第11章在险价值

1、第十一章第十一章 在险价值在险价值 许多机构对他们从事的一些许多机构对他们从事的一些较新型较新型的交易，通常是与衍生的交易，通常是与衍生证券有关的交易，可能带来怎样的后果全然不知。证券有关的交易，可能带来怎样的后果全然不知。 在对如何使投资变得更透明的研究过程中，金融界发展出了在对如何使投资变得更透明的研究过程中，金融界发展出了一种度量投资或投资组合下方（一种度量投资或投资组合下方（downside）风险的概念，即）风险的概念，即在险价值在险价值( Value at Risk， 简称简称VaR）。 VaR方法提出的背景方法提出的背景 o1.传统的传统的资产负债管理资产负债管理过于依赖报表分析，

2、过于依赖报表分析，缺乏时效性缺乏时效性；o 2.利用利用方差及方差及系数系数来衡量风险太过于抽象，来衡量风险太过于抽象，不直观不直观，而且反，而且反映的只是市场（或资产）的波动幅度；映的只是市场（或资产）的波动幅度；o 3.CAPM（资本资产定价模型）又（资本资产定价模型）又无法揉合金融衍生品种无法揉合金融衍生品种。o在上述传统的几种方法都无法准确定义和度量金融风险时，在上述传统的几种方法都无法准确定义和度量金融风险时，G30集团在研究衍生品种的基础上，于集团在研究衍生品种的基础上，于1993年发表了题为年发表了题为衍生产衍生产品的实践和规则品的实践和规则的报告，提出了度量的报告，提出了度量市

3、场风险市场风险的的VaR方法，现方法，现已成为目前金融界测量市场风险的主流方法。已成为目前金融界测量市场风险的主流方法。1988年的年的巴塞尔资本协议巴塞尔资本协议及及1996年的修订年的修订oo 1996修订案中最大的变化就是在计算修订案中最大的变化就是在计算交易账户资本交易账户资本要求时要求时赋予了银行一种选择权，使得银行可以在满足一系列定性、定量赋予了银行一种选择权，使得银行可以在满足一系列定性、定量标准的前提下，在以下两种方式中作出选择：标准的前提下，在以下两种方式中作出选择：o 一是基于一系列固定系数的标准法；一是基于一系列固定系数的标准法；o 二是基于二是基于VaR的内部模型法。的

4、内部模型法。o 这是内部风险度量模型第一次朝着应用方向前进，此后的这是内部风险度量模型第一次朝着应用方向前进，此后的巴塞尔协议巴塞尔协议延续了这一趋势。延续了这一趋势。o 作者：作者：弗朗西斯科弗朗西斯科-萨伊塔萨伊塔出版社：出版社：机械工业出版社机械工业出版社 第一节第一节 在险价值的定义在险价值的定义 o 一、在险价值的定义一、在险价值的定义o 在险价值：是按某一确定的置信度，对某一给定的时间期限内在险价值：是按某一确定的置信度，对某一给定的时间期限内不利的市场变动可能造成投资组合的最大损失的一种估计。不利的市场变动可能造成投资组合的最大损失的一种估计。o 通俗地说通俗地说VaR是要在是要

5、在给定的置信度给定的置信度（典型的置信度为（典型的置信度为95、97.5、99等等）下衡量给定的资产或负债（即投资组合）在等等）下衡量给定的资产或负债（即投资组合）在一段一段给定的时间内给定的时间内（针对交易活动的时间可能选取为一天，而针对（针对交易活动的时间可能选取为一天，而针对投资组合管理的时间则可能选取为一个月）投资组合管理的时间则可能选取为一个月）可能发生的最大（价值）可能发生的最大（价值）损失。损失。o VaR 是一种对是一种对可能实现的价值损失可能实现的价值损失的估计的估计, 是一种是一种“账面账面”损损失估计。失估计。 o例：假设一个基金经理希望在接下来的例：假设一个基金经理希望

6、在接下来的10天时间内存在天时间内存在 95% 概率其所管理的基金价值损失不超过概率其所管理的基金价值损失不超过$1,000,000。则可以将。则可以将其写作：其写作：o 其中其中 为投资组合价值的变动。用符号表示为投资组合价值的变动。用符号表示, o 其中其中 为置信度为置信度,在本例中是在本例中是95% Prob(-$1,000,000)5%VProb(VaR)1%VX V%Xo定义中的两个参数定义中的两个参数时间长度时间长度 T 和置信度和置信度 X%。o（一）时间长度（一）时间长度o隐含的假设隐含的假设: 投资组合在所选择的时间内不会发生变化。投资组合在所选择的时间内不会发生变化。o在

7、选择合适的时间长度参数时必须考虑下列三个主要因素：在选择合适的时间长度参数时必须考虑下列三个主要因素：o1.新交易发生的新交易发生的频率频率o2.收集市场风险数据的收集市场风险数据的频率频率o3.对风险头寸套期保值（对冲）的对风险头寸套期保值（对冲）的频率频率 二、选择合适的二、选择合适的VaR参数参数o（二）置信度（二）置信度X% o 在计算在计算VaR中通常使用的置信度是中通常使用的置信度是95、97.5或或99。 o95置信度的含意是预期置信度的含意是预期100天中只有天中只有5天的损失天的损失可能超过可能超过对应对应的的VaR值。值。o VaR并没有告诉我们在可能超过并没有告诉我们在可

8、能超过VaR损失的时间内（如损失的时间内（如95置信度的置信度的5/100天中；或天中；或99的的1/100天中）的天中）的实际损失实际损失会是会是多少。多少。 o VaR的定义除了告诉我们损失大于某一水平的可能性之外，并的定义除了告诉我们损失大于某一水平的可能性之外，并没有提供任何关于整个收益没有提供任何关于整个收益/损失分布状况方面的信息。损失分布状况方面的信息。 o 图11.2 具有与图11.1相同VaR，但不同的尾部o基本上可以说，任何暴露在金融风险下的机构都应该应用基本上可以说，任何暴露在金融风险下的机构都应该应用VaR。VaR的最大特点是：的最大特点是：o它用一个单一的数字捕捉住风

9、险的一个重要方面；它用一个单一的数字捕捉住风险的一个重要方面；o它容易理解；它容易理解；o它询问简单的问题它询问简单的问题: “情况究竟有多糟糕情况究竟有多糟糕”? o根据根据VaR应用的历史发展，可以将其应用做如下划分：应用的历史发展，可以将其应用做如下划分：o1、被动式地应用：信息报告。、被动式地应用：信息报告。o2、防御式地应用：控制风险。、防御式地应用：控制风险。o3、积极式地应用：管理风险。、积极式地应用：管理风险。 三、三、VaR的使用的使用oVaRVaR正被全球广泛的公司机构所应用。归结起来，它们包括：正被全球广泛的公司机构所应用。归结起来，它们包括：o1 1、金融机构、金融机构

10、 金融机构通常需要处理大量的不同金融风险来源以金融机构通常需要处理大量的不同金融风险来源以及许多复杂的金融工具。大大提高了风险管理的效率。及许多复杂的金融工具。大大提高了风险管理的效率。o2 2、监管机构、监管机构 对金融机构审慎监管，要求金融机构为防范金融风对金融机构审慎监管，要求金融机构为防范金融风险，保证达到最低资本金要求。一种标准风险度量。险，保证达到最低资本金要求。一种标准风险度量。o3 3、非金融机构、非金融机构 在险现金流分析能为企业提供可能面临资金短缺在险现金流分析能为企业提供可能面临资金短缺的临界值。的临界值。o4 4、机构投资者、机构投资者 机构投资者现在也开始采用机构投资

11、者现在也开始采用VaRVaR来管理他们的金融来管理他们的金融风险。尤其是在险资本（风险。尤其是在险资本（capital at riskcapital at risk）的概念已被机构投资者）的概念已被机构投资者广泛接受。广泛接受。o在险价值主要针对的是在险价值主要针对的是:o1)金融市场风险金融市场风险;o2)VaR是在假定是在假定正态分布的市场环境正态分布的市场环境中计算出来的中计算出来的, 这意味着不考虑这意味着不考虑像市场崩盘这类极端的市场条件。像市场崩盘这类极端的市场条件。VaR度量的是机构度量的是机构日常经营日常经营期间预期间预期能够发生的情况。期能够发生的情况。oVaR的计算至少需要

12、下列数据的计算至少需要下列数据:o1）投资组合中所有资产的现价和波动率，）投资组合中所有资产的现价和波动率，2）资产之间的相关关系。）资产之间的相关关系。o如果资产是可交易的如果资产是可交易的,可以从市场得到资产的价格（盯市，可以从市场得到资产的价格（盯市，marking to market; 否则否则, 盯模盯模 marking to model）。）。第二节第二节 单一资产的在险价值计算单一资产的在险价值计算 o 例：假设有某一股票，价值为例：假设有某一股票，价值为 S ，年波动率为，年波动率为。我们想要。我们想要知道在接下来一个星期内具有知道在接下来一个星期内具有99% 确定性的最大可能

13、损失是多少。确定性的最大可能损失是多少。o在图在图 11.3 中体现了一个星期时间中收益率的可能分布状况。如中体现了一个星期时间中收益率的可能分布状况。如何估计何估计VaR? o 假定股票收益率是正态分布的。由于时间期限非常短假定股票收益率是正态分布的。由于时间期限非常短, 可以合可以合理地假定均值为零。理地假定均值为零。o 图 11.3 将来股票收益率的分布 o 在计算在计算VaR时，将波动率表达成日波动率或周波动率。严格时，将波动率表达成日波动率或周波动率。严格来说，应该将定义成一天中连续复利收益率的标准差。来说，应该将定义成一天中连续复利收益率的标准差。o 在实务中，通常假定它是一天百分

14、比变动的标准差。对于股在实务中，通常假定它是一天百分比变动的标准差。对于股票这样具有活跃交易市场的证券计算的时间期限是按票这样具有活跃交易市场的证券计算的时间期限是按交易日天数交易日天数来进行计算的。因此有：来进行计算的。因此有：252552yeardayweekdayyearweek一、波动率换算一、波动率换算o目的是目的是计算出对应计算出对应1%=(100-99)% 分布分布最左边的尾部位置最左边的尾部位置。o任何一个正态分布都可以通过因子换算来得到。即任何一个正态分布都可以通过因子换算来得到。即N(x)=0.01，其中其中 为标准正态分布的为标准正态分布的累计函数累计函数。设。设 为为

15、的的逆函数（如图逆函数（如图11.4所示），则：所示），则： o 即：即：99% 置信度对应于置信度对应于均值的均值的 2.33个标准差个标准差。o 一般地，如果时间期限是以天为单位，要求的置信度是一般地，如果时间期限是以天为单位，要求的置信度是X ,持持有价值为有价值为S的股票，则的股票，则VaR被确定为：被确定为： o （11.2）( )N( )N( )N(0.01)2.3263xN VaR-(1)daySNXT二、单个资产在险价值（二、单个资产在险价值（VaR）的计算）的计算图图 11.4 标准正态分布累积分布函数的逆函数标准正态分布累积分布函数的逆函数 置信度偏离均值的标准差数99%2

16、.32634298%2.05374897%1.8807996%1.75068695%1.64485390%1.281551表表11.1置信度与均值离差之间的关系置信度与均值离差之间的关系 o 收益率的标准差按时间的平方根比例变化，但均值按时间本身收益率的标准差按时间的平方根比例变化，但均值按时间本身的比例变化。的比例变化。o 对于较长的时间期限，收益率（如同人们所希望的）以时间的对于较长的时间期限，收益率（如同人们所希望的）以时间的比例量向右移。比例量向右移。 表达式表达式 (11.2) 应该考虑对资产价值的漂移应该考虑对资产价值的漂移()加加以修正。那么以修正。那么(11.2)式变成式变成

17、：o （11.3）VaR(1)daySTNXT较长时间的较长时间的VaR度量度量o假设：持有一个价值为假设：持有一个价值为 $100万的万的X公司的股票头寸，公司的股票头寸，X公司公司股票的日波动率为股票的日波动率为 3% ( 约为年约为年48% )，o假定该投资组合的价值变动是正态分布的，并且投资组合价值假定该投资组合的价值变动是正态分布的，并且投资组合价值的预期变动为零的预期变动为零 (这对很短的时间期限是正确的这对很短的时间期限是正确的)，计算，计算10 天天时间置信度为时间置信度为99的在险价值。的在险价值。 例例11.1o解：解：o在这个例子中，在这个例子中， T =10 和和 X

18、= 99， ，oS = $1,000,000。o根据公式（根据公式（11.2），有：），有： 0.03day第三节第三节 投资组合的在险价值计算投资组合的在险价值计算o 假定：投资组合的价值变化与市场标的变量的价值变化是假定：投资组合的价值变化与市场标的变量的价值变化是线性相关线性相关的；并且市场的；并且市场标的变量的价值变化是正态分布标的变量的价值变化是正态分布的。的。o 只要知道投资组合中所有资产的波动率及它们之间的相关系只要知道投资组合中所有资产的波动率及它们之间的相关系数，就能为整个的投资组合计算数，就能为整个的投资组合计算VaR。 o设投资组合由设投资组合由M个资产所组成。第个资产所

19、组成。第i 个资产的价值为个资产的价值为 ，波，波动率是动率是 ，而第，而第i 个资产和第个资产和第 j 个资产之间的相关系数是个资产之间的相关系数是 (其中其中 =1)。因此，该投资组合价值一天的变动为：。因此，该投资组合价值一天的变动为：o (11.4)o其中其中 为第为第i个资产一天的价值变动率，个资产一天的价值变动率，o 而而 为常数。为常数。1MiiiPxiiiiiSiix/iiixSS iiS一、线性模型一、线性模型o o （11.5）o o （11.6）211221 2MMPijijijjiMiiijijijiij 投资组合的投资组合的VaR是：是： 112i1VaR(1%)(1

20、%) VaRVaRVaRMMPPijijijjiMijijiijNXTNXT 投资组合的方差为：投资组合的方差为：o例例11.2o某一基金持有的投资组合由某一基金持有的投资组合由$100万美元投资于万美元投资于X公司股票和公司股票和$200万投资于万投资于Y公司股票构成。公司股票构成。oX公司股票的日波动率为公司股票的日波动率为3，而，而Y公司股票的日波动率为公司股票的日波动率为2，并且并且X公司股票与公司股票与Y公司股票收益率之间的相关系数为公司股票收益率之间的相关系数为0.5。o计算该投资组合计算该投资组合10天时间置信度为天时间置信度为99的在险价值（的在险价值（VaR）。）。o解：在这

21、个例子中解：在这个例子中o ， 。另外，。另外，N =10 和和 X = 99。o用公式（用公式（11.6）有（以百万美元表示）：）有（以百万美元表示）：o 所以该投资组合的所以该投资组合的VaR为为$448,184。 1,000,000XXS2,000,000YYS0.03X0.02Y0.5XY112222VaR(1%) (1%) 10 10.0320.022 1 0.03 2 0.02 0.5 2.33 3.1622777 0.06082760.448184MMPijijijjiNXTN 线性模型显然只适用于那些投资组合的价值与构成该组合的线性模型显然只适用于那些投资组合的价值与构成该组合

22、的市场变量市场变量呈线性相关呈线性相关的情况，这些情况包括：的情况，这些情况包括： 1.股票的投资组合；股票的投资组合； 2.债券的投资组合；债券的投资组合； 3.外汇的投资组合；外汇的投资组合； 4.商品实物的投资组合；商品实物的投资组合； 5.外汇远期合约的投资组合；外汇远期合约的投资组合； 6.利率互换和货币互换的投资组合；利率互换和货币互换的投资组合； 7.由上述工具共同构成的投资组合。由上述工具共同构成的投资组合。 远期和互换虽然是金融衍生工具，但它们都可以分解成相应的各远期和互换虽然是金融衍生工具，但它们都可以分解成相应的各种零息票债券交易种零息票债券交易 线性模型的适用范围线性模

23、型的适用范围VaR的特点的特点o第一，可以用来简单明了表示市场风险的大小。没有任何技第一，可以用来简单明了表示市场风险的大小。没有任何技术色彩，没有任何专业背景的投资者和管理者都可以通过术色彩，没有任何专业背景的投资者和管理者都可以通过VaR值值对金融风险进行评判；对金融风险进行评判； o第二，可以事前计算风险，不像以往风险管理的方法都是在第二，可以事前计算风险，不像以往风险管理的方法都是在事后衡量风险大小；事后衡量风险大小； o第三，不仅能计算单个金融工具的风险，还能计算由多个金第三，不仅能计算单个金融工具的风险，还能计算由多个金融工具组成的投资组合风险。这是传统金融风险管理所不能做到融工具

24、组成的投资组合风险。这是传统金融风险管理所不能做到的。的。 第四节第四节 衍生工具的在险价值衍生工具的在险价值o 估计包含衍生证券在内的投资组合的估计包含衍生证券在内的投资组合的VaR 关键在于，关键在于，即使即使基本标的证券价格的变动是正态的，衍生证券本质上的非线性基本标的证券价格的变动是正态的，衍生证券本质上的非线性意味着衍生证券价格的变动可能同正态分布相去甚远。意味着衍生证券价格的变动可能同正态分布相去甚远。o 如果所关心的是基本标的证券价格一个非常小的变化（比如果所关心的是基本标的证券价格一个非常小的变化（比如在一个很短的时间内），可以用期权的如在一个很短的时间内），可以用期权的del

25、ta 来近似投资组来近似投资组合对基本标的证券价格变化的敏感度。合对基本标的证券价格变化的敏感度。o对于较大的变动，可能需要采用某种高阶近似。对于较大的变动，可能需要采用某种高阶近似。 o考虑一个由单一的标的证券考虑一个由单一的标的证券S的衍生证券组成的投资组合。期权的衍生证券组成的投资组合。期权或期权投资组合对标的证券的敏感度为或期权投资组合对标的证券的敏感度为Delta，即：，即：o其中其中f是期权的价值，是期权的价值，S是基本标的证券的价值。令：是基本标的证券的价值。令：o近似地有：近似地有：如果如果基本标的证券价格变动基本标的证券价格变动分布的标准差是分布的标准差是 ，那么期，那么期权

26、价格变动分布的标准差为权价格变动分布的标准差为 。fS dSdxSdfdSS dx S TST一、一、Delta近似近似o对于存在着多个基本标的市场变量时，类似地有对于存在着多个基本标的市场变量时，类似地有o其中其中 是第是第i种基本标的市场变量的价格，种基本标的市场变量的价格，i 为该投资组合为该投资组合关于第关于第 i 种基本标的市场变量的种基本标的市场变量的Delta值。值。o与方程（与方程（11.4）对应的有：）对应的有：o其中其中 。因此，方程（。因此，方程（11.5）可以用来计算）可以用来计算 的方差或标准差。的方差或标准差。iiiidfSdxiS1iiidfdxiiiSdfo对包

27、括期权在内的投资组合的对包括期权在内的投资组合的VaR的估计式的估计式: o这里这里 是投资组合相对第是投资组合相对第 i 个资产的变动率。个资产的变动率。 11VaR(1%)MMPijijijjiNXT io对于基本标的证券价格的微小移动对于基本标的证券价格的微小移动delta近似值是令人满意的。近似值是令人满意的。而对于较大的变动，更高阶的近似可以达到更好的效果，这就而对于较大的变动，更高阶的近似可以达到更好的效果，这就要将要将Gamma效应或凸性效应结合进去。效应或凸性效应结合进去。o假如投资组合由一个股票的期权组成。基本标的证券价格的变假如投资组合由一个股票的期权组成。基本标的证券价格

28、的变动动o 与期权价值变动与期权价值变动 之间的关系是：之间的关系是： o由于有假定由于有假定 o其中其中 取自一个标准正态分布取自一个标准正态分布 dSdf22122fffdfdSdSdtSStdSSdtSdt 二、二、Delta-Gamma近似近似o这样有这样有 o它还可重写作它还可重写作o (11.7) o 对于一阶项，期权的随机价值只是基本标的证券价值的一种简对于一阶项，期权的随机价值只是基本标的证券价值的一种简单比例关系。对于二阶项，由于单比例关系。对于二阶项，由于S 的确定性漂移率和期权的的确定性漂移率和期权的Theta， 存在一个确定性的漂移率。然而，更重要的是存在一个确定性的漂

29、移率。然而，更重要的是 Gamma 效应引入效应引入,使使 的随机成分是非线性的。的随机成分是非线性的。 2222122ffffdfSdtSSdtSSSt 22212dfSdtSSdt dfSo考虑一个基于单个资产的期权组合，设该资产价格为考虑一个基于单个资产的期权组合，设该资产价格为S，投资组合的，投资组合的Delta为为 ，Gamma为为 。对投资组合价值变化运用。对投资组合价值变化运用Taylor展开式有：展开式有：o （11.8）o公式（公式（11.8）可表示成：）可表示成：o 将上式扩展到包括将上式扩展到包括M个市场变量的投资组合的情况，则公式变成：个市场变量的投资组合的情况，则公式

30、变成：o o （11.9）22221122ffdfdSdSdSdSSS dSdxS2212dfS dxSdx221112MMiiiiiiiidfSdxSdx三、二次方程模型三、二次方程模型o设：设：o则公式（则公式（11.9）可表示成一种更一般的形式：）可表示成一种更一般的形式：o (11.10)o利用公式（利用公式（11.10）可以计算的高阶矩（）可以计算的高阶矩（moments）,运用这些高运用这些高阶矩可以估算所要求的阶矩可以估算所要求的VaR值对应的值对应的 概率分布的分位数。但是概率分布的分位数。但是这种方法不像（这种方法不像（11.4）线性模型那么好用，并且需假定）线性模型那么好用

31、，并且需假定 是正态是正态分布的。这个公式的实际应用意义在于它可以与模拟方法相结合，利分布的。这个公式的实际应用意义在于它可以与模拟方法相结合，利用模拟法来估计用模拟法来估计VaR。211MMiiiiiidfdxdxdfdfo 对待有关对待有关非线性非线性证券问题的有效办法是对基本标的证券证券问题的有效办法是对基本标的证券价格的随机行为采用价格的随机行为采用模拟方法模拟方法，然后运用估价公式或算法来，然后运用估价公式或算法来推导整个投资组合变动的分布。推导整个投资组合变动的分布。o 这是对这类问题的最终解决办法，它的缺点是运算非常这是对这类问题的最终解决办法，它的缺点是运算非常的慢，可能需要进行数万次的模拟运算，每次必须要对一个的慢，可能需要进行数万次的模拟运算，每次必须要对一个多因子偏微分方程加以求解，用这种方式计算多因子偏微分方程加以求解，用这种方式计算 VaR 将耗费将耗费太多的时间。太多的时间。四、估计模型的运用四、估计模型的运用o 当资产或投资组合依赖于利率时，则通常将每个工具的当资产或投资组合依赖于利率时，则通常将每个工具的到期收到期收益率益率视为是正态分布的变量。不同证券的到期收益率因此具有适视为是正