对流扩散方程.PPT

1、14:对流扩散方程题题：对对流流扩扩散散方方程程的的初初值值问问 0, )()0 ,(0, 22 xxfxutxxuxuatu2 4.1、中心显式差分格式21111122huuuhuuauunjnjnjnjnjnjnj 时时，格格式式才才稳稳定定。只只有有程程的的古古典典显显式式格格式式，时时，格格式式是是近近似似扩扩散散方方无无条条件件不不稳稳定定格格式式；当当格格式式为为近近似似对对流流方方程程的的时时，而而且且当当其其截截断断误误差差为为：2100)(2 arahOE 格式改写成：设下面讨论稳定性：,2hhar3)2()(2111111njnjnjnjnjnjnjuuuuuruu whi

2、rwhrGsin)cos1 (21),(增长因子为：)cos1 ()cos1 (44)cos1 (1 )cos1 (4)cos1 (41sin),(2222222whrwhwhwhrwhwhrrG0)cos1 ()cos1 (440cos1, 122whrwhwhG，条件转化为：由于只需验证0)cos1)(4(2-4 222whrr即40)4(224 , 024,1 , 02cos12222rrrwh上述不等式转化为由于格式稳定的条件。此两不等式为中心显式代入，即得条件：将2h , 2,2221arr5442222xuhtu 为：为：中心显格式的截断误差中心显格式的截断误差2223344222

3、2xuaxuaxutut 求求导导有有：同同时时对对充充分分光光滑滑，对对方方程程两两边边假假设设对对流流扩扩散散方方程程的的解解4.2: 修正中心差分格式442334422224422223344222222xuhxuaxuxuaxuhxuaxuaxu ）（）（以改写为：以改写为：于是方程的截断误差可于是方程的截断误差可 622220 xuaxuatu）（方程相容：时，差分格式与下面的不趋近于由此有当得得到到如如下下差差分分格格式式：。这这样样散散的的系系数数为为在在相相应应的的扩扩散散项项增增加加扩扩失失，为为了了减减少少扩扩散散效效应应的的损损格格式式是是绝绝对对不不稳稳定定的的，心心对

4、对于于流流方方程程，而而此此时时中中时时，中中心心差差分分格格式式相相容容损损失失，特特别别在在于于是是导导致致了了扩扩散散效效应应的的的的固固定定常常数数，是是一一不不为为然然而而在在数数值值计计算算的的时时候候222020aa 72112111222huuuahuuauunjnjnjnjnjnjnj）（2121h22 ）（中中心心差差分分格格式式，显显然然有有稳稳定定性性分分析析完完全全类类似似于于ha 84.3: 迎风差分格式式式：稳稳定定的的，故故考考虑虑迎迎风风格格式式格格式式转转化化为为绝绝对对不不化化为为对对流流方方程程，中中心心显显方方程程（极极限限情情况况）时时，微微分分不不

5、合合适适，当当得得只只能能取取得得很很小小，格格式式显显很很小小时时，不不变变，稳稳定定性性条条件件中中，当当在在中中心心显显式式差差分分格格式式的的0 G)0( 221111ahuuuhuuauunjnjnjnjnjnjnj)0( , )21()(111auururunjnjnjnj 即即：9hirhrG sin)cos1)(2(1 其其增增长长因因子子 )cos1)()2(2)2( 2)cos1 (1 )cos1)(2(1 (sin2222222hrrrrhhrhrG 0)cos1)()2(2)2(2, 1222 hrrrrG 要要求求：相相当当于于充充要要条条件件是是类类似似的的迎迎风风

6、格格式式稳稳定定的的 0)2(22)2(202)2(2,2 , 0cos1 2222 ）（和和条条件件化化为为：由由于于 rrrrrrh100)2(10)2(1)(2(2 )2(22)2(2 222 rrrrrrr而而自然成立。自然成立。），（，（，此时有，此时有即即22112 rrrr ahh 22条条件件是是所所以以迎迎风风格格式式的的稳稳定定性性haha 202条条件件是是时时，情情况况类类似似，稳稳定定性性当当11也可以利用中心显格式来讨论稳定性,于是将上面格式改为:2111112)2(2huuuhahhuuauunjnjnjnjnjnjnj是，则变为中心格式，于取2ahvv)2( ,

7、21)1 ( ,222hvva通过简单的推导,可以发现第一个稳定条件可以由第2个条件推出,于是迎风格式的稳定条件就是(2).124.4:Samarskii格式haxuRxuatu21R 1122其中Samarskii格式是具有迎风效应的关于空间的二阶格式,为了简单方便,设a0,先对方程作扰动,得到另外一对流扩散方程对上面的方程构造迎风格式1321111211huuuRhuuauunjnjnjnjnjnjnj称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.2111211121112huuuRhuuahuuuuunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj）（14由Taylor公式可以得到)()

8、(1)()()()(2222222hOxuRRxuahOxutunjnjnjnjnjnj）（于是截断误差有2hO212122hahah此格式的稳定性条件：分析，可以得到类似迎风格式的稳定性154.5:指数型差分格式。，其中为其解析解考虑定常对流扩散方程axadeuxuxuadx2122,hjadeuhjadeuhjjhjj) 1() 1(2)1(112)1(11对空间进行剖分，有16）（）（，并且代入解析解得：，可以求解1111121hhhjhjjeaehdeueuu2111121122huuueeahhuuadjjjhhjj改写为上式通过恒等变形可以21111121122huuueeahhu

9、uauudnjnjnjhhnjnjnjnj差分格式，得到对流扩散方程的用时间差商代替）（）（取2coth2coth112222ahheeeeeehhhhhh17）（其中2coth222211111ahahhuuuhuuauunjnjnjnjnjnjnj）。（截断误差为2hO212h出稳定性条件：与中心显格式比较可得考虑迎风格式、指数格式、samarskii格式的关系，首先改写指数格式如下：21111212huuueahhuuauunjnjnjhnjnjnjnj18特殊形式。种格式全是指数格式的格式，于是这，则可以得到）（如果，可以得到迎风格式。充分小，取22112Samarskiihheheh

10、hh194.6: 隐式格式格格式式。定定性性的的要要求求，考考虑虑隐隐式式为为了了提提高高精精度度，降降低低稳稳型格式：nicolsonCrank )22(2 )22(22111112111111111huuuhuuuhuuhuuauunjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnj格式可改写成：令,2hhar20)2(2)2(2 )2(2)2(211111111111111njnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjnjuuuuuruuuuuuru 且且处处展展开开，知知将将各各项项在在),(2221hOEnj hrihhrihhrihhrihGsin2)2sin21 (sin2)2sin21 ( sin2)cos1 (sin2)cos1 (22211sin4)2sin21 (sin4)2sin21 (222222222hrhhrhG格格式式是是无无条条件件稳稳定定的的。224.7:特征差分方法散散