四 渐开线与摆线

1、 把一条没有弹性的细绳绕在把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线的形状怎样？线，这条曲线的形状怎样？ 导入新课导入新课知识与能力知识与能力1.直观的认识渐开线的形状，直观的认识渐开线的形状， 体会它在生活中的应用体会它在生活中的应用.2.培养同学们分析曲线的能力培养同学们分析曲线的能力. 教学目标教学目标过程与方法过程与方法 情感态度与价值观情感态度与价值观1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律培养学生探

2、究现实生活中大量存在的规律.2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法让学生意识到同一问题可有多种求解方法.1.通过参数方程的通过参数方程的感性认识，初步了解渐开线感性认识，初步了解渐开线. .认识渐开线认识渐开线.体会数形结合的意义体会数形结合的意义.重点重点难点难点ABMxoy 我们来解决新课导入中的问题：我们来解决新课导入中的问题：先分析动点（笔尖）所满先分析动点（笔尖）所满足的几何条件，如图所示，足的几何条件，如图所示，设开始时绳子外端为设开始时绳子外端为 于点于点A，当外端展开到点当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角是一时，因为绳子对圆心角是一段弧段弧AB，展开后成为切线展开后成为切线

3、BM，所以切线，所以切线BM的长就是弧的长就是弧AB的长，这是动点满足的条件，的长，这是动点满足的条件，我们把笔尖画出的曲线叫圆的我们把笔尖画出的曲线叫圆的渐开线渐开线，相应的圆叫做渐开线的相应的圆叫做渐开线的基圆基圆.）根据动点的几何条件，设基圆的半径为根据动点的几何条件，设基圆的半径为r，绳子外端绳子外端M的坐标为的坐标为(x,y)，显然，点显然，点M由由角角 唯一确定唯一确定.取取 为参数，点为参数，点B的坐标为的坐标为 ，从而：，从而：由于向量由于向量 是与是与 同方向同方向的单位相量，所以向量的单位相量，所以向量 与向量与向量 同方向的单位向量，因此同方向的单位向量，因此 即：即：)

4、sin,cos(rrrBMryrxBM ),sin,cos()sin,(cos1e OB)cos,(sin2e BM2)(erBM ),cos,)(sin()sin,cos(rryrx 解得：解得： （ 为参数）为参数） 这就是圆的这就是圆的渐开线的参数方程渐开线的参数方程(cossin )(sincos )xryr 渐开线的应用渐开线的应用：在机械工业中，广泛地在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力，由于渐开线齿形的齿轮磨使用齿轮传递动力，由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形多数齿轮采用这种齿形.设计这种齿轮

5、，需要借设计这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程助圆的渐开线方程. 1. .当当 时，求出渐开线时，求出渐开线 上对于点上对于点A,B,并求出并求出点点A,B间的距离间的距离.23,2 yxcossinsincos 3,22 cossinsincosxy 解：将解：将 分别代入分别代入得到得到A,B两点的坐标是两点的坐标是，由两点间的距离公式得，由两点间的距离公式得，3(,1),(,1)22 12) 11 ()232(|222 AB 如果在自行车的轮子上喷一如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会直的道路上行驶时，白色印记会画出什

6、么样的曲线呢画出什么样的曲线呢？ 导入新课导入新课 教学目标教学目标知识与能力知识与能力1.直观的认识摆线的形状，体会它在直观的认识摆线的形状，体会它在 生活中的应用生活中的应用. .2.培养同学们分析曲线的能力培养同学们分析曲线的能力.过程与方法过程与方法 情感态度与价值观情感态度与价值观1.培养学生探究现实生活中大量存在的规律培养学生探究现实生活中大量存在的规律.2.让学生意识到同一问题可有多种求解方法让学生意识到同一问题可有多种求解方法.通过参数方程的通过参数方程的感性认识，初步了解摆线感性认识，初步了解摆线. .重点重点难点难点认识摆线认识摆线. .体会数形结合的意义体会数形结合的意义

7、.ABMO. 我们来解决新课导入中的问题：我们来解决新课导入中的问题：如下图，轮子在滚动过程中会形成如下图如下图，轮子在滚动过程中会形成如下图形，设形，设B为圆心，圆周上的定点为为圆心，圆周上的定点为M,开始时开始时位于位于O处，圆在直线上滚动时，点处，圆在直线上滚动时，点M绕圆心绕圆心滚动作圆周运动，转过滚动作圆周运动，转过 角后，圆与直线角后，圆与直线相切于点相切于点A，线段，线段OA的长等于弧的长等于弧MA的长，的长， 即即OA=r ,ABMO.这就是圆周上定点这就是圆周上定点M在圆在圆B沿直线滚动沿直线滚动过程中满足的几何条件，我们把该曲线过程中满足的几何条件，我们把该曲线的叫的叫平摆

8、线平摆线，简称，简称摆线摆线，又称，又称旋轮线旋轮线ABMO.xy 根据题意建立如图根据题意建立如图直角坐标系，设圆的半径为直角坐标系，设圆的半径为r r，设开始时定点设开始时定点M M 在原点，在原点，圆滚动了圆滚动了 后与后与x x轴相切于点轴相切于点A A，圆心在点，圆心在点B B, ,从点从点M M分别作分别作ABAB,x,x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为C,D,C,D,设点设点M M的的坐标为（坐标为（x,y）取）取 为参数为参数, ,依题意得依题意得rrCBABACDMyrrMCOADAOAODxcossin 因此摆线的参数方程为因此摆线的参数方程为 （ 为参数）为参数）ABMO

9、.xy(sin )(1cos )xryr 一一、选择题、选择题（本题每小题（本题每小题7分，共分，共42分）分）1.曲线曲线 与与X轴交点的直角坐标为轴交点的直角坐标为（ ） 34,12 tytx 2525.(1,4) .(,0) C.(1,-3) D.(,0)16162.直线直线 上对应两点间的距离为（上对应两点间的距离为（ ）x = 2 + 3ty = -1+ t.1 . 10 C.10 D.2 2 课堂练习课堂练习3.直线直线 （t为参数）的倾斜角是（为参数）的倾斜角是（ ）0020cos20sin3tytx 0000A.20 B. 70 C.110 D.1604.椭圆椭圆 （ 是参数的

10、是参数的 两个交点的坐标是（两个交点的坐标是（ ） sin51cos33 yx A.(-3,5) ,(-3,-3) B.(3,3) ,(3,-5)C.(1,1),(-7,1) D.(7,-1),(-1,-1)5.直线直线 是参数被圆是参数被圆 截得的弦长是（截得的弦长是（ ）tytx 221922 yx121299A. B.5 C.2 D.1055556.在方程在方程 （ 为参数）所表示的曲线为参数）所表示的曲线上的点是（上的点是（ ）yx2cossin 1 21 1A.(2,-7) B.( , ) C.( , ) D.(1,0)3 32 2二二.填空题（每小题填空题（每小题6分，共分，共24

11、分）分）1.直线直线x+y=1的一个参数方程是的一个参数方程是_ 2.椭圆椭圆 （ 为参数）的离心率为为参数）的离心率为_yxsin42cos35 3.将参数方程将参数方程 转化为直角坐标方转化为直角坐标方程是程是_，该曲线上的点与定点，该曲线上的点与定点A(-1,-1)距离的最距离的最小值是小值是_yxsincos1 4.O是坐标原点，是坐标原点，P是椭圆是椭圆 （ 是参数）是参数）上离心角为上离心角为 所对应的点，那么直线所对应的点，那么直线OP 的倾斜角的正切值是的倾斜角的正切值是_yxsin2cos3 6-三三.解答题（本大题共解答题（本大题共2小题，每小题小题，每小题17 分）分）1

12、.已知直线已知直线L经过点经过点P（1，1），倾斜角为），倾斜角为6 （1）写出直线的参数方程；）写出直线的参数方程；（2）设直线与圆）设直线与圆 相交于两点相交于两点A,B， 求点求点P 到到A,B两点的距离之积。两点的距离之积。2.圆的直径圆的直径AB上有两点上有两点C,D，且，且|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P为圆上一点，为圆上一点，求求|PC|+|PD|的最大值的最大值.422 yx一一. .选择题：选择题：1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C二二. .填空题：填空题：tytx22221 1.47. 2 参考答案参考答案15; 1)1.(322 yx932. 4 三

13、三. .解答题：解答题：1.解解：（：（1）直线的参数方程为）直线的参数方程为 （ 是参数）是参数）tytx211231 t（2）因为点）因为点A,B都在直线上，可设对应的都在直线上，可设对应的 参数分别参数分别t1,t2，则点，则点A,B的坐标分别为的坐标分别为将直线的参数方程代入圆的方程将直线的参数方程代入圆的方程并整理得并整理得因为因为t1,t2是方程的解是方程的解,从而从而t1t2=-2, 所以所以11223131A(1+t ,1+ t ), B(1+t ,1+ t )2222422 yx02)13(2 tt2|)()()()(|212222 t tPBPA2211t21t23t21t

14、232.解：因为解：因为|AB|=10,所以圆的参数方程为所以圆的参数方程为 因为因为|AC|=|BD|=4，所以，所以 C,D的坐标为的坐标为: 因为点因为点P在圆上在圆上,可设点可设点P的坐标为的坐标为 所以：所以：yxsin5cos5 )0 , 1(),0 , 1(DC )sin5 ,cos5(PPDPC222222cos10026252cos1026cos1026)sin5 () 1cos5 ()sin5 () 1cos5 (| 当当 时时所以所以 最大值为最大值为2625252|)|(|max PDPC0cos 262|PDPC 参参 数数 方方 程程参数方程参数方程的概念的概念特殊

15、曲线的特殊曲线的到参数方程到参数方程参数方程与普参数方程与普通方程的互化通方程的互化圆锥曲线的圆锥曲线的参数方程参数方程直线的参数方程直线的参数方程渐开线与摆线渐开线与摆线的参数方程的参数方程 本讲知识结构本讲知识结构1. .解：因为基圆的直径是解：因为基圆的直径是225cm，所以基圆的，所以基圆的半径是半径是112.5，ABAB所在的渐开线的参数方程是所在的渐开线的参数方程是 （ 是参数）是参数）112.5(cossin )112.5(sincos )xy 2. .解：将解：将 分别代入分别代入 3,22 cossinsincosxy 教材习题答案教材习题答案得到得到A,B两点的坐标是，两点的坐标是，由两点间的距离公式得，由两点间的距离公式得，3(,1),(,1)22 12) 11 ()232(|222 AB 3. .解：设轮子的圆心为解：设轮子的圆心为B，BM的延长的延长 线与直线轨道垂直时的一个垂足线与直线轨道垂直时的一个垂足O为原点，为原点， 直线轨道为直线轨道为X轴建立直角坐标系，轴建立直角坐标系， 设圆滚动使点设圆滚动使点M绕圆心绕圆心B转过角转过角 后后点点M M的坐标为的坐标为（x,y），），则则所以点所以点M M的轨迹方程为的轨迹方程为 （ 是参数）是参数）sinxODOAD