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2020_2021学年新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2第3课时导数在函数有关问题及实际生活中的应用学案含解析新人教A版选择性必修第二册202009141116.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包21套新人教A版选择性必修第二册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包21套新人教a版选择性必修第二册,文本
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模块综合提升1若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()提示“常数”必须强调为“同一个常数”2等比数列an的单调性是由公比q决定的()提示是由a1和q共同决定的3数列an为等差数列的充要条件是对任意nn*，都有2an1anan2()4已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()5满足an1qan(nn*，q为常数)的数列an为等比数列()提示必须强调q0.6g为a，b的等比中项g2ab()提示g2ab不能得出g是a，b的等比中项，如g0，a0，b1.7如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()提示当an0时，结论才能成立8数列an的通项公式是anan，则其前n项和为sn()提示公式成立的条件是a0，且a1.9若数列an的前n项和满足snan2bnc，则该数列一定为等差数列()提示c0时不是等差数列10在等差数列an中，由mnpql可得amanapaqal()提示两边项数必须相同才成立11若an是等比数列，则数列，a，|an|一定是等比数列()12若数列an是等差数列，则sn，s2n，s3n也成等差数列()提示sn，s2nsn，s3ns2n成等差数列13在数列中，若是一个常数，则该数列一定是等比数列()提示同一个不为零的常数14在等差数列an中，若a80，a90，则s8最大()15在等比数列an中，若l，m，n成等比，则al，am，an也成等比()提示若l，m，n成等差，则al，am，an成等比16一物体的运动方程是sat2(a为常数)，则该物体在tt0时的瞬时速度为at0()17导函数f (x)的定义域与函数f (x)的定义域相同()提示如f (x).定义域为0，)，而f (x)，定义域为(0，)18直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点()提示参照正弦曲线，可以有多个交点19常数函数f (x)2 020没有导数()提示常数函数的导数等于零20若ye3，则y3e2()提示e3为常数，其导数为0.21函数ylog3(2x1)是由ylog3t和t2x1两个函数复合而成的()22函数f (x)在定义域上都有f (x)0，则函数f (x)在定义域上单调递减()提示如f (x)，其导函数f (x)0.但在定义域(，0)(0，)上不是单调递减23若函数f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内一定不单调()24若f (x)x31，则x0是函数f (x)的极值点()提示由f (x)3x20，得f (x)在x0两侧符号相同，x0不是函数的极值点25在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()26函数的最大值为a，则其值域为(，a()提示最值和值域是函数的两个不同的概念，如果自变量是整数，则值域不能用区间表示27函数f (x)x3ax2x1必有2个极值()28面积为s的一切矩形中，周长最小的矩形的边长是()29若f (x)是a，b上的连续函数，且在(a，b)内可导，则f (x)的最值点一定是极值点()提示如单调函数的最值在端点处取得30若af (x)在a，b上恒成立，那么af (x)max()1已知数列an(nn*)是等差数列，sn是其前n项和若a2a5a80，s927，则s8的值是_16设等差数列an的首项为a1，公差为d，则解得所以s88a1d8(5)28216.2曲线ycos x在点(0，1)处的切线方程为_x2y20由题意，可知ysin x.因为yx0sin 0，所以曲线ycos x在点(0，1)处的切线方程y1x，即x2y20.3在平面直角坐标系xoy中，点a在曲线yln x上，且该曲线在点a处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点a的坐标是_(e，1)设a(x0，ln x0)，由yln x，得y，所以y|，则该曲线在点a处的切线方程为yln x0(xx0)，因为切线经过点(e，1)，所以1ln x01，即ln x0，则x0e.故a(e，1)4设an是等差数列，bn是等比数列已知a14，b16，b22a22，b32a34.(1)求an和bn的通项公式；(2)设数列cn满足c11，cn其中kn*.求数列a2n(c2n1)的通项公式求ici(nn*)解(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，依题意得解得故an4(n1)33n1，bn62n132n.所以，an的通项公式为an3n1(nn*)，bn的通项公式为bn32n(nn*)(2)a2n(c2n1)a2n(bn1)(32n1)(32n1)94n1.所以，数列a2n(c2n1)的通项公式为a2n(c2n1)94n1(nn*)iciaiai(ci1)i2i(c2i1)(94n1)(322n152n1)9n2722n152n1n12(nn*)5已知实数a0，设函数f (x)aln x，x0.(1)当a时，求函数f (x)的单调区间；(2)对任意x均有f (x)，求a的取值范围注：e2.718 28为自然对数的底数解(1)当a时，f (x)ln x，x0.f (x)，所以，函数f (x)的单调递减区间为(0，3)，单调递增区间为(3，)(2)由f (1)，得0a.当0a时，f (x)等价于2ln x0.令t，则t2.设g(t)t22t2ln x，t2，则g(t)2ln x.当x时，2，则g(t)g(2)842ln x.记p(x)42ln x，x，则p(x).故x1(1，)p(x)0p(x)p单调递减极小值p(1)单调递增所以，p(x)p(1)0.因此，g(t)g(2)2p(x)0.当x时，g(t)g.令q(x)2ln x(x1)，x，则q(x)10，故q(x)在上单调递增，所以q(x)q.由得qpp(1)0.所以，q(x)0.因此g(t)g0.由得对任意x，t2，)，g(t)0，即对任意x，均有f (x).综上所述，所求a的取值范围是.- 5 -4.1数列的概念第1课时数列的概念及简单表示法学 习 目 标核 心 素 养1.理解数列的概念(重点)2.掌握数列的通项公式及应用(重点)3.理解数列是一种特殊的函数理解数列与函数的关系(易混点、难点)4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(难点、易错点)1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养.2.借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.3.借助数列与函数关系的理解，提升学生的数学建模和直观想象素养.1一尺之棰，日取其半，万世不竭1，2三角形数3正方形数思考：这些数有什么规律？与它所表示图形的序号有什么关系？1数列的概念及一般形式思考：(1)数列的项和它的项数是否相同？(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与1，2，3，4，5有什么区别？提示(1)数列的项与它的项数是不同的概念数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合1，2，3，4，5与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性2数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式4数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集n*(或它的有限子集1，2，3，n)解析式数列的通项公式值域自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法思考：数列的通项公式anf(n)与函数解析式yf(x)有什么异同？提示如图，数列可以看成以正整数集n*(或它的有限子集1，2，n)为定义域的函数，anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列2，4，6，8，2n是无穷数列()(2)通项公式为ann1的数列是递增数列()(3)数列4，0，2，4，6的首项是4()(4)30是数列an2n1中的某一项()提示(1)无穷数列的末尾带有.(2)ann1对应的函数yx1是增函数，所以ann1是递增数列(3)第一个位置的项是首项(4)当2n130时，n值不是正整数答案(1)(2)(3)(4)2数列an中，an3n1，则a2等于()a2b3c9d32b将n2代入通项公式，得a23213.3下列可作为数列an：1，2，1，2，1，2的通项公式的是()aan1bancan2danc代入验证可知c正确4数列1，2， ，中的第26项为_2因为a11，a22，a3，a4，a5，所以an，所以a262.5(一题两空)填空：2，3，_，5，2，_，2，9，2，11，27观察发现规律an数列的概念与分类【例1】(1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()a1，bsin，sin，sin，c1，d1，(2)(一题多空)已知下列数列：2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019，2 020；1，；1，；1，0，1，sin，；2，4，8，16，32，；1，1，1，1.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)(1)cabc为无穷数列，其中a是递减数列，b是摆动数列，c是递增数列，故选c.(2)为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，也是无穷数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列，也是常数列1有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列2数列an的单调性：若满足anan1，则an是递增数列；若满足anan1，则an是递减数列；若满足anan1，则an是常数列；若an与an1的大小不确定，则an是摆动数列跟进训练1(一题多空)给出下列数列：20132020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；无穷多个构成数列， ， ， ，；2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列2，4，8，16，32，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，常数列是_，摆动数列是_为有穷数列；是无穷数列，同时也是递增数列；为常数列；为摆动数列由数列的前几项求通项公式【例2】已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式(1)1，3，7，15，31，；(2)4，44，444，4 444，；(3)1，3，5，7，9，；(4)2，；(5)1，2，1，2，1，2，.思路探究观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系解(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an2n1.(2)各项乘，变为9，99，999，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an(10n1)(3)所给数列有这样几个特点：符号正、负相间；整数部分构成奇数列；分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；分数部分的分子依次大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可由所给的几项可得数列的通项公式为an(1)n，所以an(1)n.(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，再把各分母分别加上1，数列又变为，所以an.(5)法一：可写成分段函数形式：an法二：an即an.1常见数列的通项公式归纳(1)数列1，2，3，4，的一个通项公式为ann；(2)数列1，3，5，7，的一个通项公式为an2n1；(3)数列2，4，6，8，的一个通项公式为an2n；(4)数列1，2，4，8，的一个通项公式为an2n1；(5)数列1，4，9，16，的一个通项公式为ann2；(6)数列1，1，1，1，的一个通项公式为an(1)n；(7)数列1，的一个通项公式为an.2复杂数列的通项公式的归纳方法考察各项的结构；观察各项中的“变”与“不变”；观察“变”的规律是什么；每项符号的变化规律如何；得出通项公式跟进训练2写出下面各数列的一个通项公式：(1)9，99，999，9 999，；(2)1，3，5，7，9，；(3)，2，8，；(4)3，5，9，17，33，.解(1)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1.(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，是连续的正奇数，其通项公式为2n1，考虑到(1)n1具有转换正、负号的作用，所以数列的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：，.所以，它的一个通项公式为an.(4)3可看作211，5可看作221，9可看作231，17可看作241，33可看作251，所以原数列的一个通项公式为an2n1.通项公式的应用探究问题1根据通项公式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？若是，是第几项？提示根据an，求第几项，采用的是代入法，如第5项就是令n5，求a5.判断某项是否是数列中的项，就是解方程令an等于该项，解得nn*即是，否则不是2已知数列an的通项公式为ann22n1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所有的正数项提示由数列与函数的关系可知，数列an的图象是分布在二次函数yx22x1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项【例3】已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？思路探究(1)将n4，n6分别代入an求出数值即可；(2)令3n228n49和3n228n68，求得n是否为正整数并判断解(1)a434228464，a636228660.(2) 令3n228n49，解得n7或n(舍去)，所以49是该数列的第7项；令3n228n68，解得n2或n，均不合题意，所以68不是该数列的项1(变结论)若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？解(1)因为an3n228n，所以a333228357，a838228832.(2)令3n228n20，解得n10或n(舍去)，所以20是该数列的第10项2(变条件，变结论)若将例题中的“an3n228n”变为“ann22n5”，试判断数列an的单调性解ann22n5，an1an(n1)22(n1)5(n22n5)n22n12n25n22n52n3.nn*，2n30，an1an.数列an是递增数列1由通项公式写出数列的指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值2判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项3在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是n*(或它的有限子集1，2，3，n)这一约束条件1数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是n*(或它的一个子集1，2，3，n)2并非所有的数列都能写出它的通项公式例如，的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，它没有通项公式，也并不是通项公式都唯一如，1，1，1，1，既可以写成an(1)n，也可以写成an3根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳4数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题1在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于()a11b12c13d14c观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x5813.2已知数列1，则3是它的()a第22项b第23项c第24项d第28项b令3，解得n23.所以3是它的第23项，故应选b.3数列an：，3，3，9，的一个通项公式是()aan(1)n(nn*)ban(1)n(nn*)can(1)n1(nn*)dan(1)n1(nn*)b该数列的前几项可以写成，故可以归纳为an(1)n.故选b.4(一题两空)已知数列an的通项公式an4n1，则它的第7项是_，a2 020a2 019_.274a747127，a2 020a2 019(42 0201)(42 0191)4(2 0202 019)4.5已知数列an的通项公式为an(nn*)，则(1)计算a3a4的值；(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由解(1)an，a3，a4，a3a4.(2)是若为数列an中的项，则，n(n2)120，n22n1200，n10或n12(舍)，即是数列an的第10项- 10 -第2课时数列的递推公式与an和sn的关系学 习 目 标核 心 素 养1.理解递推公式的含义(重点).2.掌握递推公式的应用(难点).3.会用an与sn的关系求通项公式.1.借助利用数列的递推公式求具体项或求通项，培养学生的逻辑推理素养.2.借助利用an与sn的关系确定an的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.看下面例子：(1)1，2，4，8，16，(2)1，cos 1，cos(cos 1)，coscos(cos 1)，(3)0，1，4，7，10，13.请同学们分析一下，从第二项起，后一项与前一项的关系怎样？1数列的递推公式(1)两个条件：已知数列的第1项(或前几项)；从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示(2)结论：具备以上两个条件的公式叫做这个数列的递推公式思考：所有数列都有递推公式吗？提示不一定例如精确到1，0.1，0.01，0.001，的不足近似值排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，没有递推公式2数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式思考：仅由数列an的关系式anan12(n2，nn*)就能确定这个数列吗？提示不能数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的3数列an的前n项和(1)数列an从第1项起到第n项止的各项之和称为数列an的前n项和，记作sn，即sna1a2an.(2)如果数列an的前n项和sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式(3)数列an的通项an与前n项和sn之间的关系为an1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)根据通项公式可以求出数列的任意一项()(2)有些数列可能不存在最大项()(3)递推公式是表示数列的一种方法()(4)所有的数列都有递推公式()提示并不是所有的数列都有递推公式，如的精确值就没有递推公式答案(1)(2)(3)(4)2已知数列an中的首项a11，且满足an1an，此数列的第3项是()a1bcdcan1an，a11，a2a11，a3a21.故选c.3数列an满足an11，且a12，则a2 020的值为()a b1 c2 d1c由an11及a12，得a2，a31，a42，至此可发现数列an是周期为3的周期数列：2，1，2，1，.而2 02067331，故a2 020a12.4已知数列an的前n项和公式snn22n1，则其通项公式an_.当n2时，ansnsn1n22n1(n1)22(n1)12n3，而当n1时，a1122110213，所以通式公式an由递推公式求数列中的项【例1】已知数列an中，a11，a22，以后各项由anan1an2(n3)给出(1)写出此数列的前5项；(2)通过公式bn构造一个新的数列bn，写出数列bn的前4项解(1)anan1an2(n3)，且a11，a22，a3a2a13，a4a3a2325，a5a4a3538.故数列an的前5项依次为a11，a22，a33，a45，a58.(2)bn，且a11，a22，a33，a45，a58，b1，b2，b3，b4.故bn的前4项依次为b1，b2，b3，b4.由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可.(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11.(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an1.跟进训练1已知数列an的第1项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项解a11，an1，a2，a3，a4，a5.故该数列的前5项为1，.数列的单调性【例2】已知数列an的通项公式是an(n2) (nn*)，试问数列an是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由思路探究判断数列的单调性，寻求数列最大项，或假设an是数列的最大项，解不等式解法一：作差比较an1与an的大小，判断an的单调性an1an(n3)(n2).当n5时，an1an0，即an1an；当n5时，an1an0，即an1an；当n5时，an1an0，即an1an.故a1a2a3a4a5a6a7a8，所以数列an有最大项，且最大项为a5或a6，且a5a6.法二：作商比较an1与an的大小，判断an的单调性.又an0，令1，解得n5；令1，解得n5；令1，解得n5.故a1a2a3a4a5a6a7，所以数列an有最大项，且最大项为a5或a6，且a5a6.法三：假设an中有最大项，且最大项为第n项，则即解得即5n6.故数列an有最大项a5或a6，且a5a6.求数列an的最大(小)项的方法一是利用判断函数增减性的方法，先判断数列的增减情况，再求数列的最大项或最小项；如本题利用差值比较法来探讨数列的单调性，以此求解最大项.二是设ak是最大项，则有对任意的kn*且k2都成立，解不等式组即可.跟进训练2已知数列an的通项公式为ann27n8.(1)数列中有多少项为负数？(2)数列an是否有最小项？若有，求出其最小项解(1)令an0，即n27n80，得1n8.又nn*，所以n1，2，3，7，故数列从第1项至第7项均为负数，共7项(2)函数yx27x8图象的对称轴为直线x，所以当1x3时，函数单调递减；当x4时，函数单调递增，所以数列an有最小项，又a3a420，所以数列an的最小项为a3或a4.利用an求通项【例3】根据下列数列的前n项和sn求通项an.(1)sn2n2n1；(2)sn23n2.思路探究先写出n2时，ansnsn1表达式，再求出n1时a1s1，验证是否适合n2时表达式如果适合则ansnsn1(nn*)，否则an解(1)由sn2n2n1，当n2时，ansnsn1(2n2n1)2(n1)2(n1)14n3.当n1时，a1s12413.an(2)由sn23n2，当n2时，ansnsn123n2(23n12)43n1.当n1时，a1s1231244311，an43n1(nn*)用an与sn的关系求an的步骤(1)先确定n2时ansnsn1的表达式；(2)再利用sn求出a1(a1s1)；(3)验证a1的值是否适合ansnsn1的表达式；(4)写出数列的通项公式.跟进训练3已知数列an的前n项和sn满足nlog2(sn1)，求其通项公式an.解根据条件可得sn2n1.当n2时，ansnsn12n12n112n1(21)2n1，当n1时，a1s12113211，an根据递推公式求通项探究问题1某剧场有30排座位，从第一排起，往后各排的座位数构成一个数列an，满足a120，an1an2，你能归纳出数列an的通项公式吗？提示由a120，an1an2得a2a1222，a3a2224，a4a3226，a5a4228，由以上各项归纳可知an20(n1)22n18.即an2n18(nn*，n30)2对于任意数列an，等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an都成立吗？若数列an满足：a11，an1an2，你能求出它的通项an吗？提示等式a1(a2a1)(a3a2)(anan1)an成立，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)112(n1)2n1.3若数列an中的各项均不为0，等式a1an成立吗？若数列an满足：a13，2，则它的通项an是什么？提示等式a1an成立按照2可得2，2，2，2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得222.则2n1，所以an32n1(nn*)【例4】(1)已知数列an满足a11，an1an，nn*，求通项公式an；(2)设数列an中，a11，anan1(n2)，求通项公式an.思路探究(1)先将an1an变形为an1an，照此递推关系写出前n项中任意相邻两项间的关系，这些式子两边分别相加即可求解(2)先将anan1(n2)变形为，按此递推关系，写出所有前后两项满足的关系，两边分别相乘即可求解解(1)an1an，a2a1；a3a2；a4a3；anan1.以上各式累加得，ana11.an11，an(n2)又n1时，a11，符合上式，an(nn*)(2)a11，anan1(n2)，ana11.又n1时，a11，符合上式，an(nn*)1(变条件)将例题(1)中的条件“a11，an1an，nn*”变为“a1，anan1an1an(n2)”，求数列an的通项公式解anan1an1an，1.2n1.n1，an(n2)又n1时，a1，符合上式，an(nn*).2(变条件)将例题(2)中的条件“a11，anan1(n2)”变为“a12，an13an(nn*)”写出数列的前5项，猜想an并加以证明解由a12，an13an，得：a23a132，a33a2332322，a43a33322332，a53a43332342，猜想：an23n1，证明如下：由an13an得3.因此可得3，3，3，3.将上面的n1个式子相乘可得3n1.即3n1，所以ana13n1，又a12，故an23n1.由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式；(2)累乘法：当g(n)时，常用ana1求通项公式.1数列的四种表示方法(1)图象法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法2通项公式和递推公式的区别通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列an与n之间关系的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an.3数列通项公式的求法(1)观察法根据给出数列的前几项观察归纳；(2)累加法适合类型为an1anf(n)；(3)累乘法适合类型为an1anf(n)；(4)利用an与sn关系，即an1数列2，4，6，8，10，的递推公式是()aanan12(n2)ban2an1(n2)ca12，anan12(n2)da12，an2an1(n2)ca，b中没有说明某一项，无法递推，d中a12，a24，a38，不合题意2已知数列an满足a11，anan13(n2)，则数列的通项公式an()a3n1 b3nc3n2d3(n1)c根据条件可以写出前5项为：1，4，7，10，13，可以归纳出an3n2.故选c.3数列an满足an1，a82，则a1_.先求出数列的周期，再进一步求解首项an1，an1111(1an2)an2，周期t(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1.4已知数列an中，a12，an1anln，求an.解由题意得an1anln ，anan1ln (n2)，an1an2ln ，a2a1ln .当n2时，ana1lnln n，an2ln n(n2)当n1时，a12ln 12，符合上式，an2ln n(nn*)- 11 -4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第1课时等差数列的概念及简单表示学 习 目 标核 心 素 养1.理解等差数列的概念(难点).2.掌握等差数列的通项公式及应用(重点、难点).3.掌握等差数列的判定方法(重点).1.通过学习等差中项及等差数列通项公式的应用，体现了数学运算素养.2.借助等差数列的判断与证明，培养学生的逻辑推理素养.某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，.思考：第30排有多少个座位？1等差数列的概念文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示符号语言an1and(d为常数，nn*)2等差中项(1)条件：如果a，a，b成等差数列(2)结论：那么a叫做a与b的等差中项(3)满足的关系式是ab2a.思考：观察所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2，4；(2)1，5；(3)a，b；(4)0，0.提示插入的数分别为3，2，0.3等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列an的通项公式ana1(n1)d.思考：教材上推导等差数列的通项公式采用了不完全归纳法，还有其它方法吗？如何操作？提示还可以用累加法，过程如下：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d(n2)，将上述(n1)个式子相加得ana1(n1)d(n2)，ana1(n1)d(n2)，当n1时，a1a1(11)d，符合上式，ana1(n1)d(nn*)4从函数角度认识等差数列an若数列an是等差数列，首项为a1，公差为d，则anf (n)a1(n1)dnd(a1d)(1)点(n，an)落在直线ydx(a1d)上；(2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d.思考：由等差数列的通项公式可以看出，要求an，需要哪几个条件？提示只要求出等差数列的首项a1和公差d，代入公式ana1(n1)d即可1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)等差数列an的单调性与公差d有关()(3)若三个数a，b，c满足2bac，则a，b，c一定是等差数列()提示(1)错误若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列(2)正确当d0时为递增数列；d0时为常数列；d1)，记bn”(1)试证明数列bn为等差数列；(2)求数列an的通项公式解(1)证明：bn1bn.又b1，数列bn是首项为，公差为的等差数列(2)由(1)知bn(n1)n.bn，an22.数列an的通项公式为an2.2(变条件)将本例中条件“a12，an1”换成“a1，n2时有(n1，nn*)”，结论如何？解(1)证法一：(n1，nn*)an1(12an)an(2an11)(n1，nn*)，即an1an(4an11)(n1，nn*)，an(n1，nn*)，4(n1，nn*)，4(n1，nn*)，数列是等差数列且公差为4，首项为5.证法二：当n1，nn*时，224，且5.是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)由(1)及等差数列的通项公式得5(n1)44n1，an.等差数列的三种判定方法(1)定义法：an1and(常数)(nn*)an为等差数列；(2)等差中项法：2an1anan2(nn*)an为等差数列；(3)通项公式法：ananb(a，b是常数，nn*)an为等差数列.但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.1在等差数列的定义中，应该把握好三个关键，即“第二项”“后项与前项的差”“同一个常数”在证明中应注意验证“第一项”也满足条件2由等差数列的通项公式ana1(n1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量3等差数列的单调性d0等差数列是递增数列d0等差数列是递减数列d0等差数列是常数列1数列an的通项公式为an53n，则此数列()a是公差为3的等差数列b是公差为5的等差数列c是首项为5的等差数列d是公差为n的等差数列a等差数列的通项公式ana1(n1)d可以化成andn(a1d)对比an3n5.故公差为3.故选a.2等差数列an中，已知a22，a58，则a9()a8 b12c16d24c设等差数列an的首项为a1，公差为d，则由a22，a58，得解得a10，d2，所以a9a18d16.故选c.3已知a，b，则a，b的等差中项为_.4若等差数列an的公差d0且a1，a2是关于x的方程x2a3xa40的两根，求数列an的通项公式解由题意得解得an2(n1)22n.故数列an的通项公式为an2n.- 9 -第2课时等差数列的性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等差数列的有关性质(重点、易错点).2.能灵活运用等差数列的性质解决问题(难点).1.通过等差数列性质的学习，体现了数学运算素养.2.借助等差数列的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球，那么，从上面数第二层有几个球？每隔一层的球数有什么规律？每隔二层呢？每隔三层呢？1等差数列的图象等差数列的通项公式ana1(n1)d，当d0时，an是一个固定常数；当d0时，an相应的函数是一次函数；点(n，an)分布在以d为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点思考：由ana1(n1)d可得d，d，你能联系直线的斜率解释一下这两个式子的几何意义吗？提示等差数列的通项公式可以变形为annd(a1d)，是关于n的一次函数，d为斜率，故过两点(1，a1)，(n，an)直线的斜率d，当两点为(n，an)，(m，am)时有d.2等差数列的性质(1)an是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足mnpq，则amanapaq.特别地，当mn2k(m，n，kn*)时，aman2ak.对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1ana2an1akank1.(2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列(3)若an是公差为d的等差数列，则can(c为任一常数)是公差为d的等差数列；can(c为任一常数)是公差为cd的等差数列；anank(k为常数，kn*)是公差为2d的等差数列(4)若an，bn分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列panqbn(p，q是常数)是公差为pd1qd2的等差数列(5)an的公差为d，则d0an为递增数列；d0，d1，故所求的四个数为2，0，2，4.- 9 -4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列的前n项和公式学 习 目 标核 心 素 养1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点)2掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)3会求等差数列前n项和的最值(重点).1.通过等差数列前n项和的有关计算及an与sn关系的应用，培养数学运算素养2借助等差数列前n项和的实际应用，培养学生的数学建模及数学运算素养.有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发现了一个堆放铅笔的v形架，v形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支老师问：“高斯，你知道这个v形架上共放着多少支铅笔吗？”思考：计算12399100.1等差数列前n项和公式是用倒序相加法推导的2等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式snsnna1d思考：等差数列an前n项和公式推导中，运用了哪条性质？提示运用性质“等差数列an中，若mnpq，则amanapaq.”从而a1ana2an1akank1.3等差数列前n项和sn的最值(1)若a10，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得sn的最小值(2)若a10，d0，d0，则s1是sn的最小值；若a10，d0，则s1是sn的最大值思考：我们已经知道当公差d0时，等差数列前n项和是关于n的二次函数snn2n，类比二次函数的最值情况，等差数列的sn何时有最大值？何时有最小值？提示由二次函数的性质可以得出：当a10时，sn先减后增，有最小值；当a10，d480，在24小时内能构筑成第二道防线遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和sn，还是求项数n.跟进训练2(1)张丘建算经是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何”其大意为：有个女子不善织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，则三十天共织布()a30尺 b90尺 c150尺 d180尺(2)我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有金，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”其大意是：“现有一根金杖，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下一尺，重2斤问依次每一尺各重多少斤？”根据题中的已知条件，若金杖由粗到细是均匀变化的，则中间3尺的重量为()a6斤 b9斤 c9.5斤 d12斤(1)b(2)b(1)由题意知，该女子每天织布的数量组成等差数列an，其中a15，a301，s3090，即共织布90(尺)(2)依题意，金杖由细到粗各尺重量构成一个等差数列an设首项为2，则a54，中间3尺的重量为a2a3a43a3339(斤)等差数列前n项和sn的函数特征探究问题1snan2bn的函数特征怎样？提示(1)当a0，b0时(此时a10，d0)，sn0，此时sn是关于n的常数函数；(2)当a0，b0时，snbn，此时sn是关于n的一次函数(正比例函数)；(3)当a0，b0时，snan2，此时sn是关于n的二次函数；(4)当a0，b0时，snan2bn，此时sn是关于n的二次函数2已知一个数列an的前n项和为snn25n，试画出sn关于n的函数图象你能说明数列an的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？提示snn25n，它的图象是分布在函数yx25x的图象上的离散的点，由图象的开口方向可知该数列是递增数列，图象开始下降说明了an前n项为负数由sn的图象可知，sn有最小值且当n2或3时，sn最小，最小值为6，即数列an前2项或前3项和最小【例3】数列an的前n项和sn33nn2，(1)求an的通项公式；(2)则an的前多少项和最大？思路探究(1)利用sn与an的关系求通项，也可由sn的结构特征求a1，d，从而求出通项(2)利用sn的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解解(1)法一：(公式法)当n2时，ansnsn1342n， 又当n1时，a1s1323421，满足an342n.故an的通项公式为an342n.法二：(结构特征法)由snn233n知sn是关于n的缺常数项的二次型函数，所以an是等差数列，由sn的结构特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故数列an的前17项大于或等于零又a170，故数列an的前16项或
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