2021届高考数学一轮复习第六章数列第二节等差数列及其前n项和学案理含解析

1、第二节第二节等差数列及其前等差数列及其前n n项和项和最新考纲考情分析核心素养1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.等差数列的判断与证明， 等差数列的基本运算， 等差数列的性质及应用仍是 2021 年高考考查的热点， 三种题型都有可能出现，分值为 512 分.1.数学运算2.逻辑推理知识梳理1等差数列的有关概念(1)定义如果一个数列从1第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于2同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为3an1and(nn

2、*，d 为常数)(2)等差中项数列 a，a，b 成等差数列的充要条件是4aab2，其中 a 叫做 a，b 的5等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：an6a1(n1)d(2)前 n 项和公式：sn7na1n（n1）2d8（a1an）n23等差数列的性质已知数列an是等差数列，sn是其前 n 项和(1)通项公式的推广：anam9(nm)d(n，mn*)(2)若 klmn(k，l，m，nn*)，则10akalaman(3)若an的公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为112d(4)若bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)数列 sm，s2msm，s3ms2m，构成等差数列常用结论1

3、等差数列的函数性质(1)通项公式：当公差 d0 时，等差数列的通项公式 ana1(n1)ddna1d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差 d.若公差 d0，则为递增数列；若公差 d0 时，数列an为递增数列；当 d0，a4a70，则an的前项和 sn的最大值为_解析：a4a7a5a60，a50，a60，求使得 snan的 n 的取值范围解：(1)设等差数列an的公差为 d.由 s9a5，得 a14d0.由 a34，得 a12d4.联立得，a18，d2.因此an的通项公式为 an102n.(2)由(1)得 a14d，故 an(n5)d，snn（n9）d2.由 a10 知 d0；当 n6 时

4、，an0，且 a60，s55211530，所以当 n5 或 6 时，sn有最小值30.名师点津求等差数列前 n 项和 sn最值的 2 种方法(1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 snan2bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解(2)邻项变号法当 a10，d0 时，满足am0，am10的项数 m 使得 sn取得最大值为 sm；当 a10 时，满足am0，am10的项数 m 使得 sn取得最小值为 sm.|跟踪训练|(2019 年北京卷)设等差数列an的前 n 项和为 sn.若 a23， s510， 则 a5_，sn的最小值为_解析：设等差数列an的公差为 d，a23，s5

5、10，即a1d3，5a110d10，a14，d1，a5a14d0.snna1n（n1）2d12(n29n)，当 n4 或 n5 时，sn取得最小值，最小值为10.答案：010考点数学文化中等差数列的创新应用问题【例】(2019 届合肥市高三二检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传题意是：把 996 斤绵分给 8 个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分 17 斤绵，那么第 8 个儿子分到的绵是()a174 斤b184 斤c191 斤d201 斤解析设大儿子分到的绵

6、是 x 斤，依题意知这 8 个儿子分到的绵构成以 x 为首项，17 为公差的等差数列，记其前 n 项和为 sn，则有 s88x87217996，即 8x476996，解得x65，故第 8 个儿子分到的绵为 a86571765119184(斤)，故选 b答案b名师点津以学习过的数学知识为基础，把现实生活中的实际问题通过“建模”转化为数学问题数列问题，进而通过数学运算来解释实际问题，并检验是否符合实际|跟踪训练|九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种