2020届高三数学备考冲刺140分问题03函数性质的灵活应用(含解析)

1、问题 03 函数性质的灵活应用一、考情分析函数是整个高中数学的核心内容 , 是高中数学的主线 ,所有知识均可与函数建立联系 , 都可围绕这一主线展 开学习考查 , 它贯穿于中学数学的始末 ,而函数的四大性质更是高考对函数内容考查的重中之重 , 其中单调 性与奇偶性更是高考的必考内容 ,在高考命题中函数常与方程、不等式等其他知识结合考查 , 而且考查的形 式不一 ,有选择题 , 填空题 ,也有解答题；有基础题 , 也有难度较大的试题 .二、经验分享(1) 单调区间是定义域的子集 , 故求单调区间时应树立“定义域优先”的原则 , 单调区间只能用区间表示 不能用集合或不等式表示，如有多个单调区间应分

2、开写，不能用并集符号“U”连接，也不能用“或”连接(2) 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1) 比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2) 解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3) 利用单调性求参数 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； 需注意若函数在区间 a，b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； 分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.(3)

3、解函数不等式问题的一般步骤：第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；第二步：(转化)将函数不等式转化为 f (M)0).f(x+ a)=,则 T= 2a(a0).f (x)f(x+ a),贝U T= 2a(a0).f (x)f x 2a = f x a- f x ,则 T= 6a( a0).f (x+ a)=1 + f (x )1 一 f x ,则 t= 2a( a0).f (x+ a)=f (x)1,贝H T= 4a( a0).函数对称性与函数周期性的关系(1)若函数f x的图象既关于直线X =a对称,又关于直线 X = b对称 a = b ,贝U f x是周期函数2 b -

4、a是它的一个周期(2)若函数f x的图象既关于点a,0对称，又关于点b,0对称 a = b ,则f x是周期函数2 b - a是它的一个周期(3)若函数f x的图象既关于直线x二a对称，又关于点 b,0对称 a = b ,贝U f x是周期函数4 b - a是它的一个周期3.函数f x二4x为有理数10, x为无理数个奇特的函数，该函数是偶函数，是周期函数，但没有最小正周期,也无法作出其图象.4.设y二f g X 是定义在M上的函数，若f x与g x的单调性相反，则y二fg x 1在m上是减函数;若f x与g x的单调性相同，则y = f g x 1在M上是增函数，简称同增异减5.对称性的一般

5、结论.a + b 若f af b-x ,则f x图像关于直线x对称；2b a y = f a x与y = f b-x的图像关于直线 x (即a x =b - x)对称.四、题型分析(一) 函数单调性的灵活应用【例1】如果对定义在R上的函数f(x),对任意两个不相等的实数x,x2 ,都有Xif( x) x f 2)iX (f 2)x2 X则称函数 f(x)为H 函数” 2In x x 式0给出下列函数 y=ex x ；y=x2；y=3x -s in x ；f (x).以上函数是H函0x = 0数”的所有序号为【分析】本题的重点和难点均为对“H函数”本质的认识和理解，即如何处理和转化题中所给不等式

6、：Xif(Xi) x?f(X2)Xif(X2) X2f(Xi),采用合并重组的方法进行处理，得 Xi-X2i(fXi- fX20 ,由单调性定义的本质，可以看出“ H函数”本质上就是个单调递增函数【解折】因为对任意两个不相等的实数耳乃，都有再/3+耳心ga兀rg)+耳代幻和总有不等式 (珂引/(令-/(花)0恒成立.即为函数#3)是定义在R上的增18魏对于由于y = 与尸就 均为R上増函数,则的数在R为増国数$对于明显先碱后増不符合*对于因为 J =3-cosx0在R上恒成立贝/ =班- sin直在R为增函数 对于丁如图：当x0为增函数，不符合，故选【点评】本题主要考查了单调函数的定义和函数单

7、调性的判断(定义法，图像法，导数法)，学生在初步理解时可能有一种无从入手的感觉 ，如果对函数单调性定义的本质不能领悟的话，则将无法完成此题了 ，可见在教师的教和学生的学中最终要让学生去理解和领悟知识的本质【小试牛刀】【20i8届福建闽侯高三i2月月考】已知函数 f(x)=2X-，其在区间【0,i上单调递增，则的取值范围为(A. 10,1B.【答案】C【解析】令2庆送囤1,则花山=若函数/(力=4善，其在区间0上f丄单调递増，iy=t-fe 1,2为増函瓶 若aQy =牛的单调递增区间为-&舟和需*枷)，则拓口： gpofl + f(aB -S) = f(a3-S) + f(a7 5)=皿巧 +

8、畑-$=壬g-5) = 0, 由题意：凶=/0-5)*心若gM 4- gbh) + +尊(吗)丄-S) + f(a2 - S)+- +f(ag 一 5) + 坯 4阳 +畸=45, 则幻 4- a2 +- 4-Og 45* 故选 A(三) 函数单调性与奇偶性的综合应用,它反映了函数在某区间上函数值的,主要讨论的是函数的对称性函数的函数的单调性是相对于函数定义域内某个子区间而言的“局部”性质 变化趋势；函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的“整体”性质 这两个基本性质应用灵活、广泛 【例3】设f (x)是定义在R上的奇函数,且当x _ 0时，f (x)二X2,若对任意的x t,t - 2,不等式

9、f(x t) _2f (x)恒成立,则实数t的取值范围是 【分析】本 题已明确指出是个奇函数，故易求出它的整个解析式(一个分段函数)，此时画出它 的图象，就能发现它是一个单调递增函数，难点在于题中所给不等式f(xt)_2f(x)中，2f (x)的系数2如何处理？再次仔细观察所求函数的解析式的结构特征，发现满足：2 f (x)二f C. 2x)， 最后结合单调性，转化一个恒成立问题，利用分离参数的方法求出t的范围.【解析】 f (x)是定义在R上的奇函数，且当x 一 0 时，f (x) = x2当 x v 0,有-x 0，f (X)=(x)2，2 2 - f(X)二 X ，即 f(X)二-X，x

10、2 (x 兰 0)- f(x)=；7， f (X)在R上是单调递增函数，*(x増函埶1 +x所以/(x)/(2x-l(2x-l)2 O 3j?-4x+1 0O - x 1 A.3解法二：把x =1代入f(X) f (2x -1)，得f 1 f 1，这显然不成立，所以x =1不满足f (x) f (2x-1)，1由此可排除 D 又 f 0=1, f -1 =ln 2-?，f 0 ： f -1，所以 x=0不满足 f(x) f(2x-1)，由 此可排除B，C，故选A.(四) 函数性质的综合运用【例4】已知定义在 R上的函数f(x)满足f(2-x)为奇函数，函数f (x 3)关于直线x=1对称，则下

11、列式子一定成立的是()A. f (x -2) = f(x)B.f(x -2) = f (x 6)C. f (x-2) f (x 2) =1D.f(x)f(x 1)=0【分析】由题中函数f (x)满足f(2-x)为奇函数，结合奇函数的定义转化可得：f(x) = -f (4-x)，再由条件：函数f (x 3)关于直线x=1对称，结合对称性的规律可得：f(4-x) = f(4 x)，最后由周期性的概念可转化为：f (x) - _f (x 4) =f (x 8),可见函数的周期为8,即可求解.【解析】因为/(2-x)为奇的数,m/(2-x) = V(2+x)则/g二一/(斗一力又因为/(工+3)关于直

12、= l对称廊臥/(X)关于x=4对称，所以/(4-JC)= /(4 +力 厕/(x) =4) = O+臥于是8为迪数/(%)的周期，所以于(工一 2= f(x+ 6)，故选良【点评】本题主要考查了学生对抽象函数的处理能力，考查了函数的奇偶性、对称性和周期性，要想顺利完成本题有一个难点：f (2 - x)为奇函数的处理，这要对奇函数定义本质有充分的理解，函数的四大性质在抽象函数的考查中往往会综合在一起，这也正是此类题目一般较难的原因 ，在我们复习备考中一定要加强对所学概念本质的理解，这并非一日之功了 ，须注意平时的积累和磨炼【小试牛刀】【2018湖北襄阳调研】若函数 y = f X对定义域D内的

13、每一个xi,都存在唯一的X2 D,使得f捲 f x2 =1成立，则称f (x)为自倒函数”.给出下列命题： f x =sinx2ix，一 J是自倒函数；-2 2 自倒函数f (x)可以是奇函数； 自倒函数f (x)的值域可以是R; 若y = f x ,y=gx都是自倒函数，且定义域相同，则y = f xg x也是自倒函数.则以上命题正确的是(写出所有正确命题的序号 ).【答案】【解析】x为D上的单调函数,否则方程f x f (Xi不止一个实数解.对于，f x = sinx 2在-是单调增函数，IL 2 2且其值域为.2 -1_21,对于任意的r 卫-1八21,则X=X2，正确；对于，取- 2

14、-1/21 ，故 f x =-在 ， 有唯一解t -t IL 2 21x=i，0 - 0, f x的值域为 -：，0 - 0,=，因为f x 在:，0和0,=都是单x 1调减函数，故对于 t =，0 0, * ：, f x = t 有唯一解 x = x2 , f x =,Xx三，0 一. 0, ：为“自倒函数”，正确；对于，如果f x的值域为R，取f Xi =0 ,10 f X2 =1 无解， 不正确；取f (x )= x, g (x )=，其中(-o,0 2 (0，址)，它们都是“自倒x函数”，但是F x = f x g x =1，这是常数函数，它不是“自倒函数”.在解决函数性质有关的问题中

15、，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助 (1) 一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函数的单调性判断大小； 画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象.五、迁移运用1 .【2019广东六校第一次联考】定义在 上的函数；满足:及；|厂，且在川上有宀、2H2O19-) =1 1 - ，贝y91A. B . C .【答案】D【解析】函数

16、他)的定义域是&关于原点对称,-f(x) = -f(-x). f(-x) = -/(j),涵数2)是奇函数,： f(x) = f(2-x)、：、代一兀)二 f(2 +x) = -f(x) J f(4 +x) = -f(2 x) f(x)界函数r a)是以4为周期的函数a/(20191 = /2020I44.【2018山西运城模拟】是函数;1 11 的零点，则：心计玄故选d.x- l,x 2t【2019安徽肥东8月调研】已知函数汽心二且1.的最大值为I,贝旷的取值范围A.【答案】A【解析】T 当V 2时，f (x) =%-1?(2)=1x 1 jt 2(比 且比工1.)的最大值为12 4- lo

17、gax 1.Utt 1ff2 。的解集是解得賀E E1丿、故选a .3 .【2019安徽定远第一次月考】已知函数( )1A.汀、二，B .!小二 C .D . 口 b : :【答案】C【解析】由题意得，函数：的定义域为R. (-工十 J1 + /)(-兀-町1 + /)(-x 十 J1 十/)&十 Ji 十/)/C - x) =- x + 1 + x ) = In- ( 八-=hi,/.=- (x 十 Ji + X2) =-/(r)咒+ J1十x函数：为奇函数.又根据复合函数的单调性可得，函数：在定义域上单调递增.由C 厂得1 I ：-,1 I ，解得,1xx -不等式的解集为.故选C.牝E

18、S)心-) 2?则交点在区间(1)內即和E 人说法正爲说法宙吴；f(x) - 2cost 一当算 E (0訐时，2cxjsx 2f2tf*(x) 0,当工二訓厂* = -20,当h 丘(2时,cosx 0则fra) 0.综上，为减函数，由0 xtx2 f(x2) f(x1)-/(xa)0.则说法霸昔误：说法正确.本题选择E选项.5.【2018广东广州七校联考】已知：，都是定义域为 的连续函数已知：，满足：当时,3W 。恒成立；yxen都有g(h(r). Kx)满足：yxeR都有f(工+丽)二f(x_屈；当立，则-的取值范围是- - - 若关于的不等式左打 I -13畀 13揖A . B .c.

19、二】| D .一H1-，- - -【答案】D【解析】T函数 g (x)满足：当x 0时，g (x) 0恒成立且对任意x R都有g (x) =g (- x),函数g (x)为R上的偶函数且在0 , +8)上为单调递增函数，且有g| (x| ) =g (x),(x+2 ) =f (x),(x) | w |a 2 a+21恒成立，只要使得定义 gf (x) w g ( a2 - a+2), x 2域内 |f ( x) | maxW |a a+2| min ,由 f ( X+W ) =f (x N),得 f即函数f (x)的周期T=2,/ x -：；,时,f (x) =x3 - 3x,求导得：f (

20、x) =3x - 3=3 ( x+1) (x - 1),该函数过点(- , 0),( 0, 0), (, 0),且函数在x= - 1处取得极大值f (- 1) =2,在x=1处取得极小值f (1) = - 2,即函数f (x)在R上的最大值为2,3“ l x -,函数的周期是2- - 2/3,- - 2(3当x 时，函数f (x)的最大值为2,2 2由 2W|a - a+2|，即 20,解得：a1或a0.故答案为：DfCx） - -x + 2x + 5sinx 上丨二亠、丄“ 讥 n 6 .【2018四川成都模拟】已知函数，若，使得-：亠，：.成立，则实数的取值范围是（）A. 一 13 B .

21、0 C .（-见可 D .0,+）【答案】A【解析】当：时，存在-二二- - J符合题意，排除选项；fx） =+ 2 J +E - 2,2因为函数1所以函数是奇函数，也是增函数，当k =- 2时要使了 G + J十（疋+ a = 贝 y ；： 一，1 _ _可得 - ，即 .-：,显然方程无解，不成立，k=-2不合题意，排除选项 匚，故选A.7 .已知二次函数 f畫)=血2 + 比(Ibl 三 2同),定义 Z1OT = max/(t)| - 1 1,:：- - 1 - f -:;,其中：表示.；.；中的较大者，：表示中的较小者，下列命题正确的是A.若 1 ,则门 B .若，则:c.若&an，

22、贝汕代_1)八 d .若/za)=f1.(-i)，贝伍(心【答案】C【解析】 由于lt|2|a| ，故二坎函数的对称轴x =-14= maxf(t)|t = -1 = f(-1)(1) = raaxf(t)| - 1 玉 X O 若此时对称轴为x=0,则有區=f,即f(-l) = f所以A选项不正确一 (D = -1=代D ,A二n)mV(t)| - 1 X心在对称轴的位置取得最小值，即对称轴为即=7所 /，故$选项 不正瞩 A Cl) = minJfCOI= max(/(f)|t = -1) = Dfi 即是函数在区间71上的 最小值故A(-D /；(。所以选：8. 函数f(x)二ax x

23、1(x2)是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围是()(ax-1(x2)111A.a 2)1【解析】 f (x)是R上的单调递减函数，- 2 时，a. = & -&/ =2an n -2anJ - (n -1),所以 n nan = 2an 丄-1 ,所以 a? =-3, a3 =-7, a4 =-15, a5 =-31,=-63,所以 f (a5) f (a6) f(-31)，f ( 63)= f(3 10 1) f(3 210)=f(1) f(0) = f(13)0=-f(2)=3,故选 C.10.【2017届重庆市一中高三上学期期中】2 1已知函数f(x)xx满足条件f(logaC 2

24、 1) =1,1+21+4其中 a 1,则 f(loga(、. 2 一1)=(A. 1 B . 2【答案】B【解析】V /(X)=2 I .21l+2x + l + 4x51 + 2 1+4卞1 + 2 1+4 1 + 21+4V kE 3 +1) = -fog a(41 -1)二 /Pog.(V2 +1) + /Dog 感-1)1 = 3- /Dog Q 1)1 = 2 故答案选 BX1, X2的长度为 X2 - X1 ( X2 x1),函数f(x)二(a2 a)xT(a R, a 0)的定义域与值域都是m,n(n m),则区间m, n取最大长度时实数 a11.【2016届黑龙江大庆实验中学

25、高三考前训练】定义区间的值为(-3C. 1【答案】D【解析】设m,n 1是已知函数定义域的子集.x=o, m,n二，0或m,n二0,故函数f (x )=？-一二 在 m,n 上单调递增，则丿f故m, n是方程 1 _二=x的同号的相异实数 a axf(n)=na ax1根,即a x - a ax 0的同号的相异实数根,/ mn2 , . m,n同号,只需广：=a a 3 a-1 - 0 ,a a 1 或 a v -3, n m =*：(m + n $ 4mn = 7-3 + , n -m取最大值为仝卫此时 a = 3,故vh2,当且仅当“0时，等号成立一填也2.14. 2018届福建省闽侯市高

26、三 12月月考】已知f x是R上的减函数，A3,-1 ,B 0,1是其图像上两个点，则不等式 f (1 +lnx $ 1+1 nx 0，化为2 aInx a 1，解得一 ex ce2 ,所以不等式f (1 +1 nx j 1的解集是，e2 e-Ve2_一一lx +2x( x 兰 0) 一15.【河北省武邑中学 2017届高三上学期第三次调研】已知函数f x二为奇函数，则g(x)(x：0)g -1 二.【答案】-3【解析】2g(x)二 - f ( -X)二-X 2x= g( -1) = -3 .16.已知函数f (x) =(x+2)( +ax-5)的图象关于点(-2,0中心对称，设关于x的不等式

27、f (x m) ： f (x)的解集为A,若(-5,-2)二A ,则实数m的取值范围是 .f(x) (x+4a-5) -x3 + 6/ + 3x10f(xf(x+ m) 0【答案】m _ -3 或 m = 3【解析】国数/仗)的團象关于点(2。)中心对称则/(-4) = -/(O人由止咏得a =斗廊以+3(wa+4)x+ 丽F +6用+3显热购“不舍题鼠 当 m aO时/( 0 3, +S(?n + 4)jt+jM2 + 6刚+3 0,由题韶3 jm 2M = 3t-3 m 3：3(5一150 + 4) + 胡2 + 6胡 + 3兰0 3 (-2尸-6(m+4) + 晶 + 6?w + 30当

28、朋 v 0时,子任+战)f(x) 0,因为一竺赵；_2,所次由题意3(一2/6(觀+ 4)+/ + 6初+ 3 30=卿兰一3或療二3 (舍 2去)*=胡-3,综上朋的取值范围是酬M-3或jm=317.已知函数y = f (x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1 x)二-f (1-x)当(2, 3)时，f (x)二 log2(x -1)给出以下4个结论：函数y T f (x)|是以2为周期的周期函数; 当 x (-1,0)时,f (x) - -log 2(1 - x)； 函数y =f(|x|)在(k,k+1)( k- Z)上单调递增.其一中所有正确结论的序号为 【答案】【解析】由题设 y

29、 = f (x)为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意 x都有f (1 x) = -f (1 - x),所以其图象还关于点1,0 ,据此可判断函数f x为周期函数，最小正周期T =2,又当(2,3)时，f (x) = log2(x-1),因此可画出函数f x的图象大致如下图一所示，函数y f (x) |的图象如下图二所示，函数y = f (| x |)的图象如下图三所示,图二由图象可知正确，不正确；另外，当xw1,0时，2-x2,3所以，f 2-x =log2 2-x-1 =log2 1 -x ,又因为f x是以2这周期的奇函数所以，f2x=f x=fx,所以，f x=log2

30、1 -x ,所以，f x - - log? 1 -x ,x 1,0 ,所以也正确，故答案应填：18.设f(x)是R上的 奇函数，且对任意的实数a,b当ab=0时，都有丄回 凹 .0a +b(1)若a b,试比较f (a), f (b)的大小；若存在实数X- -,3 使得不等式f (x-c) f(X-C2) 0成立,试求实数c的取值范围.IL2 2【答案】(1) f(a) f(b) ； (2)(1313-.2 ， 2【解析】由已知得丄型二血 IkQ 0,又Qa b, a-b 0 a -ba +(-b)f(a) - f (b)0,即 f(a) f (b)为奇函数匸 f(x-e) + f(x-c2)

31、Q等价于丸)又由(1知/(对单调递増，二不等式等价于天一兀即由于存在实数;CE19. 函数f(x)的定义域为D= x|x工0,且满足对于任意 Xi,X2 D有f(xi X2) = f (Xi) + f(X2).(1)求f(1)的值； 判断f(x)的奇偶性并证明你的结论； 如果f(4) = 1,f(x - 1)2,且f (x)在(0, +8)上是增函数，求x的取值范围.【答案】(1)0 ; (2)见解析；(3) x| - 15x17 且 xm 1.【解析】 I对于任意X1,X2 D,有f (X1 X2)= f (X1) + f (X2),令 X1 = X2= 1,得 f(1) = 2f(1),

32、f(1) = 0.f (x)为偶函数.1证明：令 X1= X2=- 1,有 f (1) = f ( - 1) + f ( - 1), f ( - 1) = -f (1) = 0.令 X1 = - 1, X2= x 有 f ( - x) = f (- 1) + f(x), f ( -x) = f (x), f (x)为偶函数.(3)依题设有 f (4 X 4) = f (4) + f(4) = 2,由知,f(x)是偶函数, f (x- 1)2? f(| x- 1|) f (16).又 f(x)在(0, +8)上是增函数. 0|x- 1|16,解之得15x17 且 x m 1. x的取值范围是x| - 15x0,试确定a的取值范围.【