2022届高考数学统考一轮复习课后限时集训57圆锥曲线中的定点定值问题理含解析新人教版

1、课后限时集训(五十七)圆锥曲线中的定点、定值问题建议用时：40分钟1(2020兰州模拟)已知动圆e经过定点d(1,0)，且与直线x1相切，设动圆圆心e的轨迹为曲线c(1)求曲线c的方程；(2)设过点p(1,2)的直线l1，l2分别与曲线c交于a，b两点，直线l1，l2的斜率存在，且倾斜角互补，证明：直线ab的斜率为定值解(1)由已知，动点e到定点d(1,0)的距离等于e到直线x1的距离，由抛物线的定义知e点的轨迹是以d(1,0)为焦点，以x1为准线的抛物线，故曲线c的方程为y24x.(2)证明：由题意直线l1，l2的斜率存在，倾斜角互补，得斜率互为相反数，且不等于零设a(x1，y1)，b(x2

2、，y2)，直线l1的方程为yk(x1)2，k0.直线l2的方程为yk(x1)2，由得k2x2(2k24k4)x(k2)20，16(k1)20，已知此方程一个根为1，x11，即x1，同理x2，x1x2，x1x2，y1y2k(x11)2k(x21)2k(x1x2)2kk2k，kab1，直线ab的斜率为定值1.2(2020江西九江三校6月考前模拟)已知抛物线c1：x22py(p0)和圆c2：(x1)2y22，倾斜角为45的直线l1过c1的焦点，且l1与圆c2相切(1)求p的值；(2)动点m在c1的准线上，动点a在c1上(不与坐标原点o重合)，若c1在a点处的切线l2交y轴于点b，设，证明点n在定直线

3、上，并求该定直线的方程解(1)由题意得，直线l1的斜率k1tan 451，抛物线c1的焦点为，则直线l1的方程为yx.因为l1与c2相切，所以圆心c2(1,0)到直线l1：yx的距离d，解得p6.(2)法一：依题意设m(m，3)，由(1)知抛物线c1的方程为x212y，即y，求导得y.设a(x1，y1)(x10)，则以a为切点的切线l2的斜率k2，所以切线l2的方程为yx1(xx1)y1.令x0，则yxy112y1y1y1，即点b的坐标为(0，y1)则(x1m，y13)，(m，y13)，所以(x12m,6)，连接on，om(图略)，则(x1m,3)设点n的坐标为(x，y)，则y3，所以点n在定

4、直线y3上法二：设m(m，3)，由(1)知抛物线c1的方程为x212y.设直线l2的斜率为k2，a(x10)，则以a为切点的切线l2的方程为yk2(xx1)x.联立得消去y并整理得x212k2x12k2x1x0.由(12k2)24(12k2x1x)0，求得k2.所以切线l2的方程为yx1(xx1)x.令x0，得点b的坐标为，则，所以(x12m,6)，连接on，om(图略)，则(x1m,3)设点n的坐标为(x，y)，则y3，所以点n在定直线y3上3(2020全国卷)已知a，b分别为椭圆e：y21(a1)的左、右顶点，g为e的上顶点，8.p为直线x6上的动点，pa与e的另一交点为c，pb与e的另一

5、交点为d(1)求e的方程；(2)证明：直线cd过定点解(1)由题设得a(a,0)，b(a,0)，g(0,1)则(a,1)，(a，1)由8得a218，即a3.所以e的方程为y21.(2)证明：设c(x1，y1)，d(x2，y2)，p(6，t)若t0，设直线cd的方程为xmyn，由题意可知3n3.由于直线pa的方程为y(x3)，所以y1(x13)直线pb的方程为y(x3)，所以y2(x23)可得3y1(x23)y2(x13)由于y1，故y，可得27y1y2(x13)(x23)，即(27m2)y1y2m(n3)(y1y2)(n3)20.将xmyn代入y21得(m29)y22mnyn290.所以y1y2，y1y2.代入式得(27m2)(n29)2m(