2021届高考数学二轮考前复习第三篇直击压轴大题搏高分必须攻克的6个热点专题专题2圆锥曲线中的定点与定值学案文含解析20210123169.doc
2021届高考数学二轮考前复习学案文含解析打包40套
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2021届高考数学二轮考前复习学案文含解析打包40套,2021,高考,数学,二轮,考前,复习,学案文含,解析,打包,40
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专题2圆锥曲线中的定点与定值1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)参数法:引进动点的坐标或动线中的系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般的方法:根据动点或动线的特殊情况搜索出定点,再证明该定点与变量无关.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值:依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,化简即可得出定值;(2)求点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得;(3)求某线段长度为定值:利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求解.3.代数恒等式成立的条件,是寻找定值问题的关键.求解直线与圆锥曲线过定点问题的基本思路第一步把直线或圆锥曲线方程中的变量x,y看成常数;第二步将方程转化为参数为主变量的方程,这个方程对任意参数都成立;第三步参数的系数全部等于零;第四步得到一个关于x,y的方程组;第五步这个方程组的解所确定的点就是直线与圆锥曲线所过的定点.1.步骤分:第一问中(1)设点;(2)表示两条切线方程,并联立;(3)得出ab的方程并整理出(x1+x2)x+(-y)=0;(4)下结论.第二问中:求出的坐标及|的值,写出圆的标准方程.2.关键分:解题过程的关键点,有则给分,无则没分.如第(1)问中求出直线ab的方程并整理出可以确定定点的形式.3.计算分:计算准确是根本保证.4.防止漏解:解答第二问时,通过数形结合,只得到切点为时的圆的方程,而忽略其他情形而致错.【典例】(12分)(2019全国卷)已知曲线c:y=,d为直线y=-上的动点,过d作c的两条切线,切点分别为a,b.(1)证明:直线ab过定点.(2)若以e为圆心的圆与直线ab相切,且切点为线段ab的中点,求该圆的方程.(1)证明直线过定点求出直线ab的方程求出a,b两点处的切线,两条切线交于直线y=-上的d点;(2)写出圆的方程求出的坐标与的值通过m为线段ab的中点,得出t的值直线ab方程和抛物线方程联立.【标准答案】(1)设a,b两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),因为y=x2,所以y=x,则切线da为:y-y1=x1(x-x1),切线db为:y-y2=x2(x-x2), 2分代入y=x2得x2-x1,得(x2-x1)y+x1x2(x1-x2)=0,因为x1-x20,故y=x1x2, 3分因为da和db的交点d为直线y=-上的动点,所以有y=x1x2=-,x1x2=-1,直线ab为=,点a,b在曲线y=上,则有=,整理得y=(x1+x2)(x-x1)+=-x1x2+(x1+x2)x=+(x1+x2)x, 4分即(x1+x2)x+=0 5分当x=0,y=时无论x1,x2取何值,此等式均成立.因此直线ab过定点,得证. 6分(2)由(1)得直线ab方程为2tx-2y+1=0,和抛物线方程联立得:化简得x2-2tx-1=0.于是x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1,设m为线段ab的中点,则m.8分由于,而=(t,t2-2),与向量(1,t)平行,所以t+t(t2-2)=0,解得t=0或t=1. 10分当t=0时,=(0,-2),=2,所求圆的方程为x2+=4;当t=1时,=(1,-1)或=(-1,-1),=,所求圆的方程为x2+=2.所以圆的方程为x2+=4或x2+=2. 12分测试目标(1)用两切线方程确定直线ab的方程;(2)圆与直线相切,数量积公式与垂直关系.测试目标逻辑推理:通过圆与直线相切得到垂直,通过向量数量积公式及垂直关系得出t;数学运算:联立方程组,整理直线方程.1.(定值)已知o为坐标原点,椭圆c:+=1(ab0)的左,右焦点分别为f1,f2,点f2又恰为抛物线d:y2=4x的焦点,以f1f2为直径的圆与椭圆c仅有两个公共点.(1)求椭圆c的标准方程;(2)若直线l与d相交于a,b两点,记点a,b到直线x=-1的距离分别为d1,d2,|ab|=d1+d2.直线l与c相交于e,f两点,记aob,oef的面积分别为s1,s2.证明:eff1的周长为定值;求的最大值.2.(定值)已知椭圆c的中心在原点,其焦点与双曲线2x2-2y2=1的焦点重合,点p(0,)在椭圆c上,动直线l:y=kx+m交椭圆c于不同两点a,b,且=0(o为坐标原点).(1)求椭圆c的方程;(2)讨论7m2-12k2是否为定值;若是,求出该定值;若不是,请说明理由.3.(定值)已知椭圆c:+=1(ab0)的离心率为,点在c上.(1)求椭圆c的方程;(2)过点a(-2,0)作直线aq交椭圆c于另外一点q,交y轴于点r,p为椭圆c上一点,且aqop,求证:为定值.4.(定值)已知点q是圆m:(x+)2+y2=36上的动点,点n(,0),若线段qn的垂直平分线交mq于点p.(1)求动点p的轨迹e的方程;(2)若a是轨迹e的左顶点,过点d(-3,8)的直线l与轨迹e交于b,c两点,求证:直线ab,ac的斜率之和为定值.5.(定点)已知椭圆c1:+=1(ab0)的左、右顶点分别是双曲线c2:-y2=1的左、右焦点,且c1与c2相交于点.(1)求椭圆c1的标准方程;(2)设直线l:y=kx-与椭圆c1交于a,b两点,以线段ab为直径的圆是否恒过定点?若恒过定点,求出该定点;若不恒过定点,请说明理由.6.(定值)已知圆c1:x2+y2=2,圆c2:x2+y2=4,如图,c1,c2分别交x轴正半轴于点e,a.射线od分别交c1,c2于点b,d,动点p满足直线bp与y轴垂直,直线dp与x轴垂直.(1)求动点p的轨迹c的方程;(2)过点e作直线l交曲线c于点m,n,射线ohl于点h,且交曲线c于点q.问:+的值是否是定值?如果是定值,请求出该定值;如果不是定值,请说明理由.7.(定点)已知点f是抛物线c:x2=4y的焦点,p是其准线l上任意一点,过点p作直线pa,pb与抛物线c相切,a,b为切点,pa,pb与x轴分别交于q,r两点.(1)求焦点f的坐标,并证明直线ab过点f;(2)求四边形abrq面积的最小值.8.(定点)已知点o为坐标原点,椭圆:+=1(ab0)过点,其上顶点为b,右顶点和右焦点分别为a,f,且afb=.(1)求椭圆的标准方程;(2)直线l交椭圆于p,q两点(异于点b),直线bp,bq的斜率分别为kbp,kbq,且kbp+kbq=-1,试判定直线l是否过定点?若过定点,求出该定点坐标;若不过定点,请说明理由.专题2圆锥曲线中的定点与定值/高考演兵场检验考试力/1.【解析】(1)因为f2为抛物线d:y2=4x的焦点,故f2(1,0),所以c=1,又因为以f1f2为直径的圆与椭圆c仅有两个公共点知:b=c,所以a=,b=1,所以椭圆c的标准方程为+y2=1.(2)由题知,因为x=-1为抛物线d的准线,由抛物线的定义知:|ab|=d1+d2=|af2|+|bf2|,又因为|ab|af2|+|bf2|,当且仅当a,b,f2三点共线时等号成立,所以直线l过定点f2,根据椭圆定义得:|ef|+|ef1|+|ff1|=|ef2|+|ef1|+|ff1|+|ff2|=4a=4.若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=1,因为|ab|=4,|ef|=,所以=;若直线l的斜率存在,则可设直线l:y=k(x-1)(k0),设a(x1,y1),b(x2,y2),由得,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=,|ab|=x1+x2+2=,设e(x3,y3),f(x4,y4),由得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,则x3+x4=,x3x4=,所以|ef|=|x3-x4|=,则=,综上知:的最大值等于.2.【解析】(1)因为双曲线2x2-2y2=1的焦点为(1,0),所以在椭圆c中c=1,设椭圆c的方程为+=1(a0),由点p(0,)在椭圆c上得=1,解得a2=4a=2,则b=,所以椭圆c的方程为+=1.(2)7m2-12k2为定值,理由如下:设a(x1,y1),b(x2,y2),由=0可知x1x2+y1y2=0,联立方程组(3+4k2)x2+8mkx+4m2-12=0,x1+x2=-,x1x2=,由x1x2+y1y2=0及y=kx+m得x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0,整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,将式代入上式可得(1+k2)-km+m2=0,同时乘以3+4k2可化简得(1+k2)(4m2-12)-8k2m2+3m2+4m2k2=0,所以7m2-12k2=12,即7m2-12k2为定值.3.【解析】(1)由题可得e=,且:+=1,a2=b2+c2,所以a=2,c=,b=1,所以椭圆c的方程为+y2=1.(2)由题意可知直线aq的斜率存在,设直线aq:y=k(x+2),r(0,2k),(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0,由根与系数的关系可得:x1=-2,x2=xq=,则|aq|=|xq-x1|=,|ar|=|0-(-2)|=2,|op|=|xp-0|,令直线op为y=kx且令yp0,xp0.由得(1+4k2)x2-4=0,由根与系数的关系可得:x2=xp=,所以|op|=,=2,所以定值为2.4.【解析】(1)由题可知,线段qn的垂直平分线交mq于点p,所以|pn|=|pq|,则|pm|+|pn|=|pm|+|pq|=62,所以p的轨迹是以m,n为焦点的椭圆,设该椭圆方程为+=1(ab0),则2a=6,c=,所以b2=4,可得动点p的轨迹e的方程为+=1.(2)由(1)可得,过点d的直线l斜率存在且不为0,故可设l的方程为y=kx+m(k0),b(x1,y1),c(x2,y2),由得(4+9k2)x2+18kmx+9m2-36=0,=(18km)2-4(4+9k2)(9m2-36)=144(9k2-m2+4)0,x1+x2=-,x1x2=,而kab+kac=+=,=,由于直线l过点d,所以-3k+m=8,所以kab+kac=,即直线ab,ac的斜率之和为定值.5.【解析】(1)将代入-y2=1,解得m2=1,所以a2=m2+1=2.将代入+=1解得b2=1,所以椭圆c1的标准方程为+y2=1.(2)恒过定点.设a(x1,y1),b(x2,y2),由整理得(9+18k2)x2-12kx-16=0,所以x1+x2=,x1x2=,=144k2+64(9+18k2)0,方法一:由对称性可知,以ab为直径的圆若恒过定点,则定点必在y轴上.设定点为m(0,y0),则=(x1,y1-y0),=(x2,y2-y0),=x1x2+(y1-y0)(y2-y0)=x1x2+y1y2-y0(y1+y2)+=x1x2+k2x1x2-(x1+x2)-y0+=(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+y0+=0,所以解得y0=1,所以m(0,1),所以以线段ab为直径的圆恒过定点(0,1),方法二:设定点为m(x0,y0),则=(x1-x0,y1-y0),=(x2-x0,y2-y0),=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=x1x2-x0(x1+x2)+y1y2-y0(y1+y2)+=x1x2-x0(x1+x2)+-y0+=(1+k2)x1x2-(x1+x2)+y0+=0,所以解得所以m(0,1),所以以线段ab为直径的圆恒过定点(0,1).6.【解析】(1)设boe=,则b(cos ,sin ),d(2cos ,2sin ),所以xp=2cos ,yp=sin ,所以动点p的轨迹c的方程为+=1.(2)是定值.由(1)可知e为c的焦点,设直线l的方程为x=my+(斜率不为0时),且设点m(x1,y1),n(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-2=0,所以所以=,又射线oq方程为y=-mx,代入椭圆c的方程得x2+2(mx)2=4,即=,=,=,所以+=+=,又当直线l的斜率为0时,也符合条件.综上,+为定值,且为.7.【解析】(1)由题意可知f(0,1),设a,b,p(x0,-1),则lpa:y-y1=(x-x1),即y=x-y1;同理lpb:y=x-y2.又p在pa,pb上,则所以lab:y=x+1,所以直线ab过焦点f.(2)由(1)知lab:y=x+1,代入c:x2=4y得x2-2x0x-4=0,则则|ab|=y1+y2+2=(x1+x2)2-2x1x2+2=+4,p到ab的距离d=,所以spab=(+4),由(1)知q,r,则|qr|=|x1-x2|=,所以spqr=,令t=,t2,则四边形abrq的面积s=spab-spqr=t3-t,(t2),设f(t)=t3-t,f(t)=t2-,当t2时,f(t)0,即函数f(t)在2,+)上是增函数,所以f(t)min=f(2)=3,则四边形abrq面积的最小值为3.8.【解析】(1)因为椭圆:+=1(ab0)过点,所以+=1.又因为afb=,所以bfo=.因为|bf|=a,所以b=a.把代入中,解得a=2,b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)直线l过定点.理由如下:当直线l与x轴垂直时,设l的方程为x=m,点p(m,y0),q(m
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