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2020_2021学年新教材高中数学第六章计数原理6.3.2二项式系数的性质学案含解析新人教A版选择性必修第三册202103251178.docx
2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包16套新人教A版选择性必修第三册
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2020_2021学年新教材高中数学全一册学案含解析打包16套新人教a版选择性必修第三册,文本
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第七章 随机变量及其分布7.1条件概率与全概率公式最新课标(1)结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率(2)结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系(3)结合古典概型，会利用乘法公式计算概率(4)结合古典概型，会利用全概率公式计算概率教材要点要点一条件概率一般地，设a，b为两个随机事件，且p(a)0，我们称_为在事件a发生的条件下，事件b发生的条件概率，简称条件概率(1)所谓的条件概率，是试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上一定的条件)，求另一事件在此条件下发生的概率(2)在条件概率的概念中，要强调p(a)0.当p(a)0时，p(b|a)0.(3)由条件概率的概念可知，p(b|a)与p(a|b)是不同的另外，在事件a发生的条件下，事件b发生的概率不一定是p(b)，即p(b|a)与p(b)不一定相等(4)p(b|a)可变形为p(ab)p(b|a)p(a)，即只要知道其中两个值就可以求得第三个值(5)在事件a发生的情况下，事件b发生等价于事件a和事件b同时发生，即事件ab发生求p(b|a)时，可把a看成新的基本事件空间来计算b发生的概率，即p(b|a).这样除条件概率的概念外，我们可以得到条件概率的另一种计算方法要点二条件概率的性质(1)p(|a)1.(2)如果b和c是两个互斥事件，则p(bc|a)_(3)设和b互为对立事件，则p(|a)1p(b|a).利用公式p(bc|a)p(b|a)p(c|a)求条件概率可使复杂的问题变得较为简单，但应注意这个性质是在“事件b与事件c互斥”这一前提下才具备的这个性质的推导过程如下：因为事件b与事件c互斥，所以(bc)abaca，且事件ba与事件ca互斥，所以p(bc|a)p(b|a)p(c|a).要点三全概率公式全概率公式：一般地，设a1，a2，an是一组两两互斥的事件，a1a2an，且p(ai)0，i1，2，n，则对任意的事件b，有_，我们称为全概率公式基础自测1.判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)p(b|a)p(ab).()(2)事件a发生的条件下，事件b发生，相当于a，b同时发生()(3)p(a|a)0.()(4)p(b|a)p(a|b).()2.已知甲在上班途中要经过两个路口，第一个路口遇见红灯的概率为0.5.两个路口连续遇到红灯的概率为0.4.则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为()a0.6b0.7 c0.8d0.93.已知p(b|a)，p(ab)，则p(a)等于()a b c d题型一条件概率的有关计算师生共研例1(1)一袋中装有除颜色外完全相同的5个红球和2个白球，如果不放回地依次取2个小球在第1次取到红球的条件下，第2次取到红球的概率是()a bc d(2)一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，做不放回抽取设事件a为“第一次取到的是一等品”，事件b为“第二次取到的是一等品”，则p(b|a)_方法归纳根据条件概率的概念(公式)计算条件概率的两种方法：(1)在缩小后的样本空间a中计算事件b发生的概率，即p(b|a)；(2)在原样本空间中，先计算p(ab)，p(a)，再按公式p(b|a)，计算求得p(b|a).注意：p(ab)，p(b|a)，p(a|b)，p(a)，p(b)之间关系的应用，即p(b|a)，p(a|b)，p(ab)p(a|b)p(b)p(b|a)p(a).跟踪训练1(1)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是()a0.665 b0.564 c0.245 d0.285(2)由“0”“1”组成的三位数码组中，若用a表示“第二位数字为0”的事件，用b表示“第一位数字为0”的事件，则p(a|b)()a bc d题型二条件概率性质的应用师生共研例21号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，先随机从1号箱中取出一个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出一个球，问从2号箱中取出红球的概率是多少？从2号箱中取出红球的概率取决于从1号箱中取出的球的颜色，因此要对1号箱中所取球的颜色分类：一类是从1号箱中取出白球的条件下，从2号箱中取出红球；一类是从1号箱中取出红球的条件下，从2号箱中取出红球，利用条件概率的计算公式及性质进行求解方法归纳(1)把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件之和，求出这些较简单事件的概率(2)再利用p(bc|a)p(b|a)p(c|a)便可求得所求事件的概率，但应注意这个公式在“b与c互斥”这一前提下才成立跟踪训练2将外形相同的球分别装入三个盒子，每盒10个其中，第一个盒子中有7个球标有字母a，3个球标有字母b；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球2个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母a的球，则在第二个盒子中任取一个球；若在第一个盒子中取得标有字母b的球，则在第三个盒子中任取一个球如果第二次取出的是红球，那么试验成功，则试验成功的概率为_题型三全概率公式的应用师生共研影响从乙盒中取2个红球概率的关键因素是什么？例3设甲盒有3个白球，2个红球，乙盒有4个白球，1个红球现从甲盒任取2球放入乙盒，再从乙盒任取2球，求从乙盒取出2个红球的概率方法归纳利用全概率公式求概率的一般步骤：(1)找出条件事件里的某一个完备事件，分别命名ai.(2)命名目标的概率事件为事件b.(3)代入全概率公式求解跟踪训练3设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第1，2车间生产的成品比例为23，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率易错辨析混淆条件概率p(b|a)与积事件的概率p(ab)致错例4袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球(只有颜色不同)，不放回抽取，每次任取一球，取两次，求：(1)第二次才取到黄球的概率；(2)取出的两个球的其中之一是黄球时，另一个也是黄球的概率解析：(1)设a表示“第一次取到白球”，b表示“第二次取到黄球”，c表示“第二次才取到黄球”则p(c)p(ab).(2)记d表示“其中之一是黄球”，e表示“两个都是黄球”，f表示“其中之一是黄球时，另一个也是黄球”则p(f)p(e|d).【易错警示】易错原因求解第(1)小题时易误认为p(c)p(b|a).求解第(2)小题时易误认为p(f)p(e).产生以上错解的原因是不理解p(ab)与p(b|a)的含义纠错心得解题时，先要正确理解并区分条件概率与积事件的概率，p(b|a)表示在已知事件a发生的条件下，事件b发生的概率，而p(ab)表示事件a与事件b同时发生的概率，然后正确选择相应的计算公式求解即可第七章随机变量及其分布71条件概率与全概率公式新知初探课前预习要点一p(b|a)要点二p(b|a)p(c|a)要点三p(b)(ai)p(b|ai)基础自测1(1)(2)(3)(4)2解析：设事件a表示“甲在第一个路口遇到红灯”，事件b表示“甲在第二个路口遇到红灯”由题意得p(ab)0.4，p(a)0.5，所以p(b|a)0.8.故选c.答案：c3解析：因为p(b|a)，所以p(a).故选c.答案：c题型探究课堂解透题型一例1解析：(1)设事件a为“第1次取到红球”，事件b为“第2次取到红球”，则p(a)，p(ab)，所以p(b|a).故选c.(2)将产品编号为1，2，3号的看作一等品，4号看作二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取得第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，事件a有9种情况，事件ab有6种情况p(b|a).答案：(1)c(2)跟踪训练1解析：(1)记事件a为“甲厂产品”，事件b为“合格产品”，则p(a)0.7，p(b|a)0.95，所以p(ab)p(a)p(b|a)0.70.950.665.故选a.(2)在第一位数字为0的条件下，第二位数字为0的概率为p(a|b).故选a.答案：(1)a(2)a题型二例2解析：设“从2号箱中取出红球”为事件a，“从1号箱中取出红球”为事件b，则p(b)，p()1p(b)，p(a|b)，p(a|)，所以p(a)p(aba)p(ab)p(a)p(a|b)p(b)p(a|)p().跟踪训练2解析：设事件a从第一个盒子中取得标有字母a的球，事件b从第一个盒子中取得标有字母b的球，事件r第二次取出的球是红球，事件w第二次取出的球是白球，则容易求得p(a)，p(b)，p(r|a)，p(w|a)，p(r|b)，p(w|b).事件“试验成功”表示为rarb，又事件ra与事件rb互斥，所以由概率的加法公式得p(rarb)p(ra)p(rb)p(r|a)p(a)p(r|b)p(b).答案：题型三例3解析：设a1“从甲盒取出2个红球”；a2“从甲盒取出2个白球”；a3“从甲盒取出1个白球1个红球”，b“从乙盒取出2个红球”；则a1，a2，a3互斥，且a1a2a3，所以bb(a1a2a3)ba1ba2ba3bp(b)p(a1ba2ba3b)p(a1b)p(a2b)p(a3b)p(a1)p(b|a1)p(a2)p(b|a2)p(a3)p(b|a3).跟踪训练3解析：设b“从仓库中随机提出的一台是合格品”，a1“提出的一台是第i车间生产的”，i1，2，则ba1ba2b，由题意知p(a1)，p(a2)，p(b|a1)0.85，p(b|a2)0.88，由全概率公式得p(b)p(a1)p(b|a1)p(a2)p(b|a2)0.40.850.60.880.868.7.2离散型随机变量及其分布列最新课标(1)通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列(2)通过具体实例，了解超几何分布，并能解决简单的实际问题教材要点要点一随机变量与离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有_的实数x()与之对应，我们称x为随机变量可能取值为_或可以_的随机变量，我们称为离散型随机变量用大写英文字母x，y，z等表示随机变量，用小写英文字母x，y，z等表示随机变量的取值(1)随机变量可将随机试验的结果数量化，如设随机变量x表示骰子掷出的点数，则x1，2，3，4，5，6，或者说x的取值范围是1，2，3，4，5，6有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但也可以用数来表示如掷一枚硬币，x0表示正面向上，x1表示反面向上(2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，随机变量的不同取值对应着试验的不同结果，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数，这些数是预先知道的可能值，但不知道究竟是哪一个值，这便是“随机”的本源(3)随机变量与函数既有联系又有区别，联系：它们都是一种映射，都是将一个对象映射为实数，区别：随机变量是把随机试验的结果映为实数，而函数则是把实数映为实数要点二离散型随机变量的分布列(1)分布列的定义：一般地，设离散型随机变量x的可能取值为x1，x2，xn，我们称x取每一个值xi的概率p(xxi)pi，i1，2，n为x的概率分布列，简称分布列，以表格的形式表示如下：xx1x2xnpp1p2pn1.离散型随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值时的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况2.离散型随机变量的分布列类似于函数，也有三种表示形式，即解析式、表格和图象，但离散型随机变量的分布列多是用表格或解析式表示(2)离散型分布列的性质：pi_，i1，2，n；p1p2pn_1.由于随机变量的各个可能取值之间彼此互斥，因此，随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和2.分布列的性质可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数要点三两点分布随机变量x的分布列是：x01p1pp我们称x服从_分布或_分布两点分布的试验结果只有两个可能，且其概率之和为1.基础自测1.判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个()(2)在离散型随机变量的分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数()(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值()(4)在离散型随机变量的分布列中，所有概率之和为1.()2.(多选题)下列变量中，是离散型随机变量的是()a掷5次硬币正面向上的次数mb某人每天早晨在某公共汽车站等某一路车的时间tc从标有数字1至4的4个小球中任取2个小球，这2个小球上所标的数字之和yd将一个骰子掷3次，3次出现的点数之和x3.下列表中能成为随机变量x的分布列的是()ax104p0.10.30.5bx2 0172 0182 019p0.40.70.1cx2 0172 0182 019p0.30.40.3dx123p0.30.40.54.已知离散型随机变量x的概率分布列如下：x0123pa则常数a的值为_题型一随机变量、离散型随机变量的判断自主完成1.(多选题)以下选项中说法正确，且所描述对象是离散型随机变量的是()a某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数x是一个随机变量b如果以测量仪的最小单位计数，测量的舍入误差x是一个随机变量c一个沿数轴进行随机运动的质点，它在数轴上的位置x是一个随机变量d某人射击一次中靶的环数x是一个随机变量2.写出下列随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果(1)一个袋中装有大小相同的2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数x；(2)抛掷两枚骰子各一次，第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差的绝对值y.方法归纳1.判断一个随机变量是不是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有可能取值是否可以一一列出，具体方法如下：(1)明确随机试验的所有可能结果；(2)将随机试验的结果数量化；(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量；若不能一一列出，则该随机变量不是离散型随机变量2.明确离散型随机变量的所有可能取值及取每一个值所对应的随机试验的结果，同时也要明确一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果题型二离散型随机变量的分布列微点探究微点1两点分布例1一个盒子中装有5个黄色玻璃球和4个红色玻璃球，从中摸出两球，记x求x的分布列方法归纳两点分布的两个特点：(1)两点分布只有两个结果，且是对应的(2)p(x0)1p(x1).微点2根据古典概型求分布列例2同时掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两枚骰子中出现的最大点数x的分布列微点3根据排列组合求分布列例3一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率(2)用x表示摸出的2个球中的白球个数，求x的分布列方法归纳求离散型随机变量的分布列的一般步骤：(1)确定随机变量的所有可能取值以及每个取值所表示的意义；(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率；(3)按规范形式写出分布列；(4)根据分布列的性质对结果进行检验，即检验分布列的概率和是不是1.跟踪训练1一个袋子中有5个大小相同的玻璃球，其编号分别为1，2，3，4，5，从中任取两个球，试构造两点分布的模型，求取出的两个球的最大编号大于3的概率，并列出两点分布列题型三离散型随机变量的分布列的性质及其应用微点探究微点1根据分布列求参数的值例4已知随机变量x的分布列如下：x0123p0.100.00.150.4为丢失的数据，则丢失的数据分别为()a2，0 b2，5c3，0 d3，5微点2根据分布列求概率例5设随机变量x的分布列为p(xi)ai(i1，2，3，4)，求：(1)p(x1x3)；(2)p.方法归纳1.利用分布列的性质检验分布列的正确性：利用性质1和性质2都可以检验分布列的正确性例如各个概率值都小于或等于1；所有的概率之和必须等于1.2.因为离散型随机变量在某一范围内的取值，包含有n个随机变量，而它们所对应的事件互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率跟踪训练2(1)若随机变量x的分布列为x210123p0.10.20.20.30.10.1则当p(xa)0.5时，实数a的取值范围是()a(，0 b0，1c(0，1 d(1，2(2)某一射手射击所得的环数x的分布列如下：x45678910p0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数7”的概率为_易错辨析对离散型随机变量分布列的性质认识不够致错例6设x是一个离散型随机变量，其分布列为x01p6a2a37a则常数a的值为()a b1c或1 d或1解析：由离散型随机变量分布列的性质可得解得a.故选a.答案：a【易错警示】易错原因本题易由离散型随机变量分布列的性质得6a2a37a1，解得a或a1，从而错选c.产生此种错解的原因在于仅注意到随机变量x的分布列满足概率和为1，忽略了0pi1(i1，2).纠错心得牢记离散型随机变量分布列的两条性质是解题的关键72离散型随机变量及其分布列新知初探课前预习要点一唯一有限个一一列举要点二01要点三两点01基础自测1(1)(2)(3)(4)2解析：选项a，c，d均能一一列出，而b不能一一列出，故选acd.答案：acd3解析：选项a，d不满足分布列的基本性质p1p2pipn1，选项b不满足分布列的基本性质pi0.故选c.答案：c4解析：由分布列的性质可得a1，解得a.答案：题型探究课堂解透题型一1解析：a，b，c，d中所描述的对象都是随机变量根据离散型随机变量的定义可知，a，d中的x的所有可能取值可以一一列举出来，因此是离散型随机变量，而b，c中的x可以取某一区间内的一切值，不能一一列举出来，因此不是离散型随机变量故选ad.答案：ad2解析：(1)x的所有可能取值为0，1，2.x0表示所取的3个球是3个黑球；x1表示所取的3个球是1个白球，2个黑球；x2表示所取的3个球是2个白球，1个黑球(2)y的所有可能取值为0，1，2，3，4，5.用(a，b)表示一个基本事件，其中a为第一枚骰子掷出的点数，b为第二枚骰子掷出的点数y0表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的基本事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6).y1表示掷出的两枚骰子的点数相差1，其包含的基本事件有(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，(4，5)，(5，4)，(5，6)，(6，5)y2表示掷出的两枚骰子的点数相差2，其包含的基本事件有(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)，(4，6)，(6，4).y3表示掷出的两枚骰子的点数相差3，其包含的基本事件有(1，4)，(4，1)，(2，5)，(5，2)，(3，6)，(6，3).y4表示掷出的两枚骰子的点数相差4，其包含的基本事件有(1，5)，(5，1)，(2，6)，(6，2).y5表示掷出的两枚骰子的点数相差5，其包含的基本事件有(1，6)，(6，1).题型二例1解析：因为x服从两点分布，所以p(x0)，p(x1)1.所以x的分布列为x10p例2解析：同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上一面出现的点数有36种等可能的情况，x的可能取值为1，2，3，4，5，6，如下表：x出现的点数情况数1(1，1)12(2，2)，(2，1)，(1，2)33(3，3)，(3，2)，(3，1)，(2，3)，(1，3)54(4，4)，(4，3)，(4，2)，(4，1)，(3，4)，(2，4)，(1，4)75(5，5)，(5，4)，(5，3)，(5，2)，(5，1)，(4，5)，(3，5)，(2，5)，(1，5)96(6，6)，(6，5)，(6，4)，(6，3)，(6，2)，(6，1)，(5，6)，(4，6)，(3，6)，(2，6)，(1，6)11由古典概型可知x的分布列为x123456p例3解析：一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有c10(种)情况(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为a，p(a).即摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.(2)x的所有可能取值为0，1，2.p(x0)，p(x1)，p(x2).故x的分布列为：x012p跟踪训练1解析：设取出两球的较大编号是否大于3用x表示，令x事实上，x服从两点分布从5个大小相同的玻璃球中任取两个球的不同结果有c10种，其中，最大的编号为2的概率为，最大的编号为3的概率为.p(x0)，取出的两个球的最大编号大于3的概率p(x1)1p(x0).两点分布列为x01p题型三例4解析：由离散型随机变量分布列的性质，得0.100.00.150.41，即0.00.40.75，比较十分位和百分位的数字可知，04的为5，0.0的为3.故选d.答案：d例5解析：题目中所给的x的分布列为x1234pa2a3a4a由离散型随机变量的分布列的性质得a2a3a4a1，解得a.(1)p(x1x3)p(x1)p(x3).(2)pp(x1)p(x2).跟踪训练2解析：(1)由随机变量x的分布列，可得p(x1)0.1，p(x0)0.3，p(x0)0.5，p(x1)0.5，则当p(xa)0.5时，a(0，1.故选c.(2)根据射手射击所得的环数x的分布列，有p(x7)0.09，p(x8)0.28，p(x9)0.29，p(x10)0.22.所求的概率为p(x7)0.090.280.290.220.88.答案：(1)c(2)0.887.3离散型随机变量的数字特征最新课标通过具体实例，理解离散型随机变量的数字特征(均值、方差)7.3.1离散型随机变量的均值教材要点要点一离散型随机变量的均值及其性质(1)定义：一般地，若离散型随机变量x的分布列为：xx1x2xnpp1p2pn则称e(x)_为随机变量x的均值或数学期望，数学期望简称期望(2)含义：反映了随机变量取值的_(3)性质：e(axb)_，其中a，b为常数1.均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数2.离散型随机变量的均值e(x)是一个数值，是随机变量x本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平3.由离散型随机变量的均值的定义可知，它与离散型随机变量有相同的单位要点二两点分布的均值若x服从两点分布，则e(x)_基础自测1.判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)随机变量x的均值e(x)是一个变量，它随样本的改变而改变()(2)随机变量的均值与样本的平均值相同()(3)若随机变量x的均值e(x)2，则e(2x)4.()(4)常数的数学期望就是这个常数本身()2.已知随机变量满足p(1)0.3，p(0)0.7，则e()()a0.3 b0.6c0.7 d13.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数的均值是()a0.6 b1c3.5 d24.已知某一随机变量x的分布列如下表：x3b8p0.20.5a且e(x)6，则a_，b_题型一两点分布的均值自主完成1.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果运动员甲罚球命中的概率是0.8，记运动员甲罚球1次的得分为x，则e(x)等于()a0.2 b0.4 c0.8 d12.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得1分，则得分x的均值为_方法归纳若离散型随机变量x服从两点分布，用两点分布的均值公式求解题型二求离散型随机变量的均值微点探究微点1利用离散型随机变量的均值的性质求均值例1已知随机变量x的分布列为：x21012pm若y2x，则e(y)_变式探究1本例条件不变，若y2x3，求e(y).变式探究2本例条件不变，若ax3，且e()，求a的值方法归纳若给出的随机变量与x的关系为axb，(a，b)为常数，求e()的两种思路：一是先求出e(x)，再利用公式e(axb)ae(x)b求e().二是利用x的分布列得到的分布列，关键由x的取值计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得e().跟踪训练1(1)设的分布列为1234p又设25，则e()等于()a bc d(2)若随机变量的分布列如下表所示，e()1.6，则ab()0123p0.1ab0.1a.0.2 b0.2c0.8 d0.8微点2利用离散型随机变量的均值的定义求均值例2一个盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)x表示所取3张卡片上的数字的中位数，求x的分布列与数学期望(注：若三个数a，b，c满足abc，则称b为这三个数的中位数)方法归纳求离散型随机变量x的均值的步骤：(1)理解x的实际意义，并写出x全部可能的取值；(2)求出x取每个值时的概率；(3)写出x的分布列(有时也可省略)；(4)利用定义公式e(x)x1p1x2p2xipixnpn求出均值其中第1、2步是解答此类题目的关键跟踪训练2在一场娱乐晚会上，有5名民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众必须独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5名歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选3号歌手且观众乙未选3号歌手的概率；(2)x表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求x的分布列及数学期望题型三实际应用中的决策问题师生共研例3某柑橘基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施若实施方案一，预计当年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案二，预计当年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案时，第二年与第一年相互独立记i(i1，2)表示方案i实施两年后柑橘产量达到灾前产量的倍数(1)写出1，2的分布列； (2)实施哪种方案，两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？(3)不管哪种方案，如果实施两年后柑橘产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑橘产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；两年后柑橘产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元问：实施哪种方案所带来的平均效益更大？(1）两种方案都需要实施两年，随机变量1，2的取值应是两年实施效果的累计，且两年是相互独立的，可采用独立事件的概率公式计算随机变量取某些值时的概率；(2）根据第(1）问中的分布列，分别计算两年后柑橘产量超过灾前产量的概率，然后进行比较即可；(3）列出收益分布列，计算数学期望，进行比较方法归纳解决实际问题的三个步骤(1）审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些(2）确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值(3）对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论跟踪训练3某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品(1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x，求x3的概率；(2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？73离散型随机变量的数字特征73.1离散型随机变量的均值新知初探课前预习要点一x1p1x2p2xnpnipi平均水平ae(x)b要点二p基础自测1(1)(2)(3)(4)2解析：因为随机变量服从两点分布，且p(1)0.3，所以e()0.3.故选a.答案：a3解析：抛掷骰子所得点数的分布列为123456p所以e()1234563.5.故选c.答案：c4解析：由0.20.5a1，得a0.3.又由e(x)30.2b0.58a6，得b6.答案：0.36题型探究课堂解透题型一1解析：由题意知，x的所有可能取值为0，1，p(x0)10.80.2，p(x1)0.8，所以e(x)00.210.80.8.故选c.答案：c2解析：由题意知p(x1)，p(x1)，e(x)1(1)0.答案：0题型二例1解析：由随机变量分布列的性质，得m1，解得m，所以e(x)(2)(1)012.由y2x，得e(y)2e(x)，即e(y)2.答案：变式探究1解析：由公式e(axb)ae(x)b及e(x)得，e(y)e(2x3)2e(x)323.变式探究2解析：因为e()e(ax3)ae(x)3a3，所以a15.跟踪训练1解析：(1)由题意得，e()1234，则e()e(25)2e()525.故选d.(2)因为分布列中所有概率和为1，所以ab0.8，因为e()1.6，所以a2b0.31.6，a2b1.3，解得a0.3，b0.5，ab0.2，故选b.答案：(1)d(2)b例2解析：(1)由古典概型的概率计算公式知，所求概率p.(2)x的所有可能取值为1，2，3，且由题意知p(x1)，p(x2)，p(x3)，故x的分布列为x123p所以e(x)123.跟踪训练2解析：(1)设a表示事件“观众甲选3号歌手”，b表示事件“观众乙选3号歌手”，则p(a)，p(b).事件a与b相互独立，观众甲选3号歌手且观众乙未选3号歌手的概率为p(a )p(a)p()p(a)1p(b)(或p(a ).(2)设c表示事件“观众丙选3号歌手”，则p(c).x的所有可能取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为p(x0)p( )，p(x1)p(a )p( b )p( c)，p(x2)p(ab )p(a c)p( bc)，p(x3)p(abc)，x的分布列为x0123px的数学期望e(x)0123.题型三例3解析：(1)1所有可能的取值为0.8，0.9，1.0，1.125，1.25；2所有可能的取值为0.8，0.96，1.0，1.2，1.44.1，2的分布列分别为10.80.91.01.1251.25p0.20.150.350.150.1520.80.961.01.21.44p0.30.20.180.240.08(2)令事件a、b分别表示方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量，由(1)可得，p(a)0.150.150.3，p(b)0.240.080.32.可见，方案二两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大(3)令i(i1，2)表示方案i所带来的效益，由题意及(1)易得1，2的分布列分别为1101520p0.350.350.32101520p0.50.180.32所以e(1)100.35150.35200.314.75(万元)，e(2)100.5150.18200.3214.1(万元).可见，方案一所带来的平均效益更大跟踪训练3解析：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响记“这两人的累计得分x3”为事件a，则事件a包含“x0”“x2”“x3”三个两两互斥的事件，因为p(x0)，p(x2)，p(x3)，所以p(a)p(x0)p(x2)p(x3)，即这两人的累计得分x3的概率为.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为x1，都选择方案乙所获得的累计得分为x2，则x1，x2的分布列如下x1024px2036p所以e(x1)024，e(x2)036.因为e(x1)e(x2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大7.3.2离散型随机变量的方差教材要点要点离散型随机变量的方差与标准差1.定义：设离散型随机变量x的分布列为xx1x2xnpp1p2pn我们称d(x）_，为随机变量x的方差，并称为随机变量x的标准差，记为(x）.2.含义：反映了随机变量取值的离散程度方差或标准差_，随机变量的取值越集中；方差或标准差_，随机变量的取值越分散3.性质：d(axb）_随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差基础自测1.判断正误(正确的画“”，错误的画“”）(1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定(）(2）若a是常数，则d(a）0.(）(3）随机变量的方差即为总体方差，不随抽样样本的不同而不同(）(4）标准差与随机变量本身有相同的单位(）2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为d(x甲）11，d(x乙）3.4.由此可以估计(）a甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐b乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐c甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同d甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较3.已知随机变量x的分布列如下，则x的标准差为(）x135p0.40.1ma.0.95 bc0.7 d4.已知随机变量的分布列为p(k），k1，2，3，则d(35）_题型一离散型随机变量的方差与标准差师生共研例1(1）甲、乙两人对目标各射击一次，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，若命中目标的人数为x，则d(x）(）a bc d(2）根据以往的经验，某工程施工期间的降水量x(单位：mm）对工期的影响如下表所示降水量xx300300x700700x0），且e(y）10，d(y）4，则a与b的值分别为(）aa10，b3 ba3，b10ca5，b6 da6，b5(2）已知随机变量x的分布列为x010205060p若y2xe(x），则d(y）_题型三方差的实际应用师生共研例3有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点工程，为了对重点工程负责，政府到两建材厂抽样检查，从中各取等量的样品检查它们的抗拉强度，抗拉强度的分布列分别如下：110120125130135p0.10.20.40.10.2100115125130145p0.10.20.40.10.2其中和分别表示甲、乙建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，那么哪个建材厂的材料稳定性较好？先计算出e(）和e(），比较两种材料抗拉强度的均值，再计算出d(）和d(），比较两种材料的稳定性方法归纳在衡量随机变量的实际决策问题中，一般先计算均值，比较随机变量平均水平的高低，再计算方差，比较随机变量取值的稳定性跟踪训练3为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量，甲、乙两名射手在每
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