数学专业毕业论文关于伴随矩阵性质的若干探讨

1、关于伴随矩阵性质的若干探讨xxxxx（湖北师范学院数学系 数学与应用数学 0702班 湖北 黄石 435002）0 前言：伴随矩阵是高等代数中的一个重要内容，在矩阵的计算和讨论中，常常会遇到伴随矩阵.但很多时候伴随矩阵只是作为计算的工具，伴随矩阵的性质很少被提到.在前人研究的基础上，总结了伴随矩阵的一些性质并讨论其证明过程，并把一些性质推广到了分块矩阵的伴随矩阵的上去，得到了一些相似的结果.1 伴随矩阵的定义定义 1 设矩阵，将矩阵的元素所在的第行第列元素划去后，剩余的个元素按原来的排列顺序组成的阶矩阵所确定的行列称式为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式，记为，即.定义2方阵的各元素的代

2、数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵的伴随矩阵.2伴随矩阵的基本性质性质2.1 设矩阵的伴随矩阵为，则，且当时，有或.证明 设,则 .于是 .类似地，.所以 .当时，可逆，由得,即.所以.注 该性质给出了矩阵与其伴随矩阵之间的关系，同时给出了逆矩阵或伴随矩阵的一种求法.性质2.2 证明 （1）当时，这时，从而等式成立.（2） 当时，由得,所以 . 注 该性质给出了矩阵与其伴随矩阵的行列式之间的关系.性质 2.3 若是阶方阵,那么证明 (1)当时，由 得 ,所以 .(2)时，由得 .所以对列向量都是方程组的解.由于，所以齐次线性方程组的解向量组的秩为,故的列向量组的秩小于或等于1，即 .又，所以至少

3、有一个 阶段非零子式，即，所以 ,故 .(3）当时，矩阵没有不为零的阶子式，故的每个元素都是零，即.所以 . 注 该性质给出了矩阵与其伴随矩阵的秩之间的关系.3 伴随矩阵的运算性质3.1乘积矩阵的伴随矩阵的运算性质性质 3.1.1 若矩阵为阶可逆矩阵，为常数，则 .证明 由及可得.注 该性质给出了数乘可逆矩阵的伴随矩阵的运算.性质3.1.2 设、为阶方阵，则.证明 （1） 当时，由可得.（2) 当时，令，只要充分大，都可逆，所以 .上式两端矩阵中的元素都是关于的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素都是相等的多项式，即上式对任意的都成立，特别的取，即得.推论 3.1.1 设均为阶方阵，则.

4、注 方阵乘积的伴随矩阵等于每个方阵伴随矩阵的乘积，但顺序恰好交换过来.3.2分块矩阵的伴随矩阵的运算性质性质3.2.1设、为阶可逆矩阵，则有.证明 因为,所以可逆，且,又有 ,由 可得 = =.注 性质3.2.1的结果与推论3.1.1的结果具有类似的形式，即与分别取伴随矩阵，但位置交换，且伴随矩阵前多了一个系数.上述结果可进一步推广到次对角线上有多个子块的情形，如,其中、是阶可逆矩阵.例1 设均为3阶可逆矩阵，且求.解 由可得 .3.2转置矩阵的伴随矩阵的运算性质性质 3.2.1 若为 阶方阵，则.证明 因，而则,故.注 该性质说明求伴随矩阵与求逆可交换顺序.推论3.2.1设、为阶方阵，则.证

5、明 由可得.该结果可以推广到多个方阵乘积的情形，如.推论3.2.2设、为阶可逆方阵，则.证明 因、均为阶可逆方阵，所以可逆，且有.由可得 .所以 .上述结论可进一步推广到主对角线上有多个子块的情形，如.推论3.2.3设、为阶可逆方阵，则.此结论可进一步推广到次对角线有多个主块的情形，如.例2 设均为3阶可逆矩阵，且求.解 由,可得 .3.3矩阵逆的伴随矩阵的运算性质性质3.3.1 设是阶可逆矩阵，则 .证明 由得 又,所以.注 该性质说明求逆与求伴随矩阵两种运算可交换顺序.推论3.3.1设为阶可逆矩阵，则有.证明 由可得 上述结果也可以进一步推广到主对角线上有多个子块的分块对角矩阵上来，如 ,

6、其中均为阶可逆矩阵.例3 设，求.解 因为，.所以均可逆，由推论3.3.1可得，.推论3.3.2 设为阶可逆矩阵，则有.上述结果也可以进一步推广到次对角线上有多个子块的分块对角矩阵上来，如 ,其中均为阶可逆矩阵.性质3.3.2 设是阶可逆矩阵，则.证明 由性质3.2.1可得.由性质3.3.1可得.又因为.所以.从而.即.又,所以.例4 设，是的伴随矩阵，求.解 因=，所以可逆，由性质3.3.3可得.推论3.3.3设为阶可逆矩阵，则有 .证明 因为为阶可逆矩阵，所以也可逆，由性质3.3.2得,又由推论3.2.2.得 .上述结果也可以推广到主对角线上有多个子块的分块矩阵上来，如 .推论3.3.4设

7、为阶可逆矩阵，则有.上述结果也可以推广到次对角线上有多个子块的分块矩阵上来，如 .注 对伴随矩阵的运算性质进行了分类归纳，并把一些性质推广到分块矩阵的伴随矩阵上去，得到的是一些相似的结果.4 矩阵与其伴随矩阵的关联性质4.1矩阵与其伴随矩阵的关联性质性质4.1.1 （1）若是阶对称矩阵，那么也是对称矩阵；（2） 若是阶反对称矩阵，那么当是偶数时，也是反对称矩阵；当是奇数时，是对称矩阵.证明 （1）因为是阶对称矩阵，所以，又 所以也是阶对称矩阵.（2） 因为是阶反对称矩阵，所以.又 .当是偶数时，有，即，所以也是反对称矩阵；当是奇数时，有，即，所以是阶对称矩阵.性质4.1.2 （1）若方阵是阶可

8、逆矩阵，则也是阶可逆矩阵；（2） 若方阵是阶不可逆矩阵，则也是阶不可逆矩阵.证明（1)因为是阶可逆矩阵，所以，由性质2.2可得,所以是阶可逆矩阵.(2)因为是阶不可逆矩阵，所以，由得. 当，则有，所以是阶不可逆矩阵. 当时，假设则有=.这与矛盾，所以，即也是阶不可逆矩阵.性质4.1.3 （1）若是阶正定矩阵，则也是阶正定矩阵；（2） 若是阶半正定矩阵，则也是阶半正定矩阵.证明 （1）设是阶正定矩阵，则且为对称矩阵，另存在可逆矩阵，使得,于是.即有 .又由得.即.所以合同于单位矩阵,即是正定矩阵.（2） 设为半正定矩阵，则为对称矩阵，下面分三种情况讨论: 若，那么为正定矩阵，由（1)知，是正定矩

9、阵； 若，则，显然是半正定矩阵； 若，则. 由于为半正定矩阵，所以的一阶主子式即的元素的代数余子式必大于或等于零，且至少有一个大于零（否则，若每个都等于零，由和的对称性知，至少有一个二阶子式不等于，即，这与相矛盾），不妨设，令，则可逆，且有,所以是半正定矩阵.性质4.1.4（1)若是幂等矩阵，则也是幂等矩阵；（2） 若是幂零矩阵，则也是幂零矩阵；（3） 若是幂幺矩阵，则也是幂幺矩阵.证明 （1)若是幂等矩阵，即，则,由推论2.1可得.所以 .即 也是幂等矩阵.（2） 若是幂零矩阵，即，则.即也是幂零矩阵.和.即也是幂幺矩阵.性质4.1.5若是对合矩阵，则也是对合矩阵.证明 因为是对合矩阵，所以

10、有,两边取行列式，得 .所以可逆，且有 .由性质2.1知也可逆，由得.所以也是对合矩阵.性质4.1.6 若是正交矩阵，则也是正交矩阵.证明 设是正交矩阵，则有.又 ,所以也是正交矩阵.性质4.1.7若是正规矩阵，则也是正规矩阵.证明 设是正规矩阵，则有.又.所以也是正规矩阵.性质4.1.8 若是上（下）三角形矩阵，则也是上（下）三角形矩阵.证明 设是上三角矩阵，则当时，有.当时，的余子式为阶段三角形行列式，且主对角线上的元素至少有一个为零，所以，即有，故也是上三角形矩阵.同理可证，若是下三角形矩阵，则也是下三角形矩阵.推论4.1.1 当是对角矩阵时，也是对角矩阵.注 对矩阵与其伴随矩阵的关联性

11、质进行了较为详尽的研究，可以看出伴随矩阵对矩阵的性质有很好的继承性.5 两伴随矩阵间的关系性质5.1两伴随矩阵间的关系性质性质5.1.1若矩阵与可交换，则也可交换.证明 因为可交换，所以有.又.所以也可交换.性质5.1.2 若方阵等价于，则等价于.证明 因为等价于，则存在可逆矩阵，使得,上式两边取伴随矩阵，得.即有 .因为可逆，所以也可逆，由矩阵等价的定义可知，等价于.性质5.1.3 若与相似，则与也相似.证明 （1）当可逆时，因为与相似，则存在可逆矩阵，使得,上式两边取行列式，得，所以也可逆.两边取逆，得 .上式两边分别乘以，得,即.所以与相似.（2) 当不可逆时，由知，也不可逆，所以必存在

12、，当时，有.令 ,则，且=,由（1）知,即.上式两端矩阵中的元素都是关于的多项式，由于两端对应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上式对任意的都成立，特别的取，即得.即与相似.性质5.1.4若与合同，且与可逆，则与也合同.证明 因为若与合同，所以存在可逆矩阵，使得.又与可逆，上式两边取逆，得,即.令,则.所以,又由,得.所以 ,即.令，则.所以与合同.注 依据两矩阵的关系推导出对应的伴随矩阵也具有同种的关系，这为我们进一步研究伴随矩阵间的关系提供了理论指导.6小结 伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念，是许多数学分支研究的重要工具，伴随矩阵一些新的性质被不断的发现与研究.本文在伴随

13、矩阵的基本性质的基础上，较为详细的归纳并讨论了伴随矩阵的性质.并在此基础上讨论了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质.具体来说本文做了以下几方面的工作:介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质；研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵与其伴随矩阵的的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质；研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质，主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推导出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性；研究伴随矩阵间的关系性质，主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系.伴随矩阵是线性代数中的重要概念，我们在研究过程中深刻体会到其性质的美妙.限于本人的知识水平，所做的有很多不

14、足之处.目前的基础上，仍有很多地方有待完善，希望有志同人作出更好成绩.参考文献:1 北京大学数学系.高等代数m.北京：高等教育出版社，1998.2 张禾瑞.高等代数m.北京：高等教育出版社，1983.3 赵建中，叶红萍.伴随矩阵的一些性质j.皖西学院学报,2004，20(5):12-15.4 谭维奇.伴随矩阵的性质初探j.南京经济区域广播电视大学学报，97（2）：56-58.5 刘佑林.伴随矩阵的若干性质j.湘南学院学报,2009,30(5):31-32.6 肖翔，许伯生.伴随矩阵的性质j.上海工程技术大学教育研究，2007，（3）：48-49.7 郭文婷.与矩阵的伴随矩阵有关的几个技巧j.长

15、江工程职业技术学院，2010,27 （1）：78-80.8 武洁.伴随矩阵的性质及证明j.高校理科研究,科技信息：517.9 徐兰.阶矩阵与其伴随矩阵的关系的进一步探讨j.昌吉学院学报，2005，（4）： 100-101.10 林磊.方阵的伴随矩阵j.高等数学研究，2004，（11）：23-25.11 金启胜 .由伴随矩阵所联想的几个问题j.高校理科研究，科技信息.424.12 朱焕，关丽杰，范慧玲.有关伴随矩阵的性质j.2008,28（3）：21-24.13 孔庆兰.伴随矩阵的若干性质j.洛阳大学学报,1998,13（4）：21-22.14 陈艳玲，许杰.矩阵的伴随矩阵的性质j.齐齐哈尔师范高等专科学校学报, 2007，（2）：151-153.15 史延峰.矩阵的伴随矩阵j.纺织高校基础科学学报,1999,12(3)：276-279.16 张艳丽. 关于伴随矩阵性质的讨论j. 衡水学院学报, 2007 .17 王莲花，田立平.伴随矩阵的性质及其应用j.河南教育学院学报，2006,15 （3）：4-6.18 张毅敏.伴随矩阵的若干性质