人人文库网 > 教育资料 > 中学教育 > 2020_2021学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程教案打包12套新人教A版选择性必修第一册
2020_2021学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.42.4.2圆的一般方程教案新人教A版选择性必修第一册202010202127.doc
2020_2021学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程教案打包12套新人教A版选择性必修第一册
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2020_2021学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程教案打包12套新人教a版选择性必修第一册,文本
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2.4.2圆的一般方程学 习 目 标核 心 素 养1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径(重点)2.会在不同条件下求圆的一般方程(重点)1. 通过圆的一般方程的推导，提升逻辑推理、数学运算的数学素养.2. 通过学习圆的一般方程的应用，培养数学运算的数学素养.(1)把(xa)2(yb)2r2展开是一个什么样的关系式？(2)把x2y2dxeyf0配方后，将得到怎样的方程？这个方程一定表示圆吗？在什么条件下一定表示圆？这就是今天我们将要研究的问题圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念当d2e24f0时，二元二次方程x2y2dxeyf0叫做圆的一般方程其中圆心为，圆的半径为r.(2)对方程x2y2dxeyf0的讨论d2e24f0时表示圆d2e24f0时表示点.d2e24f0时，不表示任何图形思考：方程ax2bxycy2dxeyf0表示圆的条件是什么？提示ac0，b0且d2e24f0.1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程x2y2dxeyf0表示圆()(2)利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系()(3)圆的标准方程与一般方程可以相互转化()(4)利用待定系数法求圆的一般方程时，需要三个独立的条件()提示(1)(2)(3)(4)2若方程x2y22x2y 2210表示圆，则的取值范围是()a(1，)bc(1，)dra因为方程x2y22x2y2210表示圆，所以d2e24f0，即42424(221)0，解不等式得1，即的取值范围是(1，)故选a.3圆的方程为(x1)(x2)(y2)(y4)0，则它的圆心坐标为_圆的方程整理为x2y2x2y100，配方得2(y1)2，所以圆心为.4过点(0,0)，(4,0)和(0,6)三点的圆的一般方程为_x2y24x6y0三点构成的三角形为直角三角形，且圆心坐标为(2,3)，半径r.方程为(x2)2(y3)213，一般方程为x2y24x6y0.圆的一般方程的认识【例1】(1)若方程x2y22ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_(2)下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心坐标和半径长x2y24x0；2x22y23x4y60；x2y22ax0.(1)(，1)把方程配方得(xa)2(ya)21a，由条件可知1a0，即a1.(2)解方程可变形为(x2)2y24，故方程表示圆，圆心为c(2,0)，半径r2.方程可变形为22(y1)2，此方程无实数解故方程不表示任何图形原方程可化为(xa)2y2a2.当a0时，方程表示点(0,0)，不表示圆；当a0时，方程表示以(a,0)为圆心，|a|为半径的圆判断方程x2y2dxeyf0是否表示圆，关键是将其配方，最后转化为判断d2e24f的正负问题跟进训练1下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径(1)2x2y27y50；(2)x2xyy26x7y0；(3)x2y22x4y100；(4)2x22y25x0.解(1)方程2x2y27y50中x2与y2的系数不相同，它不能表示圆(2)方程x2xyy26x7y0中含有xy这样的项，它不能表示圆(3)方程x2y22x4y100化为(x1)2(y2)25，它不能表示圆(4)方程2x22y25x0化为y2，它表示以为圆心，为半径长的圆.求圆的一般方程【例2】已知abc的三个顶点为a(1,4)，b(2,3)，c(4，5)，求abc的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径解法一：设abc的外接圆方程为x2y2dxeyf0，a，b，c在圆上，abc的外接圆方程为x2y22x2y230，即(x1)2(y1)225.外心坐标为(1，1)，外接圆半径为5.法二：kab，kac3，kabkac1，abac.abc是以角a为直角的直角三角形，外心是线段bc的中点，坐标为(1，1)，r|bc|5.外接圆方程为(x1)2(y1)225.确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心(a，b)和半径r，一般步骤为：(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)；(2)根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；(3)解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程跟进训练2已知圆c：x2y2dxey30，圆心在直线xy10上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程解圆心c，圆心在直线xy10上，10，即de2.又半径长r，d2e220.由可得或又圆心在第二象限，0，即d0.则故圆的一般方程为x2y22x4y30.与圆有关的轨迹问题探究问题1求轨迹方程与轨迹有什么区别？提示轨迹是一个图形，比如是直线、圆之类，而轨迹方程是这个图形的方程2已知动点m到点(8,0)的距离等于点m到点(2,0)的距离的2倍，你能求出点m的轨迹方程吗？提示设m(x，y)，由题意有2，整理得点m的轨迹方程为x2y216.【例3】点a(2,0)是圆x2y24上的定点，点b(1,1)是圆内一点，p，q为圆上的动点(1)求线段ap的中点m的轨迹方程；(2)若pbq90，求线段pq的中点n的轨迹方程思路探究(1)(2)解(1)设线段ap的中点为m(x，y)，由中点公式得点p坐标为(2x2,2y)点p在圆x2y24上，(2x2)2(2y)24，故线段ap的中点m的轨迹方程为(x1)2y21.(2)设线段pq的中点为n(x，y)，在rtpbq中，|pn|bn|.设o为坐标原点，连接on(图略)，则onpq，|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，x2y2(x1)2(y1)24，故线段pq的中点n的轨迹方程为x2y2xy10.1在本例条件不变的情况下，求过点b的弦的中点t的轨迹方程解设t(x，y)因为点t是弦的中点，所以otbt.当斜率存在时有kotkbt1.即1，整理得x2y2xy0.当x0或1时点(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)也都在圆上故所求轨迹方程为x2y2xy0.2本例条件不变，求bp的中点e的轨迹方程解设点e(x，y)，p(x0，y0)b(1,1)，整理得x02x1，y02y1，点p在圆x2y24上，(2x1)2(2y1)24，整理得点e的轨迹方程为x2y2xy0.1直接法求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点m 的坐标(x，y)；(2)列出点m 满足条件的集合；(3)用坐标表示上述条件，列出方程；(4)将上述方程化简；(5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点2代入法求轨迹方程的一般步骤(1)建立适当坐标系，设出动点m的坐标为(x，y)；(2)建立x，y与相关点的坐标x0，y0的方程；(3)用x，y表示x0，y0；(4)把(x0，y0)代入到相关点满足的方程；(5)化简方程为最简形式1求圆的方程时，如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数d，e，f.2圆的方程的几种特殊情况一般方程x2y2dxeyf0(d2e24f0)过原点x2y2dxey0圆心在x轴上x2y2dxf0(d24f0)圆心在y轴上x2y2eyf0(e24f0)3.求涉及到曲线的轨迹问题时，一般有两种方法：一是直接法，即把动点满足的条件直接用坐标“翻译”过来的方法；二是代入法，代入法也叫相关点法，就是把动点(x，y)与相关点(x0，y0)建立等式，再把x0，y0用x，y表示后代入到它所满足的曲线的方法解题时要注意条件的限制1方程2x22y24x8y100表示的图形是()a一个点b一个圆c一条直线d不存在a方程2x22y24x8y100，可化为x2y22x4y50，即(x1)2(y2)20，方程2x22y24x8y100表示点(1，2)2若方程x2y2xym0表示一个圆，则实数m的取值范围是()ambmcm2dm2a由d2e24f0得(1)2124m0，解得m，故选a.3若圆x2y22kx2y40关于直线2xy30对称，则实数k等于_2由条件可知，直线经过圆的圆心(k，1)，2k(1)30，解得k2.4设圆x2y24x2y110的圆心为a，点p在圆上，则pa的中心m的轨迹方程是_x2y24x2y10由条件知a(2
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