第二章 投影原理

1、第二章第二章 投影原理投影原理 2-1 2-1 投影法的基本知识投影法的基本知识 一、投影法的概念一、投影法的概念 二、投影法的分类二、投影法的分类 1.中心投影法中心投影法 2.平行投影法平行投影法 （1）斜投影法）斜投影法 （2）正投影法）正投影法 三、平行投影的基本性质三、平行投影的基本性质 1.同素性同素性 2.从属性不变从属性不变 3.平行性不变平行性不变 4.定比性不变定比性不变 5.类似性类似性 6.积聚性积聚性 7.全等性全等性 投射线透过物投射线透过物 体向选定的面投射，体向选定的面投射， 并在该面上获得空并在该面上获得空 间物体图形的方法间物体图形的方法 称为投影法。用线称

2、为投影法。用线 条把物体图影的轮条把物体图影的轮 廓勾画出来所得到廓勾画出来所得到 的图形即为投影的图形即为投影 。 1.1.投影法及投影的涵义投影法及投影的涵义 投影线 投影中心 投影面P S B A C a b c 投影 规定：大写字母表示规定：大写字母表示 空间点空间点,小写字母表小写字母表 示相应空间点的投影示相应空间点的投影 2.2.投影法种类投影法种类 投影法 中心投影法 平行投影法 斜投影法 正投影法 投影法分投影法分中心投影法和平行投影法中心投影法和平行投影法 。平行投影法平行投影法又分又分 斜投影法与正投影法。斜投影法与正投影法。 中心投影法：中心投影法：把点光源抽象为一点，

3、即投射中心把点光源抽象为一点，即投射中心S S，这种投射，这种投射 线汇交于一点的投影方法称为中心投影法。线汇交于一点的投影方法称为中心投影法。 平行投影法：平行投影法：将光源移至距投影面无限远处，这时投射线可以将光源移至距投影面无限远处，这时投射线可以 认为是相互平行的投射线相互平行的投影法称为平行投影法。认为是相互平行的投射线相互平行的投影法称为平行投影法。 斜投影法：斜投影法：投射线与投影面相倾斜的平行投影法。投射线与投影面相倾斜的平行投影法。 正投影法：正投影法：投射线垂直于投影面的平行投影法。投射线垂直于投影面的平行投影法。 3.3.平行投影法的投影特性平行投影法的投影特性 1).

4、1).类似性类似性 当平面或直线与投影面倾斜时当平面或直线与投影面倾斜时, ,其投影的面积变小或长度其投影的面积变小或长度 变短，但投影的形状仍与原来形状类似变短，但投影的形状仍与原来形状类似, ,这种投影特性称为类似性。如：这种投影特性称为类似性。如： 面面R R 2).2).积聚性积聚性 当平面或直线与投当平面或直线与投 影面垂直时，则在投影面上的投影影面垂直时，则在投影面上的投影 积聚为一条线或一个点，这种投影积聚为一条线或一个点，这种投影 特性称为积聚性。如：面特性称为积聚性。如：面B B、线、线CDCD 3).3).真实性真实性 当平面或直线与当平面或直线与 投影面平行时，其投影反映

5、实形投影面平行时，其投影反映实形 ( (或实长或实长) )，这种投影特性称为真，这种投影特性称为真 实性。如实性。如:P:P、AB AB 一般情况下，平面形的投影都要发生变形，但投影形状总与 原形相仿，即平面投影后，其投影形状与原形的边数相同、平 行性相同、凸凹性相同及边的直线或曲线性质不变。 类似性类似性 当直线平行于投影方向S时，直线的投影为点；当平面图形平 行于投影方向S时，其投影为直线 积聚性积聚性 当线段平行于投影面H时，其投影长度反映线段的实长；当 平面图形平行于投影面H时，其投影与原平面图形全等。 实形性实形性 两平行直线的投影一般仍平行. AB/CD=ab/cd 平行性不变平行

6、性不变 若点在直线上，则该点的投影一定在该直线的投 影上。即C在AB上，则c在ab上。 从属性不变从属性不变 一条直线上任意三个点的简单比等于它们的投影之比 AC/CB=ac/cb 定比性不变定比性不变 2-2 2-2 三视图三视图 2).三视图的形成 (1).通常选用三个互相垂 直相交的投影面正平面V、水 平面H和侧平面W，建立一个三 投影面体系，三个面的交点为 原点O，V与H面的交线为X轴， V与W面的交线为Z轴，H与W面 的交线为Y轴，如图所示。 1).视图的概念 利用正投影法得到的投影 注意： 1).投影不等 于影子 2).仅有一个 投影不能准 确、真实地 表达物体的 形状。 形成物体

7、的三视图 V H W 主视图主视图 俯视图俯视图 左视图左视图 V H W 展开投影体系 注:投影面无限大, 应删除其边线 物体的三视图规范形式 三视图的投影规律 高平齐 下 左右前后 上上 下 后 前 左右 宽 高 长 宽 长对正 宽相等 不动 右翻 下翻 投影面展开 2.2.1 点的投影与坐标的关系 设空间点A的坐标为（x,y,z), 则有： a (x,y) a(x,z) a(y,z) 2.2.2 点的投影规律 aa OZ a a OX 2.2 点的投影分析点的投影分析 aax= aax= =y =Aa（A到V面的距离） aaz=x=Aa（A到W面的距离） aay=z =Aa（A到H面的距

8、离） aaz aay= YW Z az a X YH ayW O a ax ayH a X Y Z O V H W A a a a x a az ay 点的投影与坐标之间的关系点的投影与坐标之间的关系 A点坐标 (X,Y,Z) X, Y 投影aX, Z 投影a Y, Z 投影a 2.3.1 点的三投影之间的坐标关系 a(x,z) a(y,z) a(x,y) 2.3.2 “二求三”方法 (1) 坐标法 (2) 45辅助线法 2.3 由点的二投影求第三投影由点的二投影求第三投影 O O (a) 坐标法(b) 45辅助线法 “二求三”的方法 2.4 各种位置点的投影各种位置点的投影 2.4.1 一般

9、位置点（X、Y、Z） 2.4.2 特殊位置点 1.投影面上的点：V面上点（X、0、Z） H面上点（X、Y、0） W面上点（0、y、Z） 3.原点上的点: （0、0、0） 2.投影轴上的点: X 轴上点 （X、0、0） Y 轴上点 （0、Y、0） Z 轴上点 （0、0、Z） 注意:点的各个投影一定要写在它所属的投影面区域内。 2.5 重影点的投影重影点的投影 a(b) a b A B 若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上，则这两点在 该投影面上的投影重合，这两点称为该投影面的重影点。 被挡住的 投影加( ) 被挡住的 投影加( ) H V d c(d) c D C X YH Z YW O c(

10、d ) b a(b) a c d a b c d 判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投 影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加 括号表示。括号表示。 直线的投影仍为直线直线的投影仍为直线 将直线上两点的同面投影用直线连接起来，就得到直线的投影。 1.直线投影的形成直线投影的形成 2.2.各种位置的直线各种位置的直线 1).1).投影面平行线投影面平行线 正平线正平线( (平行于平行于面面) ) 侧平线侧平线( (平行于平行于面面) ) 水平线水平线( (平行

11、于平行于面面) ) 2).2).投影面垂直线投影面垂直线 正垂线正垂线( (垂直于垂直于面面) ) 侧垂线侧垂线( (垂直于垂直于面面) ) 铅垂线铅垂线( (垂直于垂直于面面) ) 3).3).一般位置直线一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线 平行一投影平行一投影 面面,倾斜另倾斜另 外两投影外两投影 面面 倾斜于三投影面倾斜于三投影面 垂直于一垂直于一 投影面投影面 1).1).投影面平行线投影面平行线: :一投影反映实长一投影反映实长, ,另两投影平行投影轴另两投影平行投影轴 3.3.各种位置直线的投影特点各种位置直线的投影特点 2).2).投影面垂直线投影面垂

12、直线: :一投影具有积聚性一投影具有积聚性, ,另两投影垂直投影轴且为实长另两投影垂直投影轴且为实长 3).3).一般位置直线一般位置直线: :三个投影为倾斜线，均小于实长；三个投影为倾斜线，均小于实长； 4.4.直线上的点直线上的点 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。若点在直线上，则点的各个投影必在直线的同面投影上。 如果点的各个投影均如果点的各个投影均 在直线的同面投影上，则在直线的同面投影上，则 点在直线上。点在直线上。 在图中，在图中，C点在直线点在直线AB 上，而上，而D、E两点均不满足两点均不满足 上述条件，所以都不在上述条件，所以都不在AB 直线上。直线上。 CA

13、B ，则有，则有c ab ，cab，cab。 5.5.两直线的相对位置两直线的相对位置 空间两直线的相对位置有三种：空间两直线的相对位置有三种：平行、相交和交叉。平行、相交和交叉。 1).1).两直线平行两直线平行 空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反 之亦然，且具有定比性。之亦然，且具有定比性。 2).2).两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交 点的投影必符合空间一点的投影规律，且具有定比性。点的投影必符合空间一点的投影规律，且具有定比性。 交点 3).3).两直线交叉两

14、直线交叉: :没有共有点没有共有点 、 是对是对H H 面的重影点，面的重影点，、 是对是对V V 面的重影面的重影 点。同投影面可能相交，但相交点是同影点，重影点点。同投影面可能相交，但相交点是同影点，重影点 的可见性要根据其余的投影判断。的可见性要根据其余的投影判断。 4 4 平平 面面 的的 投投 影影 1.1.平面的表示法平面的表示法 直线与直直线与直 线外线外 一点一点 相交两相交两 直线直线 两平行两平行 直直 线线 不在一不在一 直线直线 的三的三 点点 三角三角 形形 2.2.各种位置平面各种位置平面 平面相对于投影面的位置可分为三类：投平面相对于投影面的位置可分为三类：投 影

15、面垂直面影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面垂直垂直于某一投影面，倾斜于另于某一投影面，倾斜于另 两个投影面。分为正垂面、侧垂面、铅垂面两个投影面。分为正垂面、侧垂面、铅垂面 投影面平行面投影面平行面平行平行于某一投影面，垂直于于某一投影面，垂直于 另两个投影面分为正平面、侧平面、水平面另两个投影面分为正平面、侧平面、水平面 一般位置平面与三个投影面都倾斜一般位置平面与三个投影面都倾斜 一般位置一般位置 面面 投影面平投影面平 行面行面 投影面垂投影面垂 直面直面 1).1).投影面平行面投影面平行面 平行投影面上的投影反映实形；另两投影面上

16、的投影积聚为直线，且平行于投影轴。平行投影面上的投影反映实形；另两投影面上的投影积聚为直线，且平行于投影轴。 3.3.各种位置平面的投影特点各种位置平面的投影特点 正平面正平面: :平行平行V V面面 水平面水平面:平行平行H面面 侧平面侧平面: :平行平行V V面面 2).2).投影面垂直面投影面垂直面 在垂直的投影面上的投影积聚成与投影轴倾斜的在垂直的投影面上的投影积聚成与投影轴倾斜的直线直线；另两个投影面上；另两个投影面上 的投影为空间平面的的投影为空间平面的类似形。类似形。 正垂面正垂面: :垂直垂直V V面面铅垂面铅垂面: :垂直垂直H H面面 侧垂面侧垂面: :垂直垂直W W面面

17、3).3).一般位置平面一般位置平面 平面与三个投影面都倾斜，三个投影为平面与三个投影面都倾斜，三个投影为类似形类似形 4.平面上的直线和点 1).点在平面上的条件 点在平面内的某一直线上 2).直线在平面上的条件 (1).通过平面内两点 (2).通过平面内一点，且平行于平面内一直线 先定线再 定点 两点定 一线 一点一线定 线 回转体的投影回转体的投影 1.曲面立体的涵义 回转体：圆柱、圆锥、球、一平面图形绕一轴旋转而成 2.回转体的术语概念回转体的术语概念 1).1).回转面回转面: :一一动线动线绕一绕一定线定线回转回转一周一周后形成的曲面后形成的曲面 2).2).直线回转面直线回转面:

18、 :直母线生成的回转曲面如：圆柱面、圆锥面等直母线生成的回转曲面如：圆柱面、圆锥面等 6).6).轮廓素线轮廓素线: :简称素线，母线在回转面上任意位置简称素线，母线在回转面上任意位置 3).3).曲线回转面曲线回转面: :曲母线生成的回转曲面称为，如：圆球面、圆环面等曲母线生成的回转曲面称为，如：圆球面、圆环面等 4).4).轴线轴线: :形成回转面的定线形成回转面的定线 5).5).母线母线: :形成回转面的动线形成回转面的动线 7).7).轮廓转向线轮廓转向线: :回转面上前后、左右、上下分界的轮廓素线回转面上前后、左右、上下分界的轮廓素线 3.3.常用曲面立体的形体特点常用曲面立体的形

19、体特点 常用曲面立体要么由一曲线回转面围成；要么由直线回转面、 平面圆或尖顶共同围成 4.4.常用曲面立体的放置特点常用曲面立体的放置特点 轴线垂直某一投影面,平面圆平行该投影面 5.5.常用曲面立体投影的绘制方法常用曲面立体投影的绘制方法 回转面画出转向轮廓线；平面圆要么聚积成线或反映实形；尖回转面画出转向轮廓线；平面圆要么聚积成线或反映实形；尖 点的投影仍是尖点点的投影仍是尖点 3.3.常见曲面立体的投影常见曲面立体的投影 1).圆柱的投影 (1)投影: 一投影为圆，两投影为矩形 (2).(2).圆柱的画法圆柱的画法 n (n) (3).(3).圆柱面上取点圆柱面上取点 方法方法: 首先根

20、据已 知投影，分 析点在圆拄 位置，然后 利用圆柱投 影的积聚性 确定 m m m ( ) n 2).2).圆锥的投影圆锥的投影 (1)(1)投影投影: : 一投影为圆，两投影为三角形一投影为圆，两投影为三角形 (2).(2).圆锥的画法圆锥的画法 a a a A 辅助纬圆 (a) (b) (3).(3).圆锥面上取点圆锥面上取点 (3).(3).圆锥面上取点圆锥面上取点 已知 辅助线辅助线 法法 3).3).圆球的投影圆球的投影 (1).(1).球的投影球的投影: :三投影均为圆三投影均为圆 (2).(2).园球的画法园球的画法 a a A a 辅助纬圆 (a) (b) (2).(2).球面上取点球面上取点 a 辅助纬圆 A a a (c) (d) 用辅助正平圆作图用辅助正平圆作图 完成完成习题集第九页习题集第九页 复习了解：1、正投影 2、三视图 3、点、直线