线性代数相似矩阵与二次型二次型化为标准型的方法PPT学习教案

1、会计学1线性代数相似矩阵与二次型二次型化为线性代数相似矩阵与二次型二次型化为标准型的方法标准型的方法用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,. 1AAxxfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式 ;,. 221nA 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,. 4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量 .,. 52211nnyyffCyx 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换 第1页/共34页解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值

2、写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A 144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型Pyxxxxxxxxxxf 例例1 1第2页/共34页从而得特征值从而得特征值.18, 9321 得基础解系得基础解系代入代入将将, 091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将, 01832 xEA ,)0 , 1 , 2(2 T .)1 , 0 , 2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1 , 1 , 21(1T ,22

3、,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1 , 54, 52(3 T ,)0 , 1 , 2(2 T ,)1 , 1 , 21(1T 第3页/共34页 ,3 , 2 , 1, iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P第4页/共34页于是所求正交变换为于是所求正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxxyyf 且有且有第5页/共34页解解例例2 2.22 2222 , 43

4、4232413121化为标准形化为标准形把二次型把二次型求一个正交变换求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩阵为二次型的矩阵为,0111101111011110 A它的特征多项式为它的特征多项式为第6页/共34页.111111111111 EA有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上三三把二把二计算特征多项式计算特征多项式,:,1111111111111)1( EA有有四行分别减去第一行四行分别减去第一行三三把二把二,第7页/共34页1000212022101111)1( EA1221)1(2 .)1( )3()32()1(322 . 1, 34321 的特征值为的特征值为

5、于是于是A, 0)3(,31 xEA解方程解方程时时当当 第8页/共34页,11111 得基础解系得基础解系.1111211 p单位化即得单位化即得, 0)(,1432 xEA解方程解方程时时当当 ,1111,1100,0011232 可得正交的基础解系可得正交的基础解系第9页/共34页单位化即得单位化即得 21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为于是正交变换为 yyyyxxxx432143212121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且有且有第10页/共34页第11页/共34页第12页/共34页第13页/共34页第1

6、4页/共34页第15页/共34页1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形; ixix kkjijjiiyxyyxyyx jiknk, 2 , 1 且且配方法的步骤配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换则先作可逆线性变换0 ija),(ji 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按化二次型为含有平方项的二次型，然

7、后再按1中方中方法配方法配方.第16页/共34页解解32312123222162252xxxxxxxxxf .,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 131212122xxxxx 322322652xxxx 的项配方的项配方含有含有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 3223222xxxx 去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项第17页/共34页 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 33

8、32232112yxyyxyyyx 321321100210111yyyxxx第18页/共34页32312123222162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC第19页/共34页,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代入代入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011

9、011即即第20页/共34页再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即第21页/共34页所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C第22页/共34页将一个二次型化为标准形，可以用将一个二次型化为标准形，可以用正交变换正交变换法法，也可以用，也可以用拉格朗日配方法拉格朗日配方法，或者其它方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的

10、要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，比较简单需要注意的是，使用不同的方法使用不同的方法，所所得到的标准形可能不相同得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项但标准形中含有的项数必定相同数必定相同，项数等于所给二次型的秩项数等于所给二次型的秩第23页/共34页)(342332322221xxxxx 2323912391323222213)(34xxxxxxx 2338239132322221)(34xxxxxx 23382331221)(3