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2020_2021学年新教材高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性学案含解析新人教A版选择性必修第二册202009141113.doc
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包21套新人教A版选择性必修第二册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包21套新人教a版选择性必修第二册,文本
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5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性学 习 目 标核 心 素 养1.理解导数与函数的单调性的关系(易混点)2掌握利用导数判断函数单调性的方法(重点)3会用导数求函数的单调区间(重点、难点)1.通过函数的单调性与其导数正负关系的学习，培养逻辑推理、直观想象的核心素养2借助利用导数研究函数的单调性问题，提升数学运算及逻辑推理的核心素养.观察yx1，y2x1，y3x1的图象并回答以下问题：这3个函数图象都是直线，其斜率分别是多少？其值有何特点？单调性如何？分别求出这3 个函数的导数，并观察其导数值有何特点1函数f (x)的单调性与导函数f (x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf (x)：f (x)的正负f (x)的单调性f (x)0单调递增f (x)0单调递减思考：如果在某个区间内恒有f (x)0，那么函数f (x)有什么特性？提示f (x)是常数函数2判断函数yf (x)的单调性第1步：确定函数的定义域；第2步：求出导数f (x)的零点；第3步：用f (x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f (x)在各区间上的正负，由此得出函数yf (x)在定义域内的单调性3函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数yf (x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f (x)0，则函数f (x)在这个区间上单调递减()(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()(4)判断函数单调性时，在区间内的个别点f (x)0，不影响函数在此区间的单调性()提示(1)函数f (x)在区间(a，b)上都有f (x)0，所以函数f (x)在这个区间上单调递减，故正确(2)切线的“陡峭”程度与|f (x)|的大小有关，故错误(3)函数在某个区间上变化的快慢，和函数导数的绝对值大小一致(4)若f (x)0(0)，则函数f (x)在区间内单调递增(减)，故f (x)0不影响函数单调性答案(1)(2)(3)(4)2函数f (x)2xsin x在(，)上是()a增函数b减函数c先增后减d不确定af (x)2xsin x，f (x)2cos x0在(，)上恒成立，f (x)在(，)上是增函数3导函数yf (x)的图象如图所示，则函数yf (x)的图象可能是() ab c dd当x0时，f (x)0，当x0时，f (x)0，所以函数f (x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，对照图象，应选d.4已知函数f (x)的导函数yf (x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是_(1，2)和(4，)由yf (x)的图象及导数的符号与函数单调性的关系可得yf (x)的大致图象如图所示所以函数f (x)的单调递增区间是(1，2)和(4，)5函数f (x)exx的单调递增区间为_(0，)f (x)exx，f (x)ex1.由f (x)0得，ex10，即x0.f (x)的单调递增区间为(0，)导函数与原函数的关联图象【例1】(1)设函数f (x)在定义域内可导，f (x)的图象如图所示，则导函数f (x)的图象可能为()(2)已知函数yf (x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数yf (x)的图象如图所示，则该函数的图象是()(1)d(2)b(1)由f (x)的图象可知，yf (x)在(，0)上是增函数，因此在x0时，有f (x)0(即全部在x轴上方)，故排除a，c.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f (x)0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f (x)0；在区间(x2，)上原函数是增函数，f (x)0，故排除b.故选d.(2)法一：由函数yf (x)的导函数yf (x)的图象自左到右先增后减，可知函数yf (x)图象的切线的斜率自左到右先增大后减小法二：由于f (x)0恒成立，则根据导数符号和函数单调性的关系可知，f (x)单调递增，即图象从左至右上升四个图象都满足由于当x0时，f (x)0且越来越小，则函数值增加得越来越慢，图象呈现上凸状；当x0时，f (x)0且越来越大，故函数值增加得越来越快，图象呈现下凸状，可以判断b正确故选b.研究函数图象与其导函数图象之间的关系的着手点研究一个函数图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素.对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.跟进训练1已知yxf (x)的图象如图所示(其中f (x)是函数f (x)的导函数)下面四个图象中，yf (x)的图象大致是()c当0x1时，xf (x)0，f (x)0，故f (x)在(0，1)上为减函数；当x1时，xf (x)0，f (x)0，故yf (x)在(1，)上为增函数故选c.利用导数求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间：(1)f (x)3x22ln x；(2)f (x)x2ex.思路探究先求定义域，再对原函数求导，结合导数f (x)的正负确定函数的单调区间解(1)f (x)3x22ln x的定义域为(0，)，f (x)6x，由x0，f (x)0，解得x.由x0，f (x)0，解得0x.函数f (x)3x22ln x的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)函数的定义域为d(，)f (x)(x2)exx2(ex)2xexx2exex(2xx2)，令f (x)0，由于ex0，x10，x22，用x1，x2分割定义域d，得下表：x(，0)0(0，2)2(2，)f (x)00f (x)f (0)0f (2)f (x)的单调递减区间为(，0)和(2，)，单调递增区间为(0，2)用解不等式法求单调区间的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导函数f(x)；(3)解不等式f(x)0(或f(x)0)，并写出解集；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间.跟进训练2求函数f (x)x2ln x的单调区间解函数f (x)的定义域为(0，)f (x)2x.因为x0，所以x10，令f (x)0，解得x，所以函数f (x)的单调递增区间为；令f (x)0，解得x，又x(0，)，所以函数f (x)的单调递减区间为.含有参数的函数单调性的讨论【例3】设g(x)ln xax2(a2)x，a0，试讨论函数g(x)的单调性思路探究先对原函数求导得g(x)(x0)，再对a分类讨论得函数g(x)的单调性解由题意可知g(x)2axa2(x0)a0，g(x)(x0)，(1)当a2时，g(x)0等价于(2x1)0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减；(2)当a2时，g(x)0恒成立，函数g(x)在(0，)上单调递增；(3)当2a0时，g(x)0等价于(2x1)0，易得函数g(x)在和上单调递增，同理可得在上单调递减利用导数研究含参函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论；(4)在不同的参数范围内，解不等式f(x)0和f(x)0，确定函数f(x)的单调区间.跟进训练3试求函数f (x)kxln x的单调区间解函数f (x)kxln x的定义域为(0，)，f (x)k.当k0时，kx10，f (x)0，则f (x)在(0，)上单调递减当k0时，由f (x)0，得0，解得0x；由f (x)0，得0，解得x.当k0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为.综上所述，当k0时，f (x)的单调递减区间为(0，)；当k0时，f (x)的单调递减区间为，单调递增区间为.已知函数的单调性求参数的范围探究问题1在区间(a，b)内，若f (x)0，则f (x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？提示不一定成立比如yx3在r上为增函数，但其在x0处的导数等于零也就是说f (x)0是yf (x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件2若函数f (x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f (x)满足什么条件？提示f (x)0(或f (x)0)【例4】已知函数f (x)x3ax1为单调递增函数，求实数a的取值范围思路探究解由已知得f (x)3x2a，因为f (x)在(，)上是单调增函数，所以f (x)3x2a0在(，)上恒成立，即a3x2对xr恒成立，因为3x20，所以只需a0.又因为a0时，f (x)3x20，f (x)x31在r上是增函数，所以a0.1(变条件)若函数f (x)x3ax1的单调减区间为(1，1)，求a的取值范围解由f (x)3x2a，当a0时，f (x)0，f (x)在(，)上为增函数当a0时，令3x2a0，得x，当x时，f (x)0.f (x)在上为减函数，f (x)的单调递减区间为，1，即a3.2(变条件)若函数f (x)x3ax1在(1，1)上单调递减，求a的取值范围解由题意可知f (x)3x2a0在(1，1)上恒成立，即a3.即a的取值范围是3，)3(变条件)若函数f (x)x3ax1在(1，1)上不单调，求a的取值范围解f (x)x3ax1，f (x)3x2a，由f (x)0，得x(a0)，f (x)在区间(1，1)上不单调，01，即0a3.故a的取值范围为(0，3)1已知f (x)在区间(a，b)上的单调性，求参数范围的方法(1)利用集合的包含关系处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则区间(a，b)是相应单调区间的子集；(2)利用不等式的恒成立处理f (x)在(a，b)上单调递增(减)的问题，则f (x)0(f (x)0)在(a，b)内恒成立，注意验证等号是否成立2解答本题注意：可导函数f (x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f (x)0(或f (x)0)在(a，b)上恒成立，且f (x)在(a，b)的任何子区间内都不恒等于0.1判断或证明函数的单调性，首先确定函数的定义域，然后求得函数的导数，根据导数的正负得到不等式的解集，从而确定函数的单调性2利用导数研究含参数函数的单调性时，常遇到三种情况：(1)区间端点大小不确定型由于函数导数不等式中的区间端点大小不定，因此需根据区间端点的大小确定参数的范围，再分类讨论函数的单调区间(2)区间端点与定义域关系不确定型此类问题一般会有定义域限制，解函数导数不等式的区间端点含参数，此端点与函数定义域的端点大小不确定，因此需分类讨论(3)最高次项系数不确定型此类问题一般要就最高次项的系数a，分a0，a0，a0进行讨论3恒成立和存在性问题的转化(1)对于恒成立的不等式：若f (x)a对任意xd恒成立，则f (x)mina(假设存在最值，下同)；若f (x)a对任意xd恒成立，则f (x)maxa.(2)对于存在性不等式：若f (x)a，xd使其成立，则f (x)maxa；若f (x)a，xd使其成立，则f (x)mina.由以上可知，对于恒成立的不等式和存在性不等式，在取最值时“恰好是相反的”1设函数f (x)的图象如图所示，则导函数f (x)的图象可能为()cf (x)在(，1)，(4，)上是减函数，在(1，4)上为增函数，当x1或x4时，f (x)0；当1x4时，f (x)0.故选c.2函数f (x)(x3)ex的单调递增区间是()a(，2)b(0，3)c(1，4)d(2，)df (x)ex(x3)ex(x2)ex，由f (x)0得(x2)ex0，x2.f (x)的单调递增区间为(2，)3若函数f (x)x3ax21在区间(0，2)内单调递减，则实数a的取值范围是()a0a3ba2ca3da3c函数f (x)x3ax21在(0，2)内单调递减，f (x)3x22ax0在(0，2)内恒成立，即ax在(0，2)内恒成立x3，a3.故答案为c.4函数f (x)x2ln x的单调递减区间为_(0，1)函数的定义域为(0，)，且：f (x)x，求解不等式：0，结合函数的定义域可得：0x1，则函数f (x)x2ln x的单调递
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