圆锥曲线几何问题的转换干货分享

1、圆锥曲线几何问题的转换几何问题的转换一、基础知识： 在圆锥曲线问题中,经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度,在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。.1、在几何问题的转化中,向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量;另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系.2、常见几何问题的转化：（1)角度问题： 若与直线倾斜角有关,则可以考虑转化为斜率 若需要判断角是锐角还是钝角,则可将此角作为向量的夹角,从而利用向量数量积的符号进行判

2、定（2)点与圆的位置关系 可以利用圆的定义,转化为点到圆心距离与半径的联系,但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大 若给出圆的一条直径,则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内,为钝角(再转为向量:;若点在圆上,则为直角（);若点在圆外，则为锐角().（）三点共线问题 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线（4)直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题,从而转为坐标运算:，则共线；（5）平行（共线)线段的比例问题:可转化为向量的数乘关系(）平行（共线）线段的乘积问题:可将线段变为向量，从而转化为向量数量

3、积问题（注意向量的方向是同向还是反向).3、常见几何图形问题的转化（1）三角形的“重心”：设不共线的三点，则的重心(2）三角形的“垂心”：伴随着垂直关系,即顶点与垂心的连线与底边垂直，从而可转化为向量数量积为零(3）三角形的“内心”：伴随着角平分线，由角平分线性质可知(如图）： 在的角平分线上 (4）是以为邻边的平行四边形的顶点 （5）是以为邻边的菱形的顶点：在垂直平分线上(）共线线段长度的乘积:若共线，则线段的乘积可转化为向量的数量积，从而简化运算,（要注意向量的夹角）例如:，.二、典型例题：例1:如图:分别是椭圆的左右顶点,为其右焦点,是的等差中项,是的等比中项（1)求椭圆的方程（）已知是

4、椭圆上异于的动点,直线过点且垂直于轴，若过作直线,并交直线于点。证明:三点共线解:（）依题意可得: 是的等差中项 是的等比中项 椭圆方程为： （2）由（1）可得：设，设 ,联立直线与椭圆方程可得： 另一方面，因为 ，联立方程： 三点共线例2：已知椭圆的右焦点为，为上顶点，为坐标原点,若的面积为，且椭圆的离心率为.（1)求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于，两点，且使点为的垂心?若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由解：（1） 椭圆方程为： （）设，由（1）可得: 为的垂心 设 由为的垂心可得: 因为在直线上,代入可得：即考虑联立方程： 得 ，代入可得:解得：或 当时,不存在，故舍去当

5、时，所求直线存在，直线的方程为小炼有话说：在高中阶段涉及到三角形垂心的性质，为垂心与三角形顶点的连线垂直底边，所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件，在解析几何中即可转化为向量的坐标运算(或是斜率关系).例3:如图，椭圆的一个焦点是，为坐标原点（1）若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；(2）设过点且不垂直轴的直线交椭圆于两点,若直线绕点任意转动，恒有， 求的取值范围解:(1)由图可得：由正三角形性质可得： 椭圆方程为: （2）设, 为钝角 联立直线与椭圆方程：，整理可得: 恒成立即恒成立 解得： 的取值范围是 例4:设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且椭圆

6、上的点到右焦点距离的最小值为 （1）求椭圆的方程；（2)设为直线上不同于点的任意一点, 若直线分别与椭圆相交于异于的点,证明：点在以为直径的圆内 解：()依题意可得，且到 右焦点距离的最小值为 可解得： 椭圆方程为(2）思路:若要证在以为直径的圆内，只需证明为钝角，即为锐角，从而只需证明,因为坐标可求，所以只要设出直线(斜率为） ，联立方程利用韦达定理即可用表示出的坐标，从而可用表示。即可判断的符号,进而完成证明.解：由（）可得，设直线的斜率分别为，则 联立与椭圆方程可得:，消去可得: ，即 设，因为在直线上，所以，即 为锐角， 为钝角 在以为直径的圆内例：如图所示，已知过抛物线的焦点的直线与

7、抛物线相交于两点,与椭圆的交点为,是否存在直线使得？若存在，求出直线的方程,若不存在，请说明理由.解:依题意可知抛物线焦点，设 ，不妨设则设 考虑联立直线与抛物线方程: ，消去可得： 联立直线与椭圆方程：，整理可得： 由可得：,解得：所以存在满足条件的直线，其方程为： 例6:在平面直角坐标系中,已知抛物线的准线方程为，过点作抛物线的切线,切点为(异于点），直线过点与抛物线交于两点，与直线交于点 .（1）求抛物线的方程（2)试问的值是否为定值?若是,求出定值；若不是,请说明理由解：(1)由准线方程可得： 抛物线方程: (2）设切点，抛物线为 切线斜率为 切线方程为:,代入及可得:，解得：（舍）或

8、 设 共线且在轴上 联立和抛物线方程：,整理可得: 再联立直线方程: 例：在中，的坐标分别是，点是的重心，轴上一点满足，且 （1)求的顶点的轨迹的方程(2)直线与轨迹相交于两点，若在轨迹上存在点，使得四边形为平行四边形（其中为坐标原点），求的取值范围解:(）设 由是的重心可得： 由轴上一点满足平行关系，可得 由可得: 化简可得:的轨迹的方程为:（2) 四边形为平行四边形设 在椭圆上 因为在椭圆上,所以,代入可得： 联立方程可得： 代入可得：有两不等实根可得：，即，代入 另一方面： 或 例：已知椭圆的离心率为，直线过点,且与椭圆相切于点（1）求椭圆的方程（2)是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两

9、点,使得？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由解（1） 椭圆方程化为：过设直线联立直线与椭圆方程:消去可得：整理可得：与椭圆相切于椭圆方程为:，且可解得(）思路：设直线为，由(1）可得:，再由可知，若要求得(或证明不存在满足条件的），则可通过等式列出关于的方程。对于，尽管可以用两点间距离公式表示出，但运算较为复杂。观察图形特点可知共线，从而可想到利用向量数量积表示线段的乘积。因为同向,所以。写出的坐标即可进行坐标运算，然后再联立与椭圆方程，运用韦达定理整体代入即可得到关于的方程,求解即可.解：由题意可知直线斜率存在，所以设直线由（）可得：共线且同向 联立直线与椭圆方程：消去并整理可得：

10、,代入，可得:可解得:，另一方面，若方程有两不等实根则解得： 符合题意直线的方程为:，即:或例：设椭圆的左，右焦点分别为，上顶点为,过点与垂直的直线交轴负半轴与点 ，且 (1)求椭圆的离心率（2）若过三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程（3)在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点,在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围;如果不存在,请说明理由.解：（1)依题意设 由可得： (2）由（)可得: 的外接圆的直径为,半径设为 ，圆心 由圆与直线相切可得： 解得： 椭圆方程为(3）由(2）得：设直线 设,若为邻边的平行四边形是菱形则为垂直平分线上的点 设中点 的中垂线方程为:，即 代入可得:联立方程： 所以存在满足题意的,且的取值范围是例10:已知抛物线:的焦点为,直线与轴的交点为,与抛物线的交点为，且（1）求抛物线的方程（2）过的直线与抛物线相交于两点,若垂直平分线与相交于两点,且四点在同一个圆