信号与系统-第8章

1、 主主 要要 内内 容容8.1 拉普拉斯变换分析法拉普拉斯变换分析法8.2 系统函数的表示系统函数的表示8.3 极点零点分布与时域响应特性极点零点分布与时域响应特性8.4 极点零点分布与系统频率特性极点零点分布与系统频率特性8.5 波特图波特图8.6 线性系统的模拟线性系统的模拟8.1 拉普拉斯变换分析法拉普拉斯变换分析法 拉普拉斯变换在线性电路的分析与设计中占有相当重要的地位，利用拉普拉斯变换方法分析电路称为电路的复频域分析或s域分析。电路的某些特性在s域中分析较为方便。当电路中含有冲激电压或电流时，用拉普拉斯变换法分析要比时域分析方便。由于s域电路方程为代数方程，因而电路设计常常在s域中进

2、行。此外，电路的频率响应特性也常常借助于s域函数进行分析。应用拉普拉斯变换求解微分方程 当电路或系统的输入输出微分方程已知时，可直接对微分方程应用单边拉普拉斯变换，利用时域微分性质求出s域输出Y(s)，对其取逆变换得到时域解y(t)。 从该例可看出，用拉普拉斯变换法求解微分方程不需要专门求解t=0+时刻的输出及其导数，并且可直接得到全响应。通过上例可以看到，利用拉普拉斯变换可以避开烦琐的求解微分方程的过程。特别是对于高阶微分方程，拉氏变换法可以使计算量大大减小。电路元件的复频域模型 对于比较复杂的网络（支路或结点较多），列写微分方程本身也是一件烦琐的事情。对于线性时不变电路，可不必列写微分方程

3、，直接把时域的电路模型转换为s域电路模型，在s域内写出电路的代数方程形式，然后进行求解。电路元件的s域串联模型 元件s域模型（串联形式） 电路元件的s域并联模型元件的s域模型（并联模式） 把电路中的每个元件都用它的s域模型来代替，将信号用其变换式代替，于是就得到该电路的s域模型图。对此模型利用KVL和KCL分析可以得到所需求解的变换式，这样就用代数运算代替了求解微分方程。线性电路的复频域分析 使用复频域分析法分析线性电路的过程为：（1）求解电容的初始电压和电感的初始电流；（2）给出电路的复频域模型；（3）建立复频域电路的代数方程并求解；（4）对输出量的复频域函数取逆变换。8.2 系统函数的表示

4、法系统函数的表示法系统函数的定义: 线性时不变系统的系统函数H(s)可定义为系统的零状态响应y(t)的拉氏变换Y(s)与系统激励x(t)的拉氏变换X(s)之比 。 系统函数也称为网络函数。在系统分析中，由于激励与响应信号可以是电压，也可以是电流，因此系统函数可以是阻抗（电压除以电流）或导纳（电流除以电压），也可以是数值比（电压除以电压或电流除以电流）。此外，当系统为一个二端网络，激励与响应在同一端口，如图8.2(a)中的Ui(s)与Ii(s)，则系统函数称为策动点函数或驱动点函数。 若系统为一个四端网络，激励与响应不在同一端口，如图8.2(b)中的Ui(s)或Ii(s)与Uo(s)或Io(s)

5、，则此系统函数称为转移函数或传输函数。由此可知，策动点函数可能是阻抗或导纳，而传输函数可能是阻抗、导纳或传输比值。图图8.2 系统函数（策动点函数与转移函数）系统函数（策动点函数与转移函数） 在实际中，通常用系统函数描述系统，其框图表示如图5.8所示。 5.5.3 用系统函数计算系统的零状态响应 在求系统的零状态响应y(t)时，它等于系统冲激响应h(t)与激励信号x(t)之卷积，即 y(t)=h(t)*x(t) 若Y(s)、H(s)、X(s)分别表示y(t)、h(t)、x(t)的拉氏变换，根据拉氏变换的时域卷积定理，式（5-28）可表示为 Y(s)=H(s)X(s) 因此，只要知道了系统函数H

6、(s)，对任意激励信号x(t)拉普拉斯变换为X(s)后，二者相乘即可得到任意信号下的零状态响应的拉氏变换Y(s)，再求拉氏逆变换即可得y(t)。系统函数的零极点 极点pi与零点zj的数值可以是实数、纯虚数或复数。由于A(s)与B(s)的系数都是实数，所以零极点中若有虚数或复数，则必然共轭成对，因此H(s)的极点或零点存在以下几种类型：一阶实极点或实零点；一阶共轭极点或共轭零点；二阶或二阶以上的实、共轭极点或零点。 8.3 8.3 极点零点分布与时域响应特性极点零点分布与时域响应特性 系统的零极点图: 把系统函数H(s)的零点和极点在s平面上标注出来，极点用表示，零点用表示，就称为系统函数的零极

7、点图。从零极点图可以看出系统函数的零极点在s平面的分布情况。利用系统函数在s平面的零极点分布可以分析系统的时域特性，求解系统的自由响应与强迫响应、暂态响应与稳态响应。利用H(s)的零极点分布还可以方便地求得系统的频率响应特性，从而对系统的频域特性进行分析。 H(s)的零极点图如图8.4所示。用符号表示零点，表示极点，在同一位置画出了两个相同的符号表示二阶极点或零点。 图8.4H（s）的零极点图 系统函数的零极点分布确定时域特性 系统函数H(s)与冲激响应h(t)是一对拉氏变换，因此根据H(s)的零极点在s平面上的分布就可以确定系统的时域特性。1.系统函数的极点与时域特性的关系（1） 若一阶极点

8、位于s平面的坐标原点 （2） 若一阶极点位于s平面的实轴上 ，且极点为负实数，p=-a0 （4） 若有一对共轭极点位于虚轴，p1=j0及p2=-j0 （5） 若有一对共轭极点位于s左半平面，即p1=-a+j0，p2=-a-j0，-a0 （7） 若有二阶极点位于s平面的坐标原点，即p1，2=0 （8） 若有二阶极点位于负实轴，即p1，2=-a，a0 （9） 若二阶共轭极点位于虚轴，即p1，2=j0，p3，4=-j0 综上所述，若系统函数H(s)的极点位于s左半平面，则冲激响应h(t)的波形呈衰减变化，若H(s)的极点位于s右半平面，则h(t)呈增幅变化。当一阶极点位于虚轴时，对应的h(t)成等幅

9、振荡或阶跃变化。若二阶极点位于虚轴，则相应的h(t)呈增幅变化。系统函数的零点与时域特性的关系: H(s)的极点位置与冲激函数的形状有着重要关系，而H(s)的零点分布只影响到冲激函数的振幅与相位，而对于h(t)的波形形式不起作用。 8.4 极点零点分布与系统频率特性极点零点分布与系统频率特性 在s平面，任一复数都可用一有方向的线段表示，这称为矢量。例如，某一极点pi可以看成自坐标原点指向该极点的矢量，如图5.19（a）所示。矢量的长度表示模|pi|，其相角是自实轴反时针方向至该矢量的夹角，变量j也可以用矢量表示，如图5.19（b）所示。于是j-pi就是矢量j与矢量pi的差矢量，当变化时，差矢量

10、也随之变化。8.5 波特图波特图 频率特性曲线频率特性曲线是实际中表示系统特性最常用是实际中表示系统特性最常用的形式，但要比较精确地绘制频率特性，则是非的形式，但要比较精确地绘制频率特性，则是非常麻烦的事，一种常麻烦的事，一种简便绘制系统频率特性简便绘制系统频率特性且且具有具有实用精度的方法实用精度的方法，由美国贝尔实验室的学者波特，由美国贝尔实验室的学者波特( (波德波德)(H.W.Bode)(H.W.Bode)提出，并得到广泛应用。提出，并得到广泛应用。1. 波特图波特图：以对数标尺，根据系统传递函数的极零：以对数标尺，根据系统传递函数的极零 点分布用折线近似来绘制频率响应曲线。点分布用折

11、线近似来绘制频率响应曲线。 其纵坐标其纵坐标 (dB)lg20HH 2. 绘制原理绘制原理 jjniimkkeHeABHHniimkk11110对上式两边取自然对数得对上式两边取自然对数得 jHH lnln jG jHH lnln jG式中：式中： HGln为对数增益，单位奈培为对数增益，单位奈培(Np)； ( )为相位，单位为弧度为相位，单位为弧度(rad)或度。或度。增益更常用的单位是分贝增益更常用的单位是分贝(dB)： dBlg20HGniimkkpjzjH110lg20lg20lg20 niimkk11 由上式可知，只要先求出每个因式的特由上式可知，只要先求出每个因式的特性曲线，再用加

12、减组合的方法就可以求得系性曲线，再用加减组合的方法就可以求得系统总的频率特性。统总的频率特性。niimkkpjzjHG110lg20lg20lg20)(2. 画法画法 对数幅值对数幅值 (1) 常数常数(不随频率变化不随频率变化)20lgH0相位为零。相位为零。 (2) 位于原点的极点位于原点的极点lg20lg20j这是一条这是一条斜率为斜率为-20的直线，与的直线，与 轴相交于轴相交于 =1 当当lg 移动一个单位时，相当于移动一个单位时，相当于 坐标移动一坐标移动一个个10倍。因为倍。因为lg10=1，所以对数幅值直线的斜，所以对数幅值直线的斜率为率为-20dB/10倍频。倍频。 相位相位

13、 ( )=-90 (对所有的对所有的 )同理，同理，位于原点的零点位于原点的零点： 20lg 是一条通过是一条通过 =1,斜率为斜率为20dB/10 倍频倍频的直线的直线 相位相位 ( )=90 （对所有的（对所有的 ）20110-20100 G( )(dB)20dB/10倍频倍频-20dB/10倍频倍频1-9090 ( ) 10100(3) 一阶零点一阶零点 （极点）（极点） 1lg20ZjG 11Ztg令令111TZ 2121111lg201lg20TTTjG)1lg(101lg202121TT 1/T1, G1( ) 10lg1=0称为对数频率特性的低频渐近线方程称为对数频率特性的低频渐

14、近线方程, 与横坐标轴重合。与横坐标轴重合。 1/T1, G1( ) 20lg T1= 20lg 11lg20T高频渐近线方程式，它与低频渐近线交于高频渐近线方程式，它与低频渐近线交于 = 1/T1处。处。 )1lg(101lg20)(2121TTG 21211lg10TG这里研究这里研究 1/T1称为交接频率称为交接频率(断点）。断点）。 相频特性相频特性 11Ttg若若 0,/11T 90,/11T 45,/11T当当 远离断点时，此折线较精确地表示实远离断点时，此折线较精确地表示实际曲线，在断点处误差最大为际曲线，在断点处误差最大为3dB2040-40-20110102103 20dB/

15、10倍频倍频-20dB/10倍频倍频)(1G4590110102103 104+45/10倍频倍频 ( )1101T11T110T(4) 共轭复零点共轭复零点(极点）极点）设二次因式如下，其中设二次因式如下，其中 2是是Z2的实部的实部*22)(ZjZjH22222jZ222222211)(TjTTH2222,1TTZ令222222211)(TjTTH二次因式的幅频特性的对数增益为二次因式的幅频特性的对数增益为 2222222221lg201lg20TTTG 222222221lg20TTG令令 若若 1/T2, G2( ) 40lg T2=40lg 21lg40T高频渐近线为斜率为高频渐近线

16、为斜率为40dB/10倍频的直线，倍频的直线，它与低频渐近线交于它与低频渐近线交于 =1/T2处。处。 222222221lg20TTG 1/T2称为交接频率（断点）。称为交接频率（断点）。2040-40-20110102103 40dB/10倍频倍频-40dB/10倍频倍频)(2G21T 相频特性相频特性 2222112TTtg若若 1/T2, ( ) 180 ( )的曲线为在断点处的阶跃函数，幅度为的曲线为在断点处的阶跃函数，幅度为180。 ( ) ( )1021090 -90 -180 21T210T2101T解：极点为解：极点为 例例8.5-2 254252SSSsH计算此网络的增益和

17、相频特性，画波特图计算此网络的增益和相频特性，画波特图2122, 1jp5121Tp4 . 022T25425)(2ssssH)12525(25252sss116. 004. 02sss作图步骤：作图步骤：幅值：幅值：1. 对复数共轭极点，画一条从对复数共轭极点，画一条从512T开始，斜率为开始，斜率为-40dB/10倍频的渐近线倍频的渐近线。2. 对位于原点的零点，画一条通过对位于原点的零点，画一条通过 =1，斜，斜 率为率为20dB/10倍频的渐近线倍频的渐近线。3. 两条渐近线相加。两条渐近线相加。相位：相位：1. 复数共轭极点的渐近线为复数共轭极点的渐近线为512T处，大小为处，大小为

18、-180 的阶跃函数的阶跃函数。2. 位于原点的零点的相应渐近线为位于原点的零点的相应渐近线为 ( )=90 即产生即产生90 的相位移。的相位移。3. 将两条渐近线相加。将两条渐近线相加。例例8.5-2 波特图波特图20dB/10倍频倍频-40dB/10倍频倍频5-1010102510220-20-30-40G( ) -20dB/10倍频倍频5112 pT 254252SSSsH10510290-90 ( ) -180 8.6 线性系统的模拟线性系统的模拟系统模型。框图组合建立之一：即利用基本的方解决上述矛盾的方法得要领。十分繁琐或不法是不行的，研究过程在实际中只依赖这种方统分析，方法方程或

19、差分方程）的系建立数学模型（微分为什么要模拟？。或仿真的方法称为系统模拟图运算单元给出系统方框利用线性微分方程基本一、何谓系统的模拟)(到系统设计（综合）。有助于从系统分析过渡与互联的研究方法也特征的实质，系统分解这种方法容易理解性能简化。统时，分析过程将得以将它们组合构成复杂系果熟知各单元性能，解为若干基本单元，如系统的模拟是将系统分、模拟图用基本单元法二、线性系统的模拟方1)()(2)(21)(1sXxsXxtt)()()()(21)(2)(1sXsXYxxtystt加法器加法器: :)()(sYyt)()(sXxt乘法器乘法器: :a)()(sYyt)()()()(saXsYtaxty初

20、始条件为零的积分器初始条件为零的积分器)(tx)(tys1)(sX)(sY时域形式tdxty0)()(复频域形式)(1)(sxssY初始条件不为零的积分器初始条件不为零的积分器)(tx)0(y)(tytdxyty0)()0()(s1sy)0()(sX)(sYssXsysY)()0()(、一阶微分方程的模拟2xyay0yaxy0 x0ay y0a)(szs1)(sY条件，故是零状态响应以上模拟图都未计初始)(ssY、二阶系统的模拟3xyayay01 yayaxy01 0a1a)(tx y yyxbxbyayayx01014 拟的导数的二阶系统的模、含有qbqbyyxqaqaqqq01012) 1 (1, ）式满足（则）满足方程（使引入一辅助函数方程即可证明代入原、将)2() 1 (X1a0a1b2byq qq称为直接模拟框图。系统函数作出的，一般根据系统的微分方程或以上讨论的框图是直接阶系统的方程为一般、并联模拟框图n5)(.01)(01) 1(1)(nmxbxbxbyayayaymmnnn)()()(.).()().()()()(.)(21221121)01110111sHsHsHps