净度、洗涤速度、平稳性造型、价格、洗净度、洗涤速度、平稳性， 假设假设X上的模糊集，经专家打分统计得：上的模糊集，经专家打分统计得： A1=0.5,0.3,0.4,0.6,0.4 A2=0.4,0.3,0.5,0.4,0.2 A3=0.3,0.2,0.3,0.5,0.1 A4=0.2,0.1,0.3,0.4,0.2 B= 0.4,0.3,0.4,0.5,0.6 计算计算B对对Ai (i=1,2,3,4) 的贴近度的贴近度(最大最小贴近度最大最小贴近度)为为 (B,A(B,A1 1)=0.83)=0.83 (B,A(B,A2 2)=0.74)=0.74 (B,A

18、(B,A3 3)=0.64)=0.64 (B,A(B,A4 4)=0.55)=0.55 按择近原则按择近原则 max0.83,0.74,0.64,0.55=0.83max0.83,0.74,0.64,0.55=0.83 确定确定B B属于属于A A1 1类类 .6 模糊决策的基本原理模糊决策的基本原理 （1）模糊关系与模糊矩阵）模糊关系与模糊矩阵 模糊关系是指事物之间存在着的不太清晰或不完全确定模糊关系是指事物之间存在着的不太清晰或不完全确定的关系，如可供选择的方案、类型与其评价因素间的关系。的关系，如可供选择的方案、类型与其评价因素间的关系。定义：给定集合定义：给定集合A和和B，由全体有序对

19、元素（，由全体有序对元素（a,b）（）（aA，b B）组成的集合，叫做）组成的集合，叫做A与与B的直积。从集合的直积。从集合A到集合到集合B的模糊关系的模糊关系R，系指直积，系指直积AB上的一个模糊子集合上的一个模糊子集合R，由隶，由隶属函数属函数 R R(a,b)(a,b)刻画，函数值刻画，函数值 R R 代表有序对代表有序对(a,b)具有关系具有关系R的程度，即隶属度。的程度，即隶属度。 例：某产品的质量例：某产品的质量A与价格与价格B为以下集合：为以下集合：A=质量好、质量好、质量一般、质量差质量一般、质量差，B=价格高、价格中等、价格低价格高、价格中等、价格低，则，则表示质量与价格相符

20、关系是直积表示质量与价格相符关系是直积AB上的一个模糊子集上的一个模糊子集R,它的隶属度可表示为它的隶属度可表示为 R R 价格高价格高 价格中等价格中等 价格低价格低 质量好质量好 1 0.7 0 质量一般质量一般 0.8 1 0.5 质量差质量差 0 0.6 1 A到到B的模糊关系可用隶属度组成的的模糊关系可用隶属度组成的33阶矩阵表示，即阶矩阵表示，即一般地，设一般地，设A=a1,a2,an, B=b1,b2,bm以以rij代表元素代表元素ai和和bj具有关系具有关系R的程度的程度R的隶属函数可用一个的隶属函数可用一个n m阶模糊阶模糊矩阵表示矩阵表示上式有时简记为上式有时简记为（2）模

21、糊变换）模糊变换 设给定一个模糊矩阵设给定一个模糊矩阵和一个模糊向量和一个模糊向量 A=(a1,a2,an)则称则称 AoR=B=(b1,b2,bm)为模糊变换，其中为模糊变换，其中 例：例：A=(0.2,0.5,0.3)则则其中分量由公式可得：其中分量由公式可得： b1=(0.20.2) (0.50) (0.30.2)=0.2 0 0.2=0.2 综合评价综合评价是综合决策的内容。下面以电脑评价为例来说明如何评价。某同学想购买一台电脑，他关心电脑的以下几个指标：“运算功能（数值、图形等）”；“存储容量（内、外存）”；“运行速度（CPU、主板等）”；“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）

22、”；价格”。于是请同宿舍同学一起去买电脑。为了数学处理简单，先令1u=“运算功能（数值、图形等）”；2u=“存储容量（内、外存）”；3u=“运行速度（CPU、主板等）”；4u=“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；5u=“价格”。,54321uuuuuU 称因素集。评语集,4321vvvvV 其中1v=“很受欢迎”；2v=“较受欢迎”；3v=“不太受欢迎”；=“不受欢迎”；4v任选几台电脑，请同学和购买者对各因素进行评价。若对于运算功能 有20%的人认为是“很受欢迎”，50%的人认为“较受欢迎”，30%的人认为“不太受欢迎” ，没有人认为“不受欢迎”，则 的单因素评价向量为,1u1u

23、)0 , 3 . 0 , 5 . 0 , 2 . 0(1R同理，对存储容量 ，运行速度 ，外设配置 和价格2u3u4u分别作出单因素评价，得5u) 1 . 0 , 5 . 0 , 3 . 0 , 1 . 0(2R) 1 . 0 , 5 . 0 , 4 . 0 , 0(3R)3 . 0 , 6 . 0 , 1 . 0 , 0(4R组合成评判矩阵4,R3,R2,R1,R5(0.5,0.3,0.2,0.0)R 5RR0 . 02 . 03 . 05 . 03 . 06 . 01 . 00 . 01 . 05 . 04 . 00 . 01 . 05 . 03 . 01 . 00 . 03 . 05 .

24、 02 . 0R该用户对微机的要求是：工作速度快，外设配置较齐全，价格便宜，而对运算和存储量则要求不高。于是得各因素的权重分配向量：(0.1,0.1,0.3,0.15,0.35)A 作模糊变换：存储容量 运行速度 外设配置 价格运算功能 BA R(0.1 0.1 0.3 0.15 0.35)0 . 02 . 03 . 05 . 03 . 06 . 01 . 00 . 01 . 05 . 04 . 00 . 01 . 05 . 03 . 01 . 00 . 03 . 05 . 02 . 0(0.10.2)(0.10.1)(0.30.0)(0.150.0)(0.350.5),(0.10.5)(0.

25、10.3)(0.30.4)(0.150.1)(0.350.3),(0.10.3)(0.10.5)(0.30.5)(0.150.6)(0.350.2),(0.10.0)(0.10.1)(0.30.1)(0.150.3)(0.350.0)(0.10.2)(0.10.1)(0.30.0)(0.150.0)(0.350.5),(0.10.5)(0.10.3)(0.30.4)(0.150.1)(0.350.3),(0.10.3)(0.10.5)(0.30.5)(0.150.6)(0.350.2),(0.10.0)(0.10.1)(0.30.1)(0.150.3)(0.350.0)(0.10.10.00.

26、00.35,0.10.10.30.10.3,0.10.10.30.150.2,0.00.10.10.150.0)15. 0 , 3 . 0 , 3 . 0 ,35. 0(若进一步将结果归一化得：)14. 0 ,27. 0 ,27. 0 ,32. 0(B结果表明，用户对这种微机表现为“最受欢迎”的程度为0.32，“较受欢迎”和“不太受欢迎”的程度为0.27，“不受欢迎”的程度为0.14。按最大隶属原则，结论是：“很受欢迎”。模糊综合评价模糊综合评价 模糊综合评价的一般步骤如下： （1） 确定评价对象的因素集； （2） 确定评语集； （3） 作出单因素评价； （4） 综合评价。 例：评价某种牌号的

27、手表Ux1,x2,x3,x4，其中x1表示外观式样，x2表示走时准确，x3表示价格，x4表示质量。 评语集为Vy1,y2,y3，其中y1表示很满意，y2表示满意，y3表示不满意。模糊综合评价模糊综合评价 假设评价科研成果，评价指标集合U=学术水平，社会效益，经济效益其各因素权重设为 4 . 0 , 3 . 0 , 3 . 0W模糊综合评价模糊综合评价 请该领域专家若干位，分别对此项成果每一因素进行单因素评价（one-way evaluation），例如对学术水平，有50%的专家认为“很好”，30%的专家认为“好”，20%的专家认为“一般”，由此得出学术水平的单因素评价结果为 0,2 . 0,3

28、 . 0,5 . 01R1 . 0,2 . 0,4 . 0,3 . 02R2 . 03 . 02 . 02 . 01 . 02 . 04 . 03 . 002 . 03 . 05 . 0321RRRR模糊综合评价模糊综合评价 其中“ ”为模糊合成算子 nmnmmnnmsssrrrrrrrrrRWS,2121222211121121算子算子 (1) 算子),(Mnkrrsjkjmjjkjmjk,2,1,minmax)(11)4 . 03 . 03 . 0(2 . 03 . 02 . 02 . 01 . 02 . 04 . 03 . 002 . 03 . 05 . 02 . 03 . 03 . 0

29、3 . 0算子算子 (2)算子),( M)4 . 03 . 03 . 0(2 . 03 . 02 . 02 . 01 . 02 . 04 . 03 . 002 . 03 . 05 . 0nkrrsjkjmjjkjmjk,2,1,max)(1108. 012. 012. 015. 0算子算子 (3)4 . 03 . 03 . 0(2 . 03 . 02 . 02 . 01 . 02 . 04 . 03 . 002 . 03 . 05 . 03 . 07 . 08 . 08 . 0),(Mnkrsmjjkjk,2,1,min,1min1算子算子 (4)4 . 03 . 03 . 0(2 . 03

30、. 02 . 02 . 01 . 02 . 04 . 03 . 002 . 03 . 05 . 00.320.290.240.11),(Mnkrsmjjkjk,2,1,1min1模糊综合评价 以上四个算子在综合评价中的特点是模糊综合评价 最后通过对模糊评判向量S的分析作出综合结论一般可以采用以下三种方法： (1) 最大隶属原则 (2) 加权平均原则 ),max(21nSSSMnikinikiissu11*)(2 . 0,3 . 0,3 . 0,3 . 0S评价等级集合为=很好，好，一般，差，各等级赋值分别为4，3，2，1 2.642 . 03 . 03 . 03 . 02 . 013 . 02

31、3 . 033 . 04(3) 模糊向量单值化模糊向量单值化nikinikiisscc11模糊综合评价 某地对区级医院20012002年医疗质量进行总体评价与比较，按分层抽样方法抽取两年内某病患者1250例，其中2001年600例，2002年650例患者年龄构成与病情两年间差别没有统计学意义，观察三项指标分别为疗效、住院日、费用规定很好、好、一般、差的标准见表1，病人医疗质量各等级频数分布见表2 指标很好好一般差疗效治愈显效好转无效住院日151620212525费用（元）140014001800180022002200表2 两年病人按医疗质量等级的频数分配表指标很好质量好等级一般差疗效01年

32、02年160 170380 41020 1040 60住院日01年 02年180 200 250 310130 12040 20费用01年 02年130 110270 320130 12070 100现综合考虑疗效、住院日、费用三项指标对该医院2001与2002两年的工作进行模糊综合评价 1)据评价目的确定评价因素集合 评价因素集合为=疗效，住院日，费用 2)给出评价等级集合 如评价等级集合为=很好，好，一般，差 3)确定各评价因素的权重 设疗效，住院日，费用各因素权重依次为0.5，0.2，0.3，即 ）（3 . 0,2 . 0,5 . 0W 4)2001年与2002年两个评价矩阵分别为 60

33、0/70600/130600/270600/130600/40600/130600/250600/180600/40600/20600/380600/1601R117. 0217. 0450. 0217. 0067. 0217. 0417. 0300. 0067. 0033. 0633. 0267. 0650/100650/120650/320650/110650/20650/120650/310650/200650/60650/10650/410650/1702R154. 0185. 0492. 0169. 0031. 0185. 0477. 0308. 0092. 0015. 0631.

34、0262. 0 5)综合评价 5)综合评价5)综合评价例例1：对某品牌电视机进行综合模糊：对某品牌电视机进行综合模糊评价评价 设评价指标集合：设评价指标集合：U U图像，声音，价格；图像，声音，价格； 评语集合：评语集合：V V很好，较好，一般，不好；很好，较好，一般，不好；首先对图像进行评价：首先对图像进行评价：假设有假设有30%30%的人认为很好，的人认为很好，50%50%的人认为较好，的人认为较好，20%20%的人认为一般，没有人认为不好，这样得的人认为一般，没有人认为不好，这样得到图像的评价结果为到图像的评价结果为 （0.3, 0.5, 0.2 , 0)0.3, 0.5, 0.2 ,

35、0) 同样对声音有：同样对声音有：( (0.4, 0.3, 0.2 , 0.1)0.4, 0.3, 0.2 , 0.1)对价格为：（对价格为：（0.1, 0.1, 0.3 , 0.5)0.1, 0.1, 0.3 , 0.5)所以有模糊评价矩阵：所以有模糊评价矩阵：5 . 01 . 003 . 02 . 02 . 01 . 03 . 05 . 01 . 04 . 03 . 0P设三个指标的权系数向量：设三个指标的权系数向量：A A 图像评价，声音评价，价格评价图像评价，声音评价，价格评价（0.5, 0.3, 0.2)0.5, 0.3, 0.2)应用模型应用模型1 1，bj=max(airij)有

36、综合评价结果为：有综合评价结果为：B BAPAP（0.3, 0.5, 0.2, 0.2)0.3, 0.5, 0.2, 0.2)归一化处理：归一化处理：B B（0.25, 0.42, 0.17, 0.17)0.25, 0.42, 0.17, 0.17)所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。所以综合而言，电视机还是比较好的比重大。例例2：对科技成果项目的综合评价：对科技成果项目的综合评价 有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中有甲、乙、丙三项科研成果，现要从中评选出优秀项目。评选出优秀项目。 设评价指标集合：设评价指标集合：U U科技水平，实现可能性，经济效益科技水平，实现可能性，经济效益评语集合：

37、评语集合：V V高，中，低高，中，低评价指标权系数向量：评价指标权系数向量：A A（0.20.2，0.30.3，0.50.5）专家评价结果表专家评价结果表由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自由上表，可得甲、乙、丙三个项目各自的评价矩阵的评价矩阵P P、Q Q、R R：1 . 06 . 03 . 07 . 02 . 01 . 01 . 02 . 07 . 0P03 . 07 . 00011 . 06 . 03 . 0Q6 . 03 . 01 . 00015 . 04 . 01 . 0R求得：求得：) 3 . 05 . 03 . 0(1， APB) 1 . 03 . 05 . 0(2， AQB)5

38、. 03 . 03 . 0(R3， AB)27. 046. 027. 0(1，B) 11 . 033. 056. 0(2，B)46. 027. 027. 0(3，B因素集：因素集： U=政治表现及工作态度，教学水平，科政治表现及工作态度，教学水平，科研水平，外语水平研水平，外语水平；评判集：评判集： V=好，较好，一般，较差，差好，较好，一般，较差，差；例例3 3：“晋升晋升”的数学模型，以高校教师晋的数学模型，以高校教师晋升教授为例升教授为例（1）建立模糊综合评判矩阵）建立模糊综合评判矩阵 当学科评审组的每个成员对评判的对象进行评价，假定学科评审组由7人组成，用打分或投票的方法表明各自的评价

39、 例如对王，学科评审组中有4人认为政治表现及工作态度好，2人认为较好，1人认为一般，对其他因素作类似评价。评判集评判集因素集因素集 好好 较好较好 一般一般 较差较差 差差政治表现及政治表现及 工作态度工作态度 4 4 2 2 1 1 0 0 0 0教学水平教学水平 6 6 1 1 0 0 0 0 0 0科研水平科研水平 0 0 0 0 5 5 1 1 1 1外语水平外语水平 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1)543 , 2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1()543 , 2 , 1; 4 , 3 , 2 , 1(51，种评价的票数，令因素为第项表示赞成第，设jiccrjijicki

40、kjijiji0.570.290.14000.860.14000000.710.140.140.290.290.140.140.14R得到模糊综合评价矩阵：（2）综合评判）综合评判以教学为主的教师，权重以教学为主的教师，权重A1=(0.2,0.5,0.1,0.2)以科研为主的教师，权重以科研为主的教师，权重A2=(0.2,0.1,0.5,0.2)计算得用模型),(MB1=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)B2=(0.2,0.2,0.5,0.14,0.14)归一化（即将每分量初一分量总和），得 B1=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12) B2=(0.17,0.17,0.42,0.12,0.12)若规定评价“好”“较好”要占50%以上才可晋升，则此教师晋升为教学型教授，不可晋升为科研型教授 例例4： 利用模糊综合评判对利用模糊综合评判对20家制药厂经家制药厂经济效益的好坏进行排序济效益的好坏进行排序因素集：因素集： U=u1,u2,u3,u4为反映企业经济效益的主为反映企业经济效益的主要指标要指标 其中其中u1：总产值：总产值/消耗；消耗；u2：净产值；净产值；u3：盈利盈利/资金占有；资金占有；u4：销售收入销售收入/成本，成本，评判集：评判集：