2021届高考数学二轮考前复习第一篇解透必考小题稳拿分必须突破的17个热点专题专题17球与几何体的切接问题学案文含解析20210123192.doc

2021届高考数学二轮考前复习学案文含解析打包40套

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2021届高考数学二轮考前复习学案文含解析打包40套,文本
内容简介:
专题17球与几何体的切接问题1.有关球的问题的计算依据(1)两条性质截面是圆;球心与截面圆心的连线与截面垂直;(2)两个相等外接球球心到多面体的顶点的距离相等;内切球球心到其内切多面体各面的距离相等.2.简单多面体外接球的球心的结论(1)正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点.(2)正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线中点.(3)直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.3.多面体与球相切的计算关系式(1)正四面体与球设正四面体的棱长为a内切球的半径:r=a;外接球的半径:r=a.(2)正方体与球正方体的棱长为a正方体的内切球:r=;正方体的外接球的半径:r=a;正方体棱切球:r=a.一点一面解切、接通法(1)“切”的处理找准切点,作出截面;通过球心的截面,建立球的直径与其外切几何体的几何度量关系.(2)“接”的处理找出截面圆的圆心,作出截面;根据球的截面的性质构建方程,即r2=d2+r2(截面圆半径r,球心到截面的距离d).1.想不出球内接棱锥体积最大时的情况为高过球心时【案例】t3当点c位于垂直于面aob的直径端点时,三棱锥o-abc的体积最大.2.不能将条件转化为球的半径r,截面圆半径r,球心距d之间的关系【案例】t1正四棱锥的高为球的半径r加球心距d,然后根据勾股定理即可求出球的半径r.考向一球的内接问题【典例】(2020全国卷)已知a,b,c为球o的球面上的三个点,o1为abc的外接圆,若o1的面积为4,ab=bc=ac=oo1,则球o的表面积为()a.64b.48c.36d.32考向二球的外切问题【典例】(2020全国卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_.1.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()a.b.16c.9d.2.在三棱锥p-abc中,已知bc=,ac=2,acb=30.点o为三棱锥p-abc外接球的球心,oc与平面abc所成角的正切值为,则三棱锥p-abc外接球的表面积为()a.10b.c.5d.163.已知a,b是球o的球面上两点,aob=90,c为该球面上的动点.若三棱锥o-abc体积的最大值为36,则球o的表面积为()a.36b.64c.144d.2564.如图,在长方体abcd-a1b1c1d1中,ab=8,ad=6,异面直线bd与ac1所成角的余弦值为,则该长方体外接球的表面积为()a.98b.196c.784d.5.如图,实心铁制几何体aefcbd由一个直三棱柱与一个三棱锥构成,已知bc=ef= cm,ae=2 cm,be=cf=4 cm,ad=7 cm,且aeef,ad底面aef.某工厂要将其铸成一个实心铁球,假设在铸球过程中原材料将损耗20%,则铸得的铁球的半径为()a. cmb. cmc. cmd. cm6.已知abc中,ab=bc=4,abc=90,平面abc外一点p满足pa=pb=pc=2,则三棱锥p-abc的外接球的表面积是()a.32b.36c.25d.167.阿基米德(公元前287年公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家,他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说,他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论,要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,表面积为54的圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则该球的体积为()a.4b.16c.36d.8.已知一块形状为正三棱柱abc-a1b1c1(底面是正三角形,侧棱与底面垂直的三棱柱)的实心木材,ab=aa1=2.若将该木材经过切割加工成一个球体,则此球体积的最大值为()a.4b.c.d.9.已知正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则该正四棱锥外接球的表面积为()a.16b.24c.36d.6410.已知正四面体a-bcd的内切球的表面积为36,过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体a-bcd,则所得截面的面积为()a.27b.27c.54d.54专题17球与几何体的切接问题/真题再研析提升审题力/考向一a设圆o1的半径为r,球的半径为r,依题意,得r2=4,所以r=2,由正弦定理可得ab=2rsin 60=2,所以oo1=ab=2,根据球截面性质得oo1平面abc,所以oo1o1a,r=oa=4,所以球o的表面积s=4r2=64.考向二【解析】方法一:易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示,其中bc=2,ab=ac=3,且点m为bc边上的中点,设内切圆的圆心为o,由于am=2,故sabc=22=2,设内切圆半径为r,则sabc=saob+sboc+saoc=abr+bcr+acr=r=2,解得r=,其体积:v=r3=.方法二:分析知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球,如图,由题可知圆锥的母线长为bs=3,底面半径为 bc=1,高sc=2,不妨设该内切圆与母线bs切于d点,令od=oc=r,则由sodsbc,可得=,即=,得r=,此时v=r3=.答案:/高考演兵场检验考试力/1.a正四棱锥p-abcd的外接球的球心在它的高po1上,记为o,po=ao=r,po1=4,oo1=4-r,在rtaoo1中,ao1=,由勾股定理r2=2+得r=,所以球的表面积s=.2.a在abc中,由余弦定理得:ab2=ac2+bc2-2acbccosacb=+-22=2,所以ab=.故abbc,则abc外接圆的圆心o1为ac的中点,连接oo1,如图,则oo1平面abc,则oc与平面abc所成的角为oco1.由tanoco1=,得oo1=,则球o的半径r=,则三棱锥p-abc外接球的表面积s=4r2=10.3.c如图所示,当点c位于垂直于平面aob的直径端点时,三棱锥o-abc的体积最大,设球o的半径为r,此时vo-abc=vc-aob=r2r=r3=36,故r=6,则球o的表面积为s=4r2=144.4.b连接ac,与bd交于o点,则o为ac中点,取cc1中点e,连接be,oe,则ac1oe,所以eob为异面直线bd与ac1所成角,设ce=x,则be=,又ab=8,ad=6,则ob=oc=5,oe=,在obe中,由余弦定理得be2=36+x2=ob2+oe2-2oboecoseob,36+x2=25+25+x2-2,解得x=2,cc1=2x=4,所以长方体的体对角线长为=14.所以长方体的外接球的半径为7,所以长方体外接球的表面积为196.5.a设铸得的铁球的半径为r cm.依题意,可得该几何体的体积为24+2=5,则5=r3,解得r=.6.b因为pa=pb=pc=2,所以三棱锥顶点p在底面投影为abc的外心,则acp的外接圆半径等于三棱锥p-abc外接球半径,因为abc是等腰直角三角形,斜边ac=4,如图在acp中,pa=pc=2,ac=4,则pd=4,设acp外接圆的半径为r,则r2=+,解得r=3.则三棱锥p-abc外接球的半径r=3,故三棱锥p-abc外接球的表面积s=4r2=36.7.c设球的半径为r,根据题意圆柱的表面积为s=2r2+2r2r=54,解得r=3,所以该球的体积为v=r3=33=36.8.c由题意,最大球应该是和正三棱柱三个侧面都相切的球,即球的大圆和正三棱柱的横截面相切,横截面是边长为2的正三角形,所以内切圆半径为r=3=1,所以球体积的最大值为.9.c如图所示,在正四棱锥p-abcd中,设底面正方形abcd的中心为点e,可知该正四棱锥的外接球球心在直线pe上,由于正方形abcd的边长为4,所以ae=ac=4=2,易知pe平面abcd,且ac平面abcd,所以peac,且pe=4,设正四棱锥p-abcd的外接球半径为r,且oe=,由勾股定理得oe2+ae2=oa2,即+8=r2,解得r=3,因此,该正四棱锥的外接球的表面积为4r2=432=36.10.c由内切球的表面积s表=4r2=36,得内切球半径r=3,如图,过点a作ah平面bcd,则点h为
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