2022届高考数学统考一轮复习第3章导数及其应用第4节定积分与微积分基本定理教师用书教案理新人教版202103081214.doc
2022届高考数学统考一轮复习第3章导数及其应用教案打包7套理新人教版
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2022届高考数学统考一轮复习第3章导数及其应用教案打包7套理新人教版,2022,高考,数学,统考,一轮,复习,导数,及其,应用,教案,打包,新人
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命题探秘一高考中的导数应用问题第1课时利用导数证明不等式技法阐释导数是研究函数的工具，利用导数我们可以方便地求出函数的单调性、极值、最值等，在证明与函数有关的不等式时，我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题，也常构造函数，把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题，利用导数证明不等式常见的方法有：(1)直接转化为函数的最值问题：把证明f (x)g(a)转化为f (x)maxg(a).(2)移项作差构造函数法：把不等式f (x)g(x)转化为f (x)g(x)0，进而构造函数h(x)f (x)g(x).(3)构造双函数法：若直接构造函数求导，难以判断符号，导函数零点不易求得，即函数单调性与极值点都不易获得，可转化不等式为f (x)g(x)利用其最值求解.(4)换元法，构造函数证明双变量函数不等式：对于f (x1，x2)a的不等式，可将函数式变为与或x1x2有关的式子，然后令t或tx1x2，构造函数g(t)求解.(5)适当放缩构造函数法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln xx1，exx1，ln xxex(x0)，ln(x1)x(x1).(6)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数等把不等式左、右两边转化为结构相同的式子，然后根据“相同结构”，构造函数.(7)赋值放缩法：函数中对与正整数有关的不等式，可对已知的函数不等式进行赋值放缩，然后通过多次求和达到证明的目的.高考示例思维过程(2018全国卷)已知函数f (x)xaln x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)存在两个极值点x1，x2，证明：a2.(1)略。(2)证明：由(1)知，当且仅当a2时，f (x)存在两个极值点由于f (x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x1x2，则x21. 技法一直接将不等式转化为函数的最值问题典例1已知函数f (x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)当a0时，证明：f (x)2.思维流程解(1)f (x)的定义域为(0，)，f (x)2ax2a1.若a0，则当x(0，)时，f (x)0，故f (x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f (x)0；当x时，f (x)0.故f (x)在上单调递增，在上单调递减(2)证明：由(1)知，当a0时，f (x)在x处取得最大值，最大值为f ln1.所以f (x)2等价于ln12，即ln10.设g(x)ln xx1，则g(x)1.当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减故当x1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)0.所以当x0时，g(x)0.从而当a0时，ln10，即f (x)2.点评：(1)若证f (x)g(a)或f (x)g(a)，只需证f (x)ming(a)或f (x)maxg(a)(2)若证f (a)m或f (a)m(a，m是常数)，只需证f (x)minm或f (x)maxm.已知函数f (x)aexbln x，曲线yf (x)在点(1，f (1)处的切线方程为yx1.(1)求a，b；(2)证明：f (x)0.解(1)函数f (x)的定义域为(0，)f (x)aex，由题意得f (1)，f (1)1，所以解得(2)证明：由(1)知f (x)exln x.因为f (x)ex2在(0，)上单调递增，又f (1)0，f (2)0，所以f (x)0在(0，)上有唯一实根x0，且x0(1,2)当x(0，x0)时，f (x)0，当x(x0，)时，f (x)0，从而当xx0时，f (x)取极小值，也是最小值由f (x0)0，得e，则x02ln x0.故f (x)f (x0)eln x0x02220，所以f (x)0. 技法二移项作差构造函数证明不等式典例2已知函数f (x)ex3x3a(e为自然对数的底数，ar)(1)求f (x)的单调区间与极值；(2)求证：当aln ，且x0时，x3a.思维流程解(1)由f (x)ex3x3a，xr，知f (x)ex3，xr.令f (x)0，得xln 3，于是当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x(，ln 3)ln 3(ln 3，)f (x)0f (x)极小值故f (x)的单调递减区间是(，ln 3，单调递增区间是ln 3，)，f (x)在xln 3处取得极小值，极小值为f (ln 3)eln 33ln 33a3(1ln 3a)无极大值(2)证明：待证不等式等价于exx23ax1，设g(x)exx23ax1，x0，于是g(x)ex3x3a，x0.由(1)及aln ln 31知：g(x)的最小值为g(ln 3)3(1ln 3a)0.于是对任意x0，都有g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增于是当aln ln 31时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)0.即exx23ax1，故x3a.点评：若证明f (x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数h(x)f (x)g(x)如果能证明h(x)min0，x(a，b)，即可证明f (x)g(x)，x(a，b)使用此法证明不等式的前提是h(x)f (x)g(x)易于用导数求最值(2020唐山模拟)设f (x)2xln x1.(1)求f (x)的最小值；(2)证明：f (x)x2x2ln x.解(1)f (x)2(ln x1)所以当x时，f (x)0，f (x)单调递减；当x时，f (x)0，f (x)单调递增所以当x时，f (x)取得最小值f 1.(2)证明：x2x2ln xf (x)x(x1)2(x1)ln x(x1)，令g(x)x2ln x，则g(x)10，所以g(x)在(0，)上单调递增，又g(1)0，所以当0x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，所以(x1)0，即f (x)x2x2ln x. 技法三构造双函数证明不等式典例3已知f (x)xln x.(1)求函数f (x)在t，t2(t0)上的最小值；(2)证明：对一切x(0，)，都有ln x成立思维流程解(1)由f (x)xln x，x0，得f (x)ln x1，令f (x)0，得x.当x时，f (x)0，f (x)单调递减；当x时，f (x)0，f (x)单调递增当0tt2，即0t时，f (x)minf ；当tt2，即t时，f (x)在t，t2上单调递增，f (x)minf (t)tln t.所以f (x)min(2)证明：问题等价于证明xln x(x(0，)由(1)可知f (x)xln x(x(0，)的最小值是，当且仅当x时取到设m(x)(x(0，)，则m(x)，由m(x)0得x1时，m(x)为减函数，由m(x)0得0x1时，m(x)为增函数，易知m(x)maxm(1)，当且仅当x1时取到从而对一切x(0，)，xln x，两个等号不同时取到，即证对一切x(0，)都有ln x成立点评：(1)若证f (x)g(x)，只需证f (x)maxg(x)min；(2)若证f (x)g(x)，只需证f (x)ming(x)max.已知函数f (x)ex2xln x.证明：当x0时，f (x)xex.证明要证f (x)xex，只需证exln xex，即exexln x.令h(x)ln x(x0)，则h(x)，易知h(x)在上单调递减，在上单调递增，则h(x)minh0，所以ln x0.令(x)exex，则(x)eex，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则(x)max(1)0，所以exex0.因为h(x)与(x)不同时为0，所以exexln x，故原不等式成立 技法四换元法，构造函数证明双变量函数不等式典例4已知函数f (x)ln xax(x0)，a为常数，若函数f (x)有两个零点x1，x2(x1x2)求证：x1x2e2.思维流程证明不妨设x1x20，因为ln x1ax10，ln x2ax20，所以ln x1ln x2a(x1x2)，ln x1ln x2a(x1x2)，所以a，欲证x1x2e2，即证ln x1ln x22.因为ln x1ln x2a(x1x2)，所以即证a，所以原问题等价于证明，即ln ，令c(c1)，则不等式变为ln c.令h(c)ln c，c1，所以h(c)0，所以h(c)在(1，)上单调递增，所以h(c)h(1)ln 100，即ln c0(c1)，因此原不等式x1x2e2得证点评：对于双变量函数不等式f (x1，x2)a，通过变量代换，把双变量变为一个主元，再构造函数证明不等式已知函数f (x)ln xax2x，ar.(1)当a0时，求函数f (x)的图象在(1，f (1)处的切线方程；(2)若a2，正实数x1，x2满足f (x1)f (x2)x1x20，求证：x1x2.解(1)当a0时，f (x)ln xx，则f (1)1，所以切点为(1,1)，又因为f (x)1，所以切线斜率kf (1)2，故切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)证明：当a2时，f (x)ln xx2x(x0)由f (x1)f (x2)x1x20，得ln x1xx1ln x2xx2x1x20，从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2)，令tx1x2(t0)，令(t)tln t，得(t)1，易知(t)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，)上单调递增，所以(t)(1)1，所以(x1x2)2(x1x2)1，因为x10，x20，所以x1x2成立 技法五适当放缩构造函数证明不等式典例5已知函数f (x)ln x.(1)若a1，求f (x)的单调区间；(2)若a0，x(0,1)，证明：x2.思维流程解(1)当a1时，f (x)ln x，x(0，)，f (x).当x(0,1)时，f (x)0，当x(1，)时，f (x)0，f (x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)证明：当a0，x(0,1)时，x2等价于x20，当x(0,1)时，ex(1，e)，ln x0，ln x，只需要证ln xx20在(0,1)上恒成立令g(x)ln xx2，x(0,1)，g(x)2x0，则函数g(x)在(0,1)上单调递增，于是g(x)ln 1110，当x(0,1)时，x2.点评：通过适当放缩可将较复杂的函数变为简单的函数，当参数范围已知时，通过放缩，可将参数消去，达到简化目的已知函数f (x).证明：当a1时，f (x)e0.证明当a1时，f (x)eee(x2x1ex1)ex.令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1，且g(1)0.当x1时，g(x)0，当x1时，g(x)0，因此当x1时，g(x)有最小值，g(x)ming(1)0，g(x)0，当且仅当x1时等号成立又ex0，f (x)e0. 技法六构造“形似”函数证明不等式典例6已知函数f (x)(a1)ln xax21.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若a2，证明：对任意x1，x2(0，)，|f (x1)f (x2)|4|x1x2|.思维流程解(1)f (x)的定义域为(0，)，f (x)2ax.当a0时，f (x)0，故f (x)在(0，)上单调递增当a1时，f (x)0，故f (x)在(0，)上单调递减当1a0时，令f (x)0，解得x，因为f (x)在(0，)上单调递减，所以当x时，f (x)0，f (x)在上单调递增；当x时，f (x)0，f (x)在上单调递减(2)证明：不妨假设x1x2，由于a2，故f (x)在(0，)上单调递减所以|f (x1)f (x2)|4|x1x2|等价于f (x2)f (x1)4x14x2，即f (x2)4x2f (x1)4x1.令g(x)f (x)4x，则g(x)2ax4，于是g(x)0.从而g(x)在(0，)上单调递减，故g(x1)g(x2)，即f (x2)4x2f (x1)4x1，故当a2时，对任意x1，x2(0，)，|f (x1)f (x2)|4|x1x2|.点评：对双变量函数不等式，可根据条件构造“形似”函数，再判断此函数的单调性，最后根据函数的单调性证明不等式已知函数f (x)(ln xk1)x(kr)(1)若曲线yf (x)在(1，f (1)处的切线与直线x2y0平行，求k的值；(2)若对于任意x1，x2(0,3，且x1x2，都有f (x1)f (x2)恒成立，求实数k的取值范围解(1)由题意得f (x)ln xk，又曲线yf (x)在(1，f (1)处的切线与直线x2y0平行，所以f (1)ln 1k，解得k.(2)因为f (x1)f (x2)，所以f (x1)f (x2)，记h(x)f (x)，又因为x1，x2(0,3，且x1x2, 所以h(x)f (x)在(0,3上单调递增所以h(x)ln xk0在(0,3上恒成立，即kln x在(0,3上恒成立，记u(x)ln x，所以u(x)，令u(x)0，解得x2.当0x2时，u(x)0，u(x)单调递减，当2x0，u(x)单调递增，所以当x2时，u(x)取得最小值u(2)ln 2，所以kln 2.所以实数k的取值范围是. 技法七赋值放缩法证明正整数不等式典例7若函数f (x)exax1(a0)在x0处取极值(1)求a的值，并判断该极值是函数的最大值还是最小值；(2)证明：1ln(n1)(nn*)思维流程解(1)因为x0是函数极值点，所以f (0)0，所以a1.f (x)exx1，易知f (x)ex1.当x(0，)时，f (x)0，当x(，0)时，f (x)0，故极值f (0)是函数的最小值(2)证明：由(1)知exx1.即ln(x1)x，当且仅当x0时，等号成立，令x(kn*)，则ln，即ln ，所以ln(1k)ln k(k1,2，n)，累加得1ln(n1)(nn*)点评：函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用正整数n替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的已知函数f (x)ax2xln xb，g(x)f (x)(1)判断函数yg(x)的单调性；(2)若x(0，e(e2.718)，判断是否存在实数a，使函数g(x)的最小值为2？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；(3)证明：3nln.解(1)g(x)ax1ln x，x0，g(x)a，当a0时，g(x)0时，在x，g(x)0，g(x)在上单调递减，在上单调递增(2)当a0时，函数g(x)在 (0，e上单调递减，g(x)minae22，故不存在最小值为2；当 0时，即0(3ln x)，取x，则，则31ln ，3nlnnlnnln .第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题技法阐释用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数，或构造新函数分类讨论，将不等式问题转化为函数的最值问题.1.分离参数法一般地，若af (x)对xd恒成立，则只需af (x)max；若af (x)对xd恒成立，则只需af (x)min.若存在x0d，使af (x0)成立，则只需af (x)min；若存在x0d，使af (x0)成立，则只需af (x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围.2.构造函数分类讨论法有两种常见情况，一种先利用综合法，结合导函数零点之间大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数.高考示例(2020全国卷)已知函数f (x)exax2x.(1)当a1时，讨论f (x)的单调性；(2)当x0时，f (x)x31，求a的取值范围. 技法一分离参数法解决不等式恒成立问题典例1(2020石家庄模拟)已知函数f (x)axex(a1)(2x1)(1)若a1，求函数f (x)的图象在点(0，f (0)处的切线方程；(2)当x0时，函数f (x)0恒成立，求实数a的取值范围思维流程解(1)若a1，则f (x)xex2(2x1)即f (x)xexex4，则f (0)3，f (0)2，所以所求切线方程为3xy20.(2)由f (1)0，得a0，则f (x)0对任意的x0恒成立可转化为对任意的x0恒成立设函数f(x)(x0)，则f(x).当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以f(x)maxf(1).于是，解得a.故实数a的取值范围是.点评：利用分离参数法来确定不等式f (x，)0(xd，为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤：(1)将参数与变量分离，化为f 1()f 2(x)或f 1()f 2(x)的形式(2)求f 2(x)在xd时的最大值或最小值(3)解不等式f 1()f 2(x)max或f 1()f 2(x)min，得到的取值范围已知函数f (x).(1)若函数f (x)在区间上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)当x1时，不等式f (x)恒成立，求实数k的取值范围解(1)函数f (x)的定义域为(0，)，f (x)，令f (x)0，得x1.当x(0,1)时，f (x)0，f (x)单调递增；当x(1，)时，f (x)0，f (x)单调递减所以x1为函数f (x)的极大值点，且是唯一的极值点，所以0a1a，故a1，即实数a的取值范围为.(2)由题意得，当x1时，k恒成立，令g(x)(x1)，则g(x).再令h(x)xln x(x1)，则h(x)10，所以h(x)h(1)1，所以g(x)0，所以g(x)在1，)上单调递增，所以g(x)g(1)2，故k2，即实数k的取值范围是(，2 技法二构造函数分类讨论法解决不等式恒成立问题典例2(2020合肥六校联考)已知函数f (x)(xa1)ex，g(x)x2ax，其中a为常数(1)当a2时，求函数f (x)在点(0，f (0)处的切线方程；(2)若对任意的x0，)，不等式f (x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围思维流程解(1)因为a2，所以f (x)(x1)ex，所以f (0)1，f (x)(x2)ex，所以f (0)2，所以所求切线方程为2xy10.(2)令h(x)f (x)g(x)，由题意得h(x)min0在x0，)上恒成立，因为h(x)(xa1)exx2ax，所以h(x)(xa)(ex1)若a0，则当x0，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，)上单调递增，所以h(x)minh(0)a1，则a10，得a1.若a0，则当x0，a)时，h(x)0；当x(a，)时，h(x)0，所以函数h(x)在0，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，所以h(x)minh(a)，又因为h(a)h(0)a10，所以不合题意综上，实数a的取值范围为1，)点评：对于f (x)g(x)型的不等式恒成立问题，若无法分离参数，一般采用作差法构造函数h(x)f (x)g(x)或h(x)g(x)f (x)，进而只需满足h(x)min0或h(x)max0即可设函数f (x)(1x2)ex.(1)讨论f (x)的单调性；(2)当x0时，f (x)ax1，求实数a的取值范围解(1)f (x)(12xx2)ex，令f (x)0，得x1，当x(，1)时，f (x)0；当x(1，1)时，f (x)0；当x(1，)时，f (x)0.所以f (x)在(，1)，(1，)上单调递减，在(1，1)上单调递增(2)令g(x)f (x)ax1(1x2)ex(ax1)，令x0，可得g(0)0.g(x)(1x22x)exa，令h(x)(1x22x)exa，则h(x)(x24x1)ex，当x0时，h(x)0，h(x)在0，)上单调递减，故h(x)h(0)1a，即g(x)1a，要使f (x)ax10在x0时恒成立，需要1a0，即a1，此时g(x)g(0)0，故a1.综上所述，实数a的取值范围是1，) 技法三分离参数或构造函数解决不等式能成立问题典例3已知函数f (x)xaln x，g(x)(ar)，若在1，e上存在一点x0，使得f (x0)g(x0)成立，求a的取值范围思维流程解依题意，只需f (x0)g(x0)min0，x01，e即可令h(x)f (x)g(x)xaln x，x1，e，则h(x)1.令h(x)0，得xa1.若a11，即a0时，h(x)0，h(x)单调递增，h(x)minh(1)a20，得a2；若1a1e，即0ae1时，h(x)在1，a1)上单调递减，在(a1，e上单调递增，故h(x)minh(a1)(a1)aln(a1)1a1ln(a1)22，x(0，e1)与h(x)0不符，故舍去若a1e，即ae1时，h(x)在1，e上单调递减，则h(x)minh(e)ea0，得ae1成立综上所述，a的取值范围为(，2).点评：能成立问题一般是通过分离参数或移项作差构造函数来解决，能成立问题中等价转化有以下几种形式：(1)存在xa，b，f (x)a成立f (x)maxa.(2)存在xa，b，f (x)a成立f (x)mina.(3)存在x1a，b，对任意x2a，b，f (x1)g(x2)成立f (x)ming(x)min.已知函数f (x)3ln xx2x，g(x)3xa.(1)若f (x)与g(x)的图象相切，求a的值；(2)若x00，使f (x0)g(x0)成立，求参数a的取值范围解(1)由题意得，f (x)x1，g(x)3，设切点为(x0，f (x0)，则kf (x0)x013，解得x01或x03(舍)，所以切点为，代入g(x)3xa，得a.(2)设h(x)3ln xx22x.x00，使f (x0)g(x0)成立，等价于x0，使h(x)3ln xx22xa成立，等价于ah(x)max(x0)因为h(x)x2，令得0x1；令得x1.所以函数h(x)3ln xx22x在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以h(x)maxh(1)，即a，因此参数a的取值范围为.第3课时利用导数解决函数的零点问题技法阐释1.利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线yk)在该区间上的交点问题；(2)证明有几个零点时，需要利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)f (b)0.2.证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步，利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步，证明端点的导数值异号.3.已知函数有零点求参数范围常用的方法(1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f (x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不等式，确定参数范围；(2)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围.高考示例思维过程(2020全国卷)设函数f (x)x3bxc，曲线yf (x)在点处的切线与y轴垂直.(1)求b；(2)若f (x)有一个绝对值不大于1的零点，证明：f (x)所有零点的绝对值都不大于1.依题意得f 0，即b0，故b.解(1)f (x)3x2b.(2)证明：由(1)知f (x)x3xc，f (x)3x2.令f (x)0，解得x或x.f (x)与f (x)的情况为： 技法一讨论或证明函数零点的个数典例1(2019全国卷)已知函数f (x)sin xln(1x)，f (x)为f (x)的导数证明：(1)f (x)在区间存在唯一极大值点；(2)f (x)有且仅有2个零点思维流程证明(1)设g(x)f (x)，则g(x)cos x，g(x)sin x.当x时，g(x)单调递减，而g(0)0，g0，可得g(x)在有唯一零点，设为.则当x(1，)时，g(x)0；当x时，g(x)0.所以g(x)在(1，)单调递增，在单调递减，故g(x)在存在唯一极大值点，即f (x)在存在唯一极大值点(2)f (x)的定义域为(1，)()当x(1,0时，由(1)知，f (x)在(1,0)单调递增，而f (0)0，所以当x(1,0)时，f (x)0，故f (x)在(1,0)单调递减又f (0)0，从而x0是f (x)在(1,0的唯一零点()当x时，由(1)知，f (x)在(0，)单调递增，在单调递减，而f (0)0，f 0，所以存在，使得f ()0，且当x(0，)时，f (x)0；当x时，f (x)0.故f (x)在(0，)单调递增，在单调递减又f (0)0，f 1ln0，所以当x时，f (x)0.从而，f (x)在没有零点()当x时，f (x)0，所以f (x)在单调递减而f 0，f ()0，所以f (x)在有唯一零点()当x(，)时，ln(x1)1，所以f (x)0，从而f (x)在(，)没有零点综上，f (x)有且仅有2个零点点评：根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数形结合”，即通过研究函数的性质(单调性、极值、函数值的极限位置等)，作出函数的大致图象，然后通过函数图象得出其与x轴交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先数后形”设函数f (x)ln x，mr.(1)当me(e为自然对数的底数)时，求f (x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f (x)零点的个数解(1)由题意知，当me时，f (x)ln x(x0)，则f (x)，当x(0，e)时，f (x)0，f (x)在(0，e)上单调递减；当x(e，)时，f (x)0，f (x)在(e，)上单调递增，当xe时，f (x)取得极小值f (e)ln e2，f (x)的极小值为2.(2)由题意知g(x)f (x)(x0)，令g(x)0，得mx3x(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点，(x)的最大值为(1)，又(0)0.结合y(x)的图象(如图)，可知，当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点 技法二已知函数零点个数求参数的取值范围典例2(2020全国卷)已知函数f (x)exa(x2)(1)当a1时，讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围思维流程解(1)当a1时，f (x)exx2，则f (x)ex1.当x0时，f (x)0时，f (x)0.所以f (x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增(2)f (x)exa.当a0时，f (x)0，所以f (x)在(，)单调递增，故f (x)至多存在一个零点，不合题意当a0时，由f (x)0可得xln a当x(，ln a)时，f (x)0.所以f (x)在(，ln a)单调递减，在(ln a，)单调递增故当xln a时，f (x)取得最小值，最小值为f (ln a)a(1ln a)()若0，则f (ln a)0，所以f (x)在(，ln a)存在唯一零点由(1)知，当x2时，exx20，所以当x4且x2ln(2a)时，f (x)eea(x2)eln(2a)a(x2)2a0.故f (x)在(ln a，)存在唯一零点从而f (x)在(，)有两个零点综上，a的取值范围是.点评：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题(2020贵阳模拟)已知函数f (x)kxln x(k0)(1)若k1，求f (x)的单调区间；(2)若函数f (x)有且只有一个零点，求实数k的值解(1)若k1，则f (x)xln x，定义域为(0，)，则f (x)1，由f (x)0，得x1；由f (x)0，得0x1，f (x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)(2)法一：由题意知，方程kxln x0仅有一个实根，由kxln x0，得k(x0)令g(x)(x0)，则g(x)，当xe时，g(x)0；当0xe时，g(x)0；当xe时，g(x)0.g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，g(x)maxg(e).当x时，g(x)0.又k0，要使f (x)仅有一个零点，则k.法二：f (x)kxln x，f (x)k(x0，k0)当x时，f (x)0；当0x时，f (x)0；当x时，f (x)0.f (x)在上单调递减，在上单调递增，f (x)minf 1ln，f (x)有且只有一个零点，1ln0，即k.导数及其应用全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本章内容在高考中一般是“一大一小”.2.考查内容(1)导数的几何意义一般在选择题或填空题中考查，有时与函数的性质相结合出现在压轴小题中.(2)解答题一般都是两问的题目，第一问考查曲线的切线方程、函数的单调区间、函数的极值点等，属于基础问题第二问利用导数证明不等式，已知单调区间或极值求参数的取值范围，函数的零点等问题.导数的概念及运算考试要求1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义.2.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx ，yx2，yx3，y，y的导数.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数1导数的概念(1)函数yf (x)在xx0处的导数：函数yf (x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf (x)在xx0处的导数，记作f (x0)或y|xx0，即f (x0) .(2)函数f (x)的导函数f (x)：f (x) .提醒：函数yf (x)的导数f (x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f (x)|反映了变化的快慢，|f (x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”2导数的几何意义函数f (x)在点x0处的导数f (x0)的几何意义是曲线yf (x)在点(x0，f (x0)处的切线斜率相应地，切线方程为yf (x0)f (x0)(xx0)提醒：(1)瞬时速度是位移函数s(t)对时间的导数(2)曲线yf (x)在点p(x0，y0)处的切线是指p为切点，斜率为f (x0)的切线，是唯一的一条切线(3)曲线yf (x)过点p(x0，y0)的切线，点p不一定是切点，切线可能有多条3基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x)c(c为常数)f (x)0f (x)xn(nq*)f (x)nxn1f (x)sin xf (x)cosxf (x)cos xf (x)sin xf (x)axf (x)axlna(a0)f (x)exf (x)exf (x)logax(a0，且a1)f (x)(a0，且a1)f (x)ln xf (x)4.导数的运算法则(1)f (x)g(x)f (x)g(x)；(2)f (x)g(x)f (x)g(x)f (x)g(x)；(3)(g(x)0)5复合函数的导数复合函数yf (g(x)的导数和函数yf (u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2熟记以下结论：(1)；(2)(f (x)0)；(3)af (x)bg(x)af (x)bg(x)一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)f (x0)是函数yf (x)在xx0附近的平均变化率()(2)求f (x0)时，可先求f (x0)，再求f (x0)()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)函数f (x)sin(x)的导数是f (x)cos x()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1函数yxcos xsin x的导数为()axsin xbxsin xcxcos x dxcos xby xcos xx(cos x)(sin x)cos xxsin xcos xxsin x2曲线yx311在点p(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()a9b3 c9d15c因为yx311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲线yx311在点p(1,12)处的切线方程为y123(x1)令x0，得y9.故选c3.已知函数f (x)的图象如图，f (x)是f (x)的导函数，则下列数值排序正确的是()a0f (2)f (3)f (3)f (2)b0f (3)f (2)f (3)f (2)c0f (3)f (3)f (2)f (2)d0f (3)f (2)f (2)f (3)c由导数的几何意义知，0f (3)f (3)f (2)f (2)，故选c4在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_m/s，加速度a_m/s2.9.8t6.59.8vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.5若yln(2x5)，则y_.令v2x5，则y. 考点一导数的计算 已知函数解析式求函数的导数典例11求下列各函数的导数：(1)yx；(2)ytan x；(3)y2sin21；(4)yln.解(1)先变形：yx，再求导：y(x)x.(2)先变形：y，再求导：y.(3)先变形：ycos x，再求导：y(cos x)(sin x)sin x.(4)先变形：yln(2x1)ln(2x1)，再求导：yln(2x1)ln(2x1)(2x1)(2x1).点评：(1)求函数的导数要准确地把函数分解为基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数(2)在求导过程中，要仔细分析函数解析式的结构特征，紧扣法则，记准公式，避免运算错误抽象函数求导典例12已知f (x)x22xf (1)，则f (0)_.4f (x)2x2f (1)，f (1)22f (1)，f (1)2，f (0)2f (1)2(2)4.点评：赋值法是求解此类问题的关键，求解时先视f (1)为常数，然后借助导数运算法则计算f (x)，最后分别令x1，x0代入f (x)求解即可1(2020全国卷)设函数f (x)，若f (1)，则a_.1由于f (x)，故f (1)，解得a1.2已知函数f (x)的导函数为f (x)，且满足关系式f (x)x23xf (2)ln x，则f (2)_.因为f (x)x23xf (2)ln x，所以f (x)2x3f (2)，所以f (2)43f (2)3f (2)，所以f (2).3求下列函数的导数(1)yx2sin x；(2)y；(3)yxsin cos ；(4)y.解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y.(3)yxsin cos xsin x，y1cos x.(4)令u2x1，yu，yu(u). 考点二导数的几何意义 求曲线的切线方程切线方程的求法(1)已知切点a(x0，f (x0)求切线方程，可先求该点处的导数值f (x0)，再根据yf (x0)f (x0)(xx0)求解(2)若求过点p(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由求解即可典例21(1)(2020全国卷)函数f (x)x42x3的图象在点(1，f (1)处的切线方程为()ay2x1 by2x1cy2x3 dy2x1(2)已知函数f (x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf (x)相切，则直线l的方程为_(1)b(2)xy10(1)法一：f (x)x42x3，f (x)4x36x2，f (1)2，又f (1)121，所求的切线方程为y12(x1)，即y2x1.故选b法二：f (x)x42x3，f (x)4x36x2，f (1)2，切线的斜率为2，排除c，d又f (1)121，切线过点(1，1)，排除a故选b(2)点(0，1)不在曲线f (x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f (x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.求切点坐标求切点坐标的思路已知切线
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