《计算方法》第五章数值积分

1、1计 算 方 法华中科技大学数学与统计学院第五章第五章 数值积分数值积分计算方法课程组25 数值积分数值积分5.1 机械求积公式机械求积公式5.2 Newton_Cotes公式公式5.3 变步长求积公式及其加速变步长求积公式及其加速 收敛技巧收敛技巧5.4 Gauss公式公式35.1 机械求积公式机械求积公式第第1 1节节 引言引言第第2节节 数值积分的基本方法数值积分的基本方法第第3节节 代数精度法代数精度法第第4节节 插值求积法插值求积法45.1.1 引言引言 定积分的计算可用著名的牛顿定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算莱布尼兹公式来计算: ( )( )( )baf x dxF

2、 bF a 其中其中 F(x) 是是 f (x) 的原函数之一，可用不定积分求得的原函数之一，可用不定积分求得. 被积函数被积函数 f (x) 是用函数表格提供是用函数表格提供; f(x) 极为复杂，求不出原函数极为复杂，求不出原函数; 大量函数的原函数不容易或根本无法求出大量函数的原函数不容易或根本无法求出. 210 xedx10sinxdxx2222204( )1sinIrxH xdrxr 只能运用数值积分只能运用数值积分, 求积分近似值求积分近似值 . 问题问题5其中其中, 称为积分节点，称为积分节点， 称为求积系数。称为求积系数。 5.1.2 数值积分的基本方法数值积分的基本方法kx(

3、 )baf x dx 就是在区间就是在区间 a , b 内取内取 n+1 个点个点01,nx xx利用被积函数利用被积函数 f (x) 在这在这 n+1 个点的函数值的某一个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求的定积分种线性组合来近似作为待求的定积分. kA0()()nbkkakfx dxA fx 6其中其中, 称为积分节点，称为积分节点， 称为求积系数。称为求积系数。 5.1.2 数值积分的基本方法数值积分的基本方法kxkA 因此，数值积分公式关键在于积分节点因此，数值积分公式关键在于积分节点 的选取的选取和积分系数和积分系数 的决定，其中的决定，其中 与被积函数与被积函数 f (x)

4、无关。无关。称为称为机械求积公式机械求积公式。kAkx0()()nbkkakfx dxA fx kA7求积分求积分10( )xxf x dx 简单算例简单算例8求积分求积分10( )xxf x dx 此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积此积分的几何意义相当于如图所示的曲边梯形的面积。 用用 f (x) 的零次多项式的零次多项式00( )()yLxf x 来近似代替来近似代替( )f x11000001( )()(xxxxf x dxf xdxf xxx 于是有于是有简单算例简单算例解解左矩公式左矩公式91100010110( )()2()()2xxxxxxf x dxfdxxxfxx

5、 11001110( )()()()xxxxf x dxf x dxf xxx 推广推广:右矩公式右矩公式中矩公式中矩公式10用用 f(x) 的一次多项式的一次多项式 011010110( )()()xxxxL xf xf xxxxx来近似代替来近似代替 , ( )f x于是，于是， 1100100101011001110()( )1()()2( )xxxxxxx xx xf xf xdxxxxf x dxxxxf xf xL x dx1()Lx梯形公式梯形公式推广推广:11011200010101101()()()()( )()()()()()()()()()()()xxxxxxxxL xf

6、 xf xxxxxxxxxxxxxf xxxxx 来近似代替来近似代替 ( )f x, ,于是，于是，11002()()xxxxfx dxLx dx 特别地：当特别地：当011()2xxx 有有10100101()( )() 4 ()()62xxxxxxf x dxf xff x 用用 f (x) 的二次插值多项式的二次插值多项式, 推广推广:SimpsonSimpson公式公式 125.1.3 代数精度法代数精度法 为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义计算意义, ,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立就要求它对尽可能多的被积

7、函数都准确地成立. .因此定义代数精度的概念因此定义代数精度的概念: :若积分若积分 的数值积分公式的数值积分公式 对于任意对于任意 多项式都精确成立，多项式都精确成立，但对但对 不精确成立，不精确成立，则称则称该数值积分公式具该数值积分公式具m 次代数精确度。次代数精确度。 0()()nbkkakfx dxA fx ( )(0,1,)if xx im( )baf x dx 1( )mf xx 13 对于对于a, b上线性插值，如图所示有上线性插值，如图所示有122b aAA考察其代数精度。考察其代数精度。 梯形公式梯形公式算例算例: :f(x)abf(b)f(a)2( ) ( )( )bb

8、aaf x dxf af b)()()(1bfafxLabaxbabx 142( ) ( )( )bb aaf x dxf af b的代数精度。的代数精度。解：解：逐次检查公式是否精确成立逐次检查公式是否精确成立代入代入 L0 = 1： baabdx1112 ab=代入代入 L1 = x ：=代入代入 L2 = x2 ： 222abbadxx 2baab 3233abbadxx 222baab 得代数精度得代数精度 = 1梯形公式梯形公式f(x)abf(b)f(a)15试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高. . 02( ) (0)( )(

9、0)( )2hIf x dxhff hahffhI算例算例: :16试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高. . 20( ) (0)( )(0)( )2hhIf x dxff hahffhI00hIx dx 解解: : 222hI 32202 2hIahh 0( )f xx2Ih h10hIx dx 1( )f xx22h 20hIx dx 2( )f xx33h 31(2 )2a h 2II112a 算例算例: :令令 174222032hIahh 30hIx dx 3( )f xx44h 44h 5232042hIahh 40hIx d

10、x 4( )f xx55h 56h 2()()0,1,2,3jjI xIxj442()()I xIx 因此因此由此得该积分由此得该积分公式具有公式具有 3 次次代数精确度代数精确度. . 220( ) (0)( )(0)( )2hhIf x dxff hahffhI 18类似地类似地, 可以证明可以证明矩形公式具矩形公式具 0 次代数精度次代数精度可以证明可以证明 Simpson公式具公式具 3 次代数精度次代数精度. ( )( )()baf x dxf aba ()( )( ) 4 ()( )62bab aa bf x dxf aff b19 利用插值多项式来构造数值求积公式利用插值多项式来

11、构造数值求积公式, ,具体步骤如下具体步骤如下: : 近似计算近似计算 badxxfI)(5.1.2 插值求积法插值求积法 利用利用插值多项式插值多项式 , 则则定定积分积分容容易易计计算。算。)()(xfxPn 在在 a, b 上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值多次插值多项式项式 ， nkkknxlxfxL0)()()( 即得到即得到 babaknkkdxxlxfdxxf)()()(020 利用插值多项式来构造数值求积公式利用插值多项式来构造数值求积公式, ,具体步骤如下具体步骤如下: : 近似计算近似计算 badxxfI)(5.1.4 插值求积法插值求积法 利

12、用利用插值多项式插值多项式 , 则则定定积分积分容容易易计计算。算。)()(xfxPn 在在 a, b 上取上取 a x0 x1 xn b，做，做 f 的的 n 次插值多次插值多项式项式 ， nkkknxlxfxL0)()()( 即得到即得到 babaknkkdxxlxfdxxf)()()(0Ak()()jkjbx xkxxakjAdx由由 节点决定，节点决定，与与 f (x) 无关。无关。不同的不同的插值方法插值方法有不同的有不同的基函数基函数210( )()nbkkakR ff x dxA f x误差误差: 5.1.4 插值求积法插值求积法 - 余项余项 (1)0()()(1) !nnbx

13、kakfxxd xn ( )( )( )bbnnaafxLxdxRx dx(1)01()()(1)!()(1)!nnbxkakbNafRfxxdxnMxdxn (1), max( )Nxa biffxM225.1.4 插值求积法插值求积法 - 余项余项 N+1 个节点的求积公式为个节点的求积公式为插值型插值型 该该求积公式至少有求积公式至少有 N 次代数精度次代数精度.23 由插值余项定理得由插值余项定理得 , 插值型求积公式的余项为插值型求积公式的余项为式中式中 与变量与变量 有关有关, . 5.1.4 插值求积法插值求积法 - 余项余项 n+1 个节点的求积公式为个节点的求积公式为插值型插

14、值型 该该求积公式至少有求积公式至少有 n 次代数精度次代数精度.(1)( ) ( )(1)!nbnafR fIIx dxn x01( )()()()nxxxxxxx 按此余项公式，对于次数不超过按此余项公式，对于次数不超过 的多项式的多项式 ，余项余项 等于零，求积公式至少具有等于零，求积公式至少具有 次代数精度。次代数精度。n R f( )f xn24 反之反之, 若求积公式至少具有若求积公式至少具有 次代数精度，则必定次代数精度，则必定是插值型的。因为求积公式对是插值型的。因为求积公式对 次多项式是精确成立的次多项式是精确成立的: 5.1.4 插值求积法插值求积法 - 余项余项 n+1

15、个节点的求积公式为个节点的求积公式为插值型插值型 该该求积公式至少有求积公式至少有 n 次代数精度次代数精度.nnknjjkjbakAxlAdxxl0)()(ReturnReturn255.2 Newton-Cotes公式公式第第1 1节节 公式的一般形式公式的一般形式第第2节节 低阶公式及其余项低阶公式及其余项 第第3节节 复合求积公式复合求积公式26第第1节节 Newton-Cotes数值求积公式数值求积公式Newton-Cotes公式是指等距节点下使用公式是指等距节点下使用Lagrange插值插值多项式建立的数值求积公式多项式建立的数值求积公式( ) , f xC a b ,0,1,kx

16、akhkn bahn 各节点为各节点为设函数设函数将积分区间将积分区间 a, b分割为分割为n等份等份为步长为步长f(x)的的 Lagrange 的插值多项式及余项分别为的插值多项式及余项分别为270( )() ( )nnkkkLxf xlx (1)1( )( )( )(1)!nnnfRxxn , a b 10( )()nniixxx 其中其中0( )jkj nkjj kxxlxxx 而而( )( )( )nnf xLxRx 因此对于定积分因此对于定积分()( )baI ff x dx ( )( )bnnaLxRx dx 有有()( )baI ff x dx 280() ( )nbkkakf

17、xlx dx ( )bnaRx dx 0()nkkkA f x ( )bnaRx dx 令令0()()nnkkkIfA f x ()( )bnnaR IRx dx ( )baIf x dx ()()()nnI fIfR I 即有即有( )bkkaAlx dx 0bjaj nkjj kxxdxxx n阶Newton-Cotes求积公式Newton-Cotes公式的余项(误差)()()nI fIf 其中其中29( )bkkaAlx dx 0bjaj nkjj kxxdxxx kA注意是等距节点注意是等距节点xath , xa b 由由0,tn 可可知知kA0bjaj nkjj kxxdxxx 00

18、()()nj nj ktj hh dtkj h 00( 1)()! ()!n knj nj khtj dtknk 计算计算:假设假设3000( 1)()()! ()!n knj nj kbatj dtn knk ( )()nkkAbaC 0()()nnkkkIfA f x ( )0()()nnkkkbaCf x 所以所以Newton-Cotes公式化为公式化为( )nkC使用使用n次次Lagrange插值多项式的插值多项式的Newton-Cotes公式至少具有公式至少具有n次代数精度次代数精度,并且并且n为偶数时至为偶数时至少具有少具有n+1次代数精度次代数精度,试以试以n=1,2,4为例说明

19、为例说明该结果。该结果。为为Cotes系数系数31第二节第二节 低阶低阶Newton-CotesNewton-Cotes公式及其余项公式及其余项在在Newton-Cotes公式中公式中,n=1,2,4时的公式是最常用也时的公式是最常用也最重要三个公式最重要三个公式,称为低阶公式称为低阶公式1.梯形梯形(trapezoid)公式及其余项公式及其余项011,nxaxb hba 取取有有dtt10)1()1(0CCotesCotes系数为系数为21dtt10)1(1C21求积公式为求积公式为32)(1fI10)1()()(kkkxfCab)()(210 xfxfab)()(2bfafab)(1fI即

20、上式称为上式称为梯形求积公式梯形求积公式, ,也称也称两点公式两点公式，记为，记为-0.500.511.500.511.522.533.544.5)()(2)(bfafab)(1fIT 梯形公式的余项为梯形公式的余项为)()(1IRTRbadxxR)(133( ) , , ()()baR Tf x a b xa xb dx , , ()() , bafa bxa x b dxa b积分第二积分第二中值定理中值定理33( ) ()()( )2612fbabaf (1)101( )( )( )(1)! , .,( )nnnnnfRxxnf x xxx 2312)(|)(|MabTR|)(|max,

21、2xfMbax 梯形梯形(trapezia)公式具有公式具有 次代数精度。次代数精度。故故( )()() , 2bafxa xb dxa b均差均差性质性质134 设在区间设在区间a, b上函数上函数f (x)连续，而函数连续，而函数 (x)可积且不变号，可积且不变号，则在开区间则在开区间(a, b)内至少存在一点内至少存在一点，使，使( )( )( )( )( , )bbaaf xx dxfx dxab积分第二中值定理：积分第二中值定理：均差性质：均差性质：(1)011( ) ,.,( )( )(1)!nxnnnff x xxxxn0minmaxkkff x xxxxk( )() , ,.,

22、(,)!=352. Simpson公式及其余项公式及其余项0122,22babanxaxxbh 取取有有Cotes系数为系数为dtttC20)2(0)2)(1(4161dtttC20)2(1)2(2164dtttC20)2(2)1(4161求积公式为求积公式为2I20)2()()(kkkxfCab36)(61)(64)(61)(210 xfxfxfab)()2(4)(6bfbafafab)(2fI-0.500.511.500.511.522.533.544.5上式称为上式称为Simpson求积公式求积公式，也称，也称三点公式或抛物线公式三点公式或抛物线公式记为记为)(2fIS Simpson公

23、式的余项为公式的余项为)()(2IRSRbadxxR)(2)()2(180)4(4fababSimpson公式具有公式具有 次代数精度次代数精度。3373. Cotes公式及其余项公式及其余项4,0,1,4 ,4kbanxakhkh 取取有有Cotes系数为系数为dtttttC)4)(3( )2)(1(! 44140)4(0907dtttttC)4)(3( )2(! 34140)4(19032dtttttC)4)(3( )1(! 2! 24140)4(29012dtttttC)4)(2( )1(! 34140)4(39032dtttttC)3)(2( )1(! 44140)4(490738求积

24、公式为求积公式为)(4fI40)4()()(kkkxfCab)(907)(9032)(9012)(9032)(907)(43210 xfxfxfxfxfab)(7)(32)(12)(32)(79043210 xfxfxfxfxfab上式称为上式称为Cotes求积公式求积公式，也称，也称五点公式五点公式记为记为)(4fIC Cotes公式的余项为公式的余项为)()(4IRCRbadxxR)(4)()4(945)(2)6(6fababCotes公式具有公式具有5次代数精度。次代数精度。39第第3节节 复化求积公式复化求积公式 高次插值有高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值现象，故采用分段

25、低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复化求积公式。复化求积公式。40 复化梯形公式：复化梯形公式：),., 0(,nkhkaxnabhk 在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：,1kkxx nkxfxfxxdxxfkkxxkkkk,., 1,)()(2)(111 11)()(2)(2nkkbfxfafh bankkkxfxfhdxxf11)()(2)(= Tnn32knk=1kk=1f ()hhR f=-f () = -(b - a)1212nn-1kxbaxbk=0af ()min f (x)max f (x)n而而由由介值定理介值定理知：知： 使使(a,b

26、)n-1kk=0f ()f ()n2hR f-(b - a)f ()12即有：即有：余项：余项：41 复化复化 Simpson 公式：公式：),., 0(,nkhkaxnabhk )()(4)(6)(1211 kkkxxxfxfxfhdxxfkkkx21 kx1 kx44444 )()(2)(4)(6)(1010121 nknkkkbabfxfxfafhdxxf= Sn( )(3)(3) 444b-a h1hR f-f()f(b)- f(a)18021802注：注：为方便编程，可采用另一记法：令为方便编程，可采用另一记法：令 n = 2n 为偶数，为偶数， 这时这时 ，有，有hkaxhnabh

27、k ,2 )()(2)(4)(3 koddkevenkknbfxfxfafhS42 10sin xI =d xx例例1: 分别利用复化梯形公式和复化分别利用复化梯形公式和复化Simpson公式计算积分：公式计算积分： 积分的相对精确值为积分的相对精确值为 100.94608i9s30n xIdxx 817(0) 2 ()2 ()(1)2hTff xf xf 0,1,8ixihi 解解：设：设=0.94569086 步长步长 h=1/8。41357246(0)4()()()()32()()()(1)hSffxfxfxfxfxfxfxf =0.94608331运算量基运算量基本相同本相同43 复化

28、求积法的余项和收敛阶复化求积法的余项和收敛阶：复化梯形（复化梯形（ Trapezoid ）公式的余项：）公式的余项：32nnkk=1hhI -T-f ( ) = -(b -a)f ()(a,b)1212复化辛甫生（复化辛甫生（Simpson）公式的余项：）公式的余项：( )( )()() 4441180 24nnkk=hhb-a hI-Sf-f() a,b180 2复化柯特斯（复化柯特斯（Cotes）公式的余项：）公式的余项：( )( )( )()()( )( )()ff 66662945 429454nnkk=1hhI -Cb -aha,b4432nnnkkk =1k =1hhI - T =

29、-f ()-f () h1212先看复化梯形公式余项：先看复化梯形公式余项：当当n充分大充分大, 时，时， 0hnnk2k=1I -T1-f () hh12( )( )( )nbkak=1111-f ( ) h-fx dx=-f b - f a121212即对复化的梯形公式有：即对复化的梯形公式有：( )( )n2I -T1-f b - f ah12类似地，对于复化的辛甫生公式和柯特斯公式分别有：类似地，对于复化的辛甫生公式和柯特斯公式分别有：( )( )( )( )3341180 2n4I -Sfbfah( )( )62945 4(5)(5)n6I-Cfbfah45 2nhI -Tf (b)

30、- f (a)12 而且，当而且，当h很小时，复化的梯形法、辛甫生法和柯特斯法很小时，复化的梯形法、辛甫生法和柯特斯法分别有下列的误差估计式：分别有下列的误差估计式：定义定义 若一个积分公式的误差满足若一个积分公式的误差满足 且且C 0，则，则称该公式是称该公式是 p 阶收敛阶收敛的。的。 0nphI - IlimCh)(,)(,)(642hOChOShOTnnn( )( )( )( ) 433180 2n1hI -Sfbfa( )( ) 62945 4(5)(5)nhI-Cfbfa当步长当步长h折半时，折半时，R(T), R(S),R(C)分分别减至原有误差别减至原有误差的的1/4,1/16

31、,1/6446例例2：计算计算dxx 10142 解：解： )1()(2)0(161718fxffTkk8kxk 其中其中= 3.138988494 )1()(2)(4)0(241oddeven4fxfxffSkk8kxk 其中其中= 3.141592502上例中若要求上例中若要求 ，则，则610| nTI622106| )0() 1 (|12| | hffhfRn00244949.0 h即：取即：取 n = 409通常采取将区间通常采取将区间不断对分不断对分的方法，即取的方法，即取 n = 2k上例中上例中2k 409 k = 9 时，时，T512 = 3.141592018ReturnRe

32、turn475.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧变步长求积公式及其加速收敛技巧Q: 给定精度给定精度 ，如何取，如何取 n ? 实际计算中常采用实际计算中常采用变步长变步长的计算方案，即在步长逐次分半（即的计算方案，即在步长逐次分半（即步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式计算，直至所求步长二分）的过程中，反复利用复化求积公式计算，直至所求积分值满足精度要求为止。积分值满足精度要求为止。 复化梯形公式的递推化复化梯形公式的递推化： 将求积区间将求积区间a, b分成分成n等分，一共有等分，一共有 个分点个分点,n+1( )()( )22n-1nkk=1hTf af xf b将求积区间再二分一

33、次，则分点增至将求积区间再二分一次，则分点增至 个，个，每个子区间每个子区间 二分后用复化梯形公式求的积分值为：二分后用复化梯形公式求的积分值为： ,kk+1x x2n+11()()()2412kk+k+hf xf xf xh=(b- a)/n代表代表二分前二分前的步长。的步长。48注意到区间再次对分时注意到区间再次对分时412)()(12122fRhafbffRnn 412 nnTITI)(3122nnnTTTI 将每个子区间上的积分值相加得：将每个子区间上的积分值相加得：()()()1211042n-n-12nkk+k+k=k=0hhTf xf xf x比较比较T n和和T2n得下列得下列

34、梯形递推公式梯形递推公式：n-1k=01()22122nnk+hTTf x 递推梯形公式加上一个控制精度递推梯形公式加上一个控制精度, ,即可成为自即可成为自动选取步长的复化梯形公式。动选取步长的复化梯形公式。 直接用计算直接用计算结果来估计结果来估计误差的方法误差的方法称为事后误称为事后误差估计法差估计法49 龙贝格龙贝格积分积分 （外推加速公式外推加速公式） /* Romberg Integration */的误差大致等于的误差大致等于nT2()132nnT -T)(3122nnnTTTI 由由 可知可知：()1413332n2nn2nnTTTTTT用这个误差值作为的用这个误差值作为的 一

35、种补偿，可以期望所得到的一种补偿，可以期望所得到的2nT可能是更好的结果。可能是更好的结果。例：例：计算计算dxx 10142 已知对于已知对于 = 10 6 须将区间对分须将区间对分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.141592018由由 来计算来计算 I 效果是否好些？效果是否好些？nnnnTTTTI313414422 483134TT = 3.141592502.3117647131313898849448TT而而的精度都很差（与准确值的精度都很差（与准确值3.14159265比较）比较）= S450一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 1

36、44323 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1T( )( )( )( ) 4331802n1hI - Sfbfa再考察辛甫生法，由误差公式：再考察辛甫生法，由误差公式：其截断误差大致与其截断误差大致与h4成正比，因此：成正比，因此：1162nnI-SI-S()116 12n2nnI-SS -S16115152nnISS不难直接验证：不难直接验证：16115152nnnSSC 上述加速过程还可继

37、续下去，其理论依据是下面要介绍上述加速过程还可继续下去，其理论依据是下面要介绍的的 理查德森理查德森外推加速方法。外推加速方法。51算例：算例：用用Romberg积分法求解定积分：积分法求解定积分：12041dxx T1 3.000000000 0 0 0 0 T2 3.100000000 3.133333333 0 0 0 T4 3.131176471 3.141568628 3.142117647 0 0 T8 3.138988495 3.141592503 3.141594094 3.141585784 0 T16 3.140941612 3.141592651 3.141592661

38、3.141592638 3.14159266误差容限：误差容限：1.0e-6 准确值：准确值：*=3.1415926535897952 理查德森理查德森外推法外推法利用低阶公式产生高精度的结果。利用低阶公式产生高精度的结果。设对于某一设对于某一 h 0，有公式，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值近似计算某一未知值 I。由。由Taylor展开得到：展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + 现将现将 h 对分，得：对分，得： .)(3232222120 hhhhIT Q：如何将公式精度由如何将公式精度由 O(h) 提高到提高到 O(h2) ？.432112)()(

39、23322020 hhIhTTh 即：即：.12)()(2)(32210201 hhIhTThTh .)(42312 hhIhT 12)()(221212 hTTh.)(2211 mmmhhIhT 12)()(2121 mmhmmhTTReturnReturn53 牛顿牛顿柯特斯型求积公式是柯特斯型求积公式是封闭型封闭型的（区间的（区间 a, , b 的两端点的两端点a, , b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的均是求积节点）而且要求求积节点是等距的, ,受此限制，受此限制，牛顿牛顿柯特斯型求积公式的代数精确度只能是柯特斯型求积公式的代数精确度只能是n（ n为奇数）为奇数）或或 n +1（

40、 n为偶数）。为偶数）。 而如果对求积节点也适当的选取而如果对求积节点也适当的选取, ,即在求积公式中不仅即在求积公式中不仅A k而而且且x k也加以选取也加以选取,这就可以增加自由度，从而可提高求积公式这就可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。的代数精确度。5.4 高斯型高斯型积分积分( )()nbkkak=0f x dxA f x构造具有构造具有2n+1次代数精度的求积公式次代数精度的求积公式将节点将节点 x0 xn 以及系数以及系数 A0 An 都作为待定系数。都作为待定系数。令令 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入可求解，得到的公式代入可求解，得到的公式

41、具有具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，点，公式称为公式称为Gauss 型求积公式。型求积公式。54例例:( )(10011-1f x dxA f xA f x其中其中, , x0 , x1 固定在固定在-1，1，A0 , A1可以适当选取可以适当选取,只有两个自由只有两个自由度度,得到的是梯形公式得到的是梯形公式,其其代数精确度只有代数精确度只有1。如果对求积节点也。如果对求积节点也进行适当选取进行适当选取,将有四个自由度将有四个自由度,得到如下公式得到如下公式:( )111133f x dxff这个积分公式的代数精确度为这个积分公式的代数精确度

42、为3, 3,这就是这就是高斯型高斯型求积公式求积公式, ,上面的求积节点上面的求积节点 称为称为高斯点高斯点。13如果如果n+1个求积节点的求积公式的代数精确度为个求积节点的求积公式的代数精确度为2n+1,则这则这n+1个求积节点称为个求积节点称为高斯点高斯点。 定义定义55证明：证明： “” x0 xn 为为 Gauss 点点, 则公式则公式 至少有至少有 2n+1 次代数精度。次代数精度。( )( )0nbkkak=f x dxA f x对任意次数对任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 Pn(x)， Pn(x) w(x)的次数的次数不大于不大于2n+1，则代入公式应则代入公式应精确成立

43、精确成立：0nbnknkkak=P (x)w(x)dxA P (x )w(x )0= 0 “” 要证明要证明 x0 xn 为为 Gauss 点，即要证公式对任意次点，即要证公式对任意次数数不大于不大于2n+1 的多项式的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明：精确成立，即证明：()( )nbmkmkak=0Px dxA Px设设)()()()(xrxqxwxPm ( )bbbmaaaP x dxw(x)q(x)dxr(x)dx0 nkkkxrA0)( nkkmkxPA0)( x0 xn 为为 Gauss 点点 与任意次数与任意次数不大于不大于n 的多项式的多项式 P(x) 正交正交。 nkkxxxw0)