2022届高考数学统考一轮复习第3章导数及其应用命题探秘1第2课时利用导数研究不等式恒能成立问题教师用书教案理新人教版202103081216.doc
2022届高考数学统考一轮复习第3章导数及其应用教案打包7套理新人教版
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第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题技法阐释用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题.1.分离参数法一般地，若af (x)对xd恒成立，则只需af (x)max；若af (x)对xd恒成立，则只需af (x)min.若存在x0d，使af (x0)成立，则只需af (x)min；若存在x0d，使af (x0)成立，则只需af (x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.2.构造函数分类讨论法有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.高考示例(2020全国卷)已知函数f (x)exax2x.(1)当a1时，讨论f (x)的单调性；(2)当x0时，f (x)x31，求a的取值范围. 技法一分离参数法解决不等式恒成立问题典例1(2020石家庄模拟)已知函数f (x)axex(a1)(2x1)(1)若a1，求函数f (x)的图象在点(0，f (0)处的切线方程；(2)当x0时，函数f (x)0恒成立，求实数a的取值范围思维流程解(1)若a1，则f (x)xex2(2x1)即f (x)xexex4，则f (0)3，f (0)2，所以所求切线方程为3xy20.(2)由f (1)0，得a0，则f (x)0对任意的x0恒成立可转化为对任意的x0恒成立设函数f(x)(x0)，则f(x).当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)maxf(1).于是，解得a.故实数a的取值范围是.点评：利用分离参数法来确定不等式f (x，)0(xd，为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f 1()f 2(x)或f 1()f 2(x)的形式(2)求f 2(x)在xd时的最大值或最小值(3)解不等式f 1()f 2(x)max或f 1()f 2(x)min，得到的取值范围已知函数f (x).(1)若函数f (x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)当x1时，不等式f (x)恒成立，求实数k的取值范围解(1)函数f (x)的定义域为(0，)，f (x)，令f (x)0，得x1.当x(0,1)时，f (x)0，f (x)单调递增；当x(1，)时，f (x)0，f (x)单调递减所以x1为函数f (x)的极大值点，且是唯一的极值点，所以0a1a，故a1，即实数a的取值范围为.(2)由题意得，当x1时，k恒成立，令g(x)(x1)，则g(x).再令h(x)xln x(x1)，则h(x)10，所以h(x)h(1)1，所以g(x)0，所以g(x)在1，)上单调递增，所以g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，2 技法二构造函数分类讨论法解决不等式恒成立问题典例2(2020合肥六校联考)已知函数f (x)(xa1)ex，g(x)x2ax，其中a为常数(1)当a2时，求函数f (x)在点(0，f (0)处的切线方程；(2)若对任意的x0，)，不等式f (x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围思维流程解(1)因为a2，所以f (x)(x1)ex，所以f (0)1，f (x)(x2)ex，所以f (0)2，所以所求切线方程为2xy10.(2)令h(x)f (x)g(x)，由题意得h(x)min0在x0，)上恒成立，因为h(x)(xa1)exx2ax，所以h(x)(xa)(ex1)若a0，则当x0，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，)上单调递增，所以h(x)minh(0)a1，则a10，得a1.若a0，则当x0，a)时，h(x)0；当x(a，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以h(x)minh(a)，又因为h(a)h(0)a10，所以不合题意综上，实数a的取值范围为1，)点评：对于f (x)g(x)型的不等式恒成立问题，若无法分离参数，一般采用作差法构造函数h(x)f (x)g(x)或h(x)g(x)f (x)，进而只需满足h(x)min0或h(x)max0即可设函数f (x)(1x2)ex.(1)讨论f (x)的单调性；(2)当x0时，f (x)ax1，求实数a的取值范围解(1)f (x)(12xx2)ex，令f (x)0，得x1，当x(，1)时，f (x)0；当x(1，1)时，f (x)0；当x(1，)时，f (x)0.所以f (x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1，1)上单调递增(2)令g(x)f (x)ax1(1x2)ex(ax1)，令x0，可得g(0)0.g(x)(1x22x)exa，令h(x)(1x22x)exa，则h(x)(x24x1)ex，当x0时，h(x)0，h(x)在0，)上单调递减，故h(x)h(0)1a，即g(x)1a，要使f (x)ax10在x0时恒成立，需要1a0，即a1，此时g(x)g(0)0，故a1.综上所述，实数a的取值范围是1，) 技法三分离参数或构造函数解决不等式能成立问题典例3已知函数f (x)xaln x，g(x)(ar)，若在1，e上存在一点x0，使得f (x0)g(x0)成立，求a的取值范围思维流程解依题意，只需f (x0)g(x0)min0，x01，e即可令h(x)f (x)g(x)xaln x，x1，e，则h(x)1.令h(x)0，得xa1.若a11，即a0时，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)minh(1)a20，得a2；若1a1e，即0ae1时，h(x)在1，a1)上单调递减，在(a1，e上单调递增，故h(x)minh(a1)(a1)aln(a1)1a1ln(a1)22，x(0，e1)与h(x)0不符，故舍去若a1e，即ae1时，h(x)在1，e上单调递减，则h(x)minh(e)ea0，得ae1成立综上所述，a的取值范围为(，2).点评：能成立问题一般是通过分离参数或移项作差构造函数来解决，能成立问题中等价转化有以下几种形式：(1)存在xa，b，f (x)a成立f (x)maxa.(2)存在xa，b，f (x)a成立f (x)mina.(3)存在x1a，b，对任意x2a，b，f (x1)g(x2)成立f (x)ming(x)min.已知函数f (x)3ln xx2x，g(x)3xa.(1)若f (x)与g(x)的图象相切，求a的值；(2)若x00，使f (x0)g(x0)成立，求参数a的取值范围解(1)由题意得，f (x)x1，g(x)3，设切点为(x0，f (x0)，则kf (x0)x013，解得x01或x03(舍)，所以切点为，代入g(x)3xa，得a.(2)设h(x)3ln xx
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