221平行四边形的性质

1、平行四边形平行四边形本课内容本节内容2.22.2.1 平行四边形的性质平行四边形的性质做一做做一做 在小学，在小学， 我们已经认识了平行四边形我们已经认识了平行四边形. 在图在图2-10 中找出平行四边形，并把它们勾画出来中找出平行四边形，并把它们勾画出来.图图2-10四边形四边形平行四边形平行四边形两组对边分别平行两组对边分别平行两组对边分别平行的四边形叫作两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形平行四边形.如图如图2-11，在四边形，在四边形abcd 中，中，adbc，abdc， 则四边形则四边形abcd是平行四边是平行四边形形.图图2-11 平行四边形平行四边形abcd记作记作“ abcd

2、” .探究探究图图2-12 每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平每位同学根据定义画一个平行四边形，测量平行四边形（或者图行四边形（或者图2-12中的中的abcd）四条边的长度、）四条边的长度、 四个角的大小，由此你能做出什么猜测？四个角的大小，由此你能做出什么猜测？你能证明吗？你能证明吗？ 通过观察和测量，通过观察和测量，我发现平行四边形的对我发现平行四边形的对边边相等、相等、对角对角相等相等. 这些猜测对吗？这些猜测对吗？ 下面我们来证明这个结论下面我们来证明这个结论.平行四边形的对边平行四边形的对边相相等、等、对角对角相等相等. 在图在图2-13的的abcd中，连接中，连接ac. 1=

3、2 ， 4=3. abdc ，bcad（平行四边形的两组对边分别平行）（平行四边形的两组对边分别平行）. .图图2-13 四边形四边形abcd为平行四边形，为平行四边形，又又 ac =ca， ab = cd，bc = da，b =d. abc cda. 又又1+4=2+ 3. 即即bad=dcb.图图2-13结论结论平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等平行四边形对边相等，平行四边形的对角相等.由此得到平行四边形的性质定理由此得到平行四边形的性质定理：例例1 如图如图2-14，四边形，四边形abcd和和bcef均为平行四边形，均为平行四边形， ad =2cm，a =65，e =33，求，求e

4、f和和bgc.举举例例图图2-14 四边形四边形abcd是平行四边形，是平行四边形， ad = bc = 2cm，1=a = 65. 四边形四边形bcef是平行四边形，是平行四边形， ef = bc = 2cm ，2 =e = 33. 在在bgc中，中，bgc = 180- -1 - -2 = 82.解解图图2-14所以所以ab=cd.如图如图2-15，直线，直线l1与与l2平行，平行，ab，cd是是l1与与l2之间的任之间的任意两条平行线段意两条平行线段. 试问：试问：ab与与cd是否相等？为什么？是否相等？为什么？图图2-15举举例例例例2 夹在两条平行夹在两条平行线间的平行线段相等线间的

5、平行线段相等.因为因为l1l2，abcd，所以四边形所以四边形abcd是平行四边形是平行四边形.解解 1. 如图，如图，abcd的一个外角为的一个外角为38，求，求a， b，bcd，d的度数的度数.练习练习答：答： a =142； b= 38 ； bcd= 142； d = 38 .2. 如图，在如图，在abcd中，中，abc= 68，be平分平分abc， 交交ad于点于点e. ab=2cm，ed=1cm.（1）求）求a，c，d的度数；的度数；（2）求）求abcd的周长的周长.（1）答：答： a =112； c= 112； d = 68 . ae = ab =2cm, ad= ae+ed=2+

6、1=3 ( (cm).). abcd的周长的周长=2 ( (ad+ ab) ) =2( (3+2) )=10 ( (cm).).abe=aeb.（2）解解 由已知可得由已知可得探究探究 如图如图2-16，四边形，四边形abcd是平行四边形，它的两条是平行四边形，它的两条对角线对角线ac与与bd相交于点相交于点o. 比较比较oa ，oc ，ob ，od 的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？的长度，有哪些线段相等？你能作出什么猜测？图图2-16图图2-16我发现我发现oa=oc，ob=od.图图2-16我猜测点我猜测点o 是每条对角线的中点是每条对角线的中点. 从而从而 1=2，3=4.所以

7、所以 oab ocd.( (asa) )于是于是 oa=oc，ob=od. 这个猜测对吗？这个猜测对吗？下面我们来进行证明下面我们来进行证明.如图如图2-17，由于四边形由于四边形abcd是平行四边形，是平行四边形，因此因此ab=cd，且，且abcd.图图 2-17结论结论平行四边形的对角线互相平分平行四边形的对角线互相平分.由此得到平行四边形的性质定理由此得到平行四边形的性质定理：如图如图2-18，在，在abcd中，对角线中，对角线ac与与bd相交于相交于点点o，ac=6，bd=10，cd=4.8. 试求试求cod的周长的周长.例例3113522ocac,odbd.又又 cd = 4.8，

8、cod的周长为的周长为3 + 5 + 4.8 = 12.8. ac，bd为平行四边形为平行四边形abcd的对角线，的对角线，解解图图2-18举举例例如图如图2-19，在，在abcd中，对角线中，对角线ac 与与bd相交于相交于点点o，过点，过点o的直线的直线mn分别交分别交ad，bc于点于点m，n.例例4求证：点求证：点o是线段是线段mn的中点的中点.图图2-19举举例例 adbc， mao =nco.又又aom=con， aomcon. om= on. ac，bd为为abcd的对角线，且相交于点的对角线，且相交于点o， oa = oc .证明证明图图2-19 点点o是线段是线段mn的中点的中

9、点. 1. 如图，如图，在在abcd中，中，bc=10cm，ac=8cm， bd=14cm . （1）aod的周长；的周长； （2）abc与与bcd的周长哪个长？长多少？的周长哪个长？长多少？练习练习答：答：（1）aod的周长是的周长是21cm. （2）bcd的周长比的周长比abc 的周长长，长的周长长，长6cm. 答：相等答：相等. 2. 平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线平行四边形一条对角线的两个端点到另一条对角线 的距离相等吗？为什么？的距离相等吗？为什么？mn证明：如右图所示，在证明：如右图所示，在abcd中，中， dmac于点于点m，dnac于点于点n . ac，bd为为a

10、bcd的对角线，的对角线， 且相交于点且相交于点o， ob = od .又又 aod=cob， rtdomrtbon. dm = bn.中考中考 试题试题例例1 如图，在如图，在abcd中，中，ac与与bd交于点交于点o，点点e是是bc边的中点，边的中点，oe=1，则，则ab的长是的长是 .解析解析四边形四边形abcd是平行四边形，是平行四边形，oc=oa，又又点点e是是bc边中点，边中点， oe为为abc的中位线，的中位线， ab=2，oe=2.2中考中考 试题试题例例2 如图，如图，abcd的的对角线对角线ac、bd相交于点相交于点o，点，点e是是cd的中点，的中点，abd的周的周长为长为16cm，则则 doe的周长是的周长是 cm.解析解析e是是cd的中点，的中点，o是是bd的中点，的中点，oe是是bcd的中位线，的中位线， doedbc，相似比为，相似比为1:2，又又dbc bda， doebda，相似比为，相似比为1:2，故故 doe的周长为的周长为116=8 cm .2()()8中考中考 试题试题例例3 如图，在如图，在abc