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2020_2021学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程章末综合提升教案新人教A版选择性必修第一册202010202130.doc
2020_2021学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程教案打包12套新人教A版选择性必修第一册
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2020_2021学年新教材高中数学第2章直线和圆的方程教案打包12套新人教a版选择性必修第一册,文本
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第2章 直线和圆的方程巩固层知识整合 提升层题型探究(教师独具)直线的倾斜角与斜率【例1】(1)已知直线l的倾斜角为，并且0120，直线l的斜率k的范围是()ak0bkck0或kdk0或k(2)已知某直线l的倾斜角45，又p1(2，y1)，p2(x2,5)，p3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值(1)c通过画图可知k或k0.故选c.(2)解由45，故直线l的斜率ktan 451，又p1，p2，p3都在此直线上，故kp1p2kp2p3kl，即1，解得x27，y10.求直线的倾斜角与斜率的注意点(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何的知识判断直线向上方向与x轴正向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围(2)当直线的倾斜角0，90)时，随着的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角(90，180)时，随着的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大跟进训练1已知直线axy20及两点p(2,1)，q(3,2)，若直线与线段pq相交，则实数a的取值范围是()aa或aba或acadaa因为直线axy20过定点a(0，2)，根据题意画出几何图形如图所示：直线axy20可化为yax2，因为p(2,1)，q(3,2)，则kap，kaq.若直线yax2与线段pq相交，即a或a，所以a或a.求直线的方程【例2】已知abc的顶点a(5,1)，ab边上的中线cm所在的直线方程为2xy50，ac边上的高bh所在的直线方程为x2y50.求：(1)ac所在的直线的方程；(2)点b的坐标思路探究(1)直线ac过a点且与bh垂直，可求直线方程(2)b点在直线bh上，线段ab的中点在中线cm上，列方程组求得b点坐标解(1)因为acbh，所以设ac所在的直线的方程为2xyt0.把a(5,1)代入直线方程2xyt0中，解得t11.所以ac所在的直线的方程为2xy110.(2)设b(x0，y0)，则ab的中点为.联立得方程组化简得解得故b(1，3)求直线方程的方法求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件是否具备时要另行讨论条件不满足的情况跟进训练2已知abc中，a(1,3)，ab，ac边上中线所在直线方程分别为x2y10和y10，求abc各边所在的直线方程. 解设ab，ac边上的中线分别为cd，be，其中d，e为中点， 点b在中线y10上， 设点b的坐标为(xb,1)点d为ab的中点，又点a的坐标为(1,3)，点d的坐标为.点d在中线cd：x2y10上，2210，xb5.点b的坐标为(5,1)点c在直线x2y10上，设点c的坐标为(2t1，t)ac的中点e的坐标为.点e在中线be：y1上，1，t1.点c的坐标为(3，1)，abc各边所在直线的方程为ab：x2y70，bc：x4y10，ac：xy20.两直线的平行、垂直及距离问题【例3】已知两条直线l1：axby40，l2：(a1)xyb0，求分别满足下列条件的a，b的值(1)直线l1过点(3，1)，并且直线l1与直线l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等思路探究(1)把(3，1)代入l1方程，同时运用垂直条件a1a2b1b20；(2)利用好平行条件及距离公式列方程解(1)l1l2，a(a1)(b)10.即a2ab0.又点(3，1)在l1上，3ab40.由解得a2，b2.(2)l1l2且l2的斜率为1a，l1的斜率也存在，1a，即b.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a1)xy0，l2：(a1)xy0.原点到l1与l2的距离相等，4，解得a2或a.因此或距离公式的运用(1)距离问题包含两点间的距离，点到直线的距离，两平行直线间的距离(2)牢记各类距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合(3)这类问题是高考考查的热点，在高考中常以选择题、填空题出现，主要考查距离公式以及思维能力跟进训练3已知直线l经过直线2xy50与x2y0的交点(1)点a(5,0)到l的距离为3，求l的方程；(2)求点a(5,0)到l的距离的最大值解(1)经过两已知直线交点的直线系方程为2xy5(x2y)0, 即(2)x(12)y50，所以3，即22520，所以或2.所以l的方程为x2或4x3y50.(2)由解得交点p(2,1)，过p作任一直线l(图略)，设d为点a到l的距离，则d|pa|(当lpa时等号成立)所以dmax|pa|.对称问题探究问题1怎样求点关于点的对称点？提示设出所求点坐标，利用中点坐标公式求解2怎样求点关于直线的对称点坐标？提示设出所求点坐标(x, y)，利用中点坐标公式建立关于x, y的第一个方程，再利用垂直关系建立x, y的另一个方程，然后通过联立方程解二元一次方程组求解【例4】光线通过点a(2, 3)，在直线l：xy10上反射，反射光线经过点b(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程解设点a(2,3)关于直线l的对称点为a(x0，y0)，则解之得，a(4，3)由于反射光线经过点a(4，3)和b(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y1(x1)，即4x5y10.解方程组得反射点p.所以入射光线所在直线的方程为y3(x2)，即5x4y20.综上，入射光线和反射光线所在直线的方程分别为5x4y20,4x5y10.1变结论在本例条件不变的情况下，求光线从a经反射后到达b点所经过的路程解由本例解析知，点a(2,3)关于直线l的对称点为a(4，3)所以从a发出光线经l反射后到达b的路程为|ab|.即|ab|.2变条件把本例条件中“直线l：xy10”改为“直线l为x轴”，其他条件不变，试求入射光线和反射光线所在直线的方程解点a(2,3)关于x轴对称点为a(2，3)反射光线方程为，即4xy50.又反射光线与x轴交点为.入射光线方程为，即4xy50.对称问题的求解策略(1)点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键(2)点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：两点连线与已知直线斜率乘积等于1；两点的中点在已知直线上(3)直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于此点对称的问题，这里需要注意的是两对称直线是平行的我们往往利用平行直线系去求解求圆的方程【例5】已知圆c和y轴相切，圆心在直线x3y0上，且被直线yx截得的弦长为2，求圆c的方程思路探究设标准方程，由相切可得dr，由圆心在直线上，可将(a，b)代入直线方程，由已知弦长可列出弦长公式通过方程组求解，从而得到圆的方程解设圆c的方程为(xa)2(yb)2r2.由圆c与y轴相切得|a|r，又圆心在直线x3y0上，a3b0，圆心c(a，b)到直线yx的距离为d，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形，()2r2.联立解方程组可得或故圆c的方程为(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29.1求圆的方程的方法求圆的方程主要是联立圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题2采用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选择圆的方程的某一形式(2)由题意得a, b, r(或d, e, f)的方程(组)(3)解出a, b, r(或d, e, f)(4)代入圆的方程跟进训练4已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数且与直线4x3y290相切，求圆的方程解设圆心为m(m,0)(mz)，由于圆与直线4x3y290相切，且半径为5，所以5，即|4m29|25，因为m为整数，故m1，故所求圆的方程为(x1)2y225.直线与圆的位置关系【例6】如图，在平面直角坐标系xoy中，已知以m为圆心的圆m：x2y212x14y600及其上一点a(2,4)(1)设圆n与x轴相切，与圆m外切，且圆心n在直线x6上，求圆n的标准方程；(2)设平行于oa的直线l与圆m相交于b，c两点，且bcoa，求直线l的方程思路探究(1)根据圆与x轴相切确定圆心位置，再根据两圆外切建立等量关系求半径；(2)根据垂径定理确定等量关系，求直线方程解圆m的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心m(6,7)，半径为5.(1)由圆心n在直线x6上，可设n(6，y0)因为n与x轴相切，与圆m外切，所以0y07，于是圆n的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆n的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线loa，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心m到直线l的距离d.因为bcoa2，而mc2d2，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.判断直线和圆的位置关系，一般用代数法或几何法，为避免繁杂的运算，最好用几何法，其解题思路是：先求出圆心到直线的距离d，然后比较所求距离d与半径r的大小关系，进而判断直线和圆的位置关系跟进训练5已知直线l：2mxy8m30和圆c：x2y26x12y200.(1)mr时，证明l与c总相交；(2)m取何值时，l被c截得的弦长最短，求此弦长解(1)证明：直线的方程可化为y32m(x4)，由点斜式可知，直线过点p(4, 3)由于42(3)26412(3)20150，所以点p在圆内，故直线l与圆c总相交(2)如图，当圆心c(3, 6)到直线l的距离最大时，线段ab的长度最短此时pcl，所以直线l的斜率为，所以m.在apc中，|pc|，|ac|r5，所以|ap|2|ac|2|pc|2251015，所以|ap|，所以|ab|2，即最短弦长为2.圆与圆的位置关系【例7】已知圆c1：x2y24x4y50与圆c2：x2y28x4y70.(1)证明圆c1与圆c2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；(2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程解(1)把圆c1与圆c2都化为标准方程形式，得(x2)2(y2)213，(x4)2(y2)213.圆心与半径长分别为c1(2,2)，r1；c2(4，2)，r2.因为|c1c2|2r1r2，所以圆c1与圆c2相切由得12x8y120，即3x2y30，就是过切点的两圆公切线的方程(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2y24x4y5(3x2y3)0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得.所以所求圆的方程为x2y24x4y5(3x2y3)0，即x2y28xy90.判断两圆位置关系的两种方法比较(1)几何法是利用两圆半径和或差与圆心距作比较，得到两圆位置关系(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，转化为方程组解的组数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系，但这种方法只能判断出不相交、相交和相切三种位置关系，而不能像几何法一样，能准确判断出外离、外切、相交、内切和内含五种位置关系跟进训练6.在平面直角坐标系xoy中，过点p(0,1)且互相垂直的两条直线分别与圆o：x2y24交于点a，b，与圆m：(x2)2(y1)21交于点c，d.若ab，求cd的长解因为ab，圆o半径为2，所以点o到直线ab的距离为，显然ab，cd都不平行于坐标轴可知ab：ykx1，即kxy10.则点o到直线ab的距离d，解得k.因为abcd，所以kcd，所以cd：yx1，即xkyk0.点m(2,1)到直线cd的距离d，所以cd22.培优层素养升华【例】已知圆c：x2y22x70内一点p(1,2)，直线l过点p且与圆c交于a，b两点(1)求圆c的圆心坐标和面积；(2)若直线l的斜率为，求弦ab的长；(3)若圆上恰有三点到直线l的距离等于，求直线l的方程思路探究(1)化圆的一般式为标准方程，得出圆c的圆心坐标为(1,0)，半径r2即可(2)先求圆心到直线的距离为d，再利用半径r，距离d，半弦长构成直角三角形求解即可(3)圆上恰有三点到直线l的距离等于，等价于圆心(1,0)到直线ab的距离为，利用点到直线的距离公式求解解(1)圆c的圆心坐标为(1,0)，半径r2，面积为s8.(2)直线l的方程为y2(x1)，即xy20，圆心到直线l的距离为d1，|ab|222.(3)因圆上恰有三点到直线l的距离等于，转化为圆心(1,0)到直线ab的距离为，当直线l垂直于x轴时，显然不合题意；设直线l的方程为y2k(x1)，即kxy2k0，由d，解得k1，故直线l的方程为xy30，或xy10.1.本题反映的是本章的重点热点问题，综合考查了圆的方程、直线的方程、距离公式、两直线的位置关系及直线与圆的位置关系2通过考查这些知识点和题型，培养了学生直观想象，逻辑推理
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