第二章 消费者行为专题一、二、三、四、五、六

1、第二章 消费者行为专题第一章阐述了消费者行为的基本理论，这些理论已在许多方面得到发展，并且已被应用于包括一系列特定类型效用函数的最优行为。本章讨论这些发展和具体应用的部分内容。本章第一节讨论产生可以估算的线性支出函数的效用函数。第二节定义可分的和可加的效用函数，并考察它们的特定性质。第三节的主题是齐次的和位似的效用函数的性质。第四节从价格和收入角度定义了效用函数，确定了效用函数和需求函数的进一步关系。第五节概述显示偏好理论，它是根据可以观测的消费者行为而得到的重要定理。第六节证明对于一组商品，如果他们的价格总是以相同比例变动，则他们可以当作一个单一的复合商品。消费者可从商品的消费中获得“消费者

2、剩余”，因此第七节讨论消费者剩余的计量。第八节里，消费者行为理论被发展到不确定性条件下的选择。第九节把这种分析运用到了保险问题上。第一节 线性支出系统许多年来，经济理论家们分析了消费者的最优行为，计量经济学家们估算了消费者需求和支出的关系，以及这二者之间的一些联系。值得庆幸的是，理论与实际工作的距离已经缩小，一大批可用 于实际估算的理论型的正确范例业已建立。本节所论述的是一个例子。考虑效用函数 这个函数以克莱因鲁宾或斯通吉尔里（KleinRubin or StoneGeary）效用函数著称。见L.R.克莱因和H.鲁宾：生活费用的不变效用指数（A ConstantUtility Index of

3、 the Cost of Living），经济学研究评论（Review of Economics Studies），第15卷（194748年），第8487页；R.C.吉尔里：对生活费用的不变效用指数的说明（A Note on a Constant Utility Index of the Cost of Living），经济学研究评论，第18卷（194950年），第6566页；R.斯通：线性支出系统和需求分析：在英国需求模型分析的应用（Linear Expenditure Systems and Demand Analysis：Application to the Pattern of Bri

4、tish Demand）,经济学杂志（economic Journal），第64卷（1954年），第511527页。 U1（q1-1 ）+2（q2-2 ）上式的定义域为 q1 >1 ,q2 >2 。可以解释为最低生活费用数量，是正的,也是正的。运用正的单调变换（monotonhic transformation） UU/（12）,以得到 U1（q1-1 ）+ 2（q22 ）系数1和 2（1 21）叫做“分享“参数（share parameter）。列出拉格朗日函数： Z1（q11 ） 2（q22 ）(yp1q1p2q2)且令它的一阶偏导数等于零： （211） 可以证明二阶条件得到了

5、满足，收入的边际效用在这个例子中是递减的。为求最优数量，解（211），得需求函数： （212）通过（212）的第一个方程式乘以p1，第二个方程乘以p2，得支出函数 （213）它在收入和价格上都是线性的，因而，适合于线性回归分析。第二节 可分效用函数与加性效用函数假定效用函数严格正值拟凹、光滑、递增。在这里和本章第三节，考虑满足某些新的一般假定的效用函数的性质。可分性是要考虑的第一个新假定。一个效用函数，如果可以写成下列（221）的形式，则它在其所有自变量上就是强可分的： (221 ) 其中，F和fi都是增函数。Uln（q1q2q3）就是一例。一个效用函数，如果可以写成下列（222）的形式，那它

6、就是强加性的: (222 )其中，fi是递增的。可加性（additivity）是可分性的一种具体情形。U（q1q2q3）就是一例。任何效用函数，只要它单调变换后具有加性，则对于适用于加性函数的一切定理，它就可以看作是加性函数。函数Uq1q2是可分的，但并不呈现出加性。然而，它的对数变换（log transformation）F（U）ln q1ln q2是加性的。类似地，Uln（q1q2q3）的反对数（antilog）是强加性的。对（221）关于qi 和 qj微分，再用其中的一个除以另一个，则 （223）从（221）可知，一般来说，每种商品的边际效用取决于所有商品的数量。然而，（223）表明Qi

7、和Qj之间的RCS仅仅取决于qi和 qj的数量。由此可推知，强可分性的假定，允许作一般情况下不可能进行的成对分析。 加性效用函数也具有这种性质，就是所有交叉偏导数等于零，即2/ qiqj=0对于所有i j，且在有两个变量的情况下，严格正则拟凹性条件就是f11f22f22f12<0。一个效用函数，如果其他变量可以分成两（或更多）组（qi， qk）和（qk1，qn），使下式成立，则它是弱可分性的。 U=F（qi， qk）+（qk1，qn） 如果能够使得下式成立，则是弱可加性的 U= f1（qi， qk）+f2（qk1，qn）在这里，可分性意味着同组内的商品对的RCS，不受组外变量数量的影响。

8、加性意味着，不同组商品对的交叉偏导数恒等于零。第三节 齐次效用函数于位似效用函数一个效用函数，如果 f(tqi，,t qn)tk f(qi， qn) （231）其中，k是一个常数，t是使（tqi，t qn）在函数定义域内的任何正实数，则这个效用函数就k次齐次函数。k次齐次函数的偏导数，是（k1）次的齐次函数。对（231）作关于qi的偏微分（见附录第二节）：tf1(tqi，t qn)tk f1(qi， qn)这样，Qi和Qj的RCS：对于所有消费品的同比例变动来说，是不变的。如果消费者在两种消费组合之间是无差异的，则任何与它们具有相同倍数的其它组合之间，它将也是无差异的。对于两个不同的效用函数，

9、如果其中的一个函数是另一个的单调增函数，则对应于这两个不同效用函数的无差异曲线将是同一的。因而，齐次函数所展示的性质，由齐次函数的单值增函数的所有函数展示出来了。这种包括齐次函数在内的主要种类中效用函数，称为位似效用函数。如果效用函数是位似的，商品替代率将取决于相对的而不是绝对的商品数量。RCS方程的考察，可以表明一个具体效用函数是不是位似的。例如，U1/q1q2不是一个齐次函数；然而，因为f1 /f2q2/q1 ,所以，它是位似函数。第四节 间接效用函数一，一般效用函数： U=f(q1、q2、qn) （241）预算约束： y=ni=1piqi （242）由于需求函数对于收入和价格是零次齐次的

10、，故可对所有商品的相对价格单纯型化： 1ni=1viqi， vipi/y （243）拉格朗日函数：L=f(q1、q2、qn)+（1ni=1viqi） （244）最大化一阶条件： fi-vi=0，或fi=vi i1，2，n （245） 1ni=1viqi =0 （246）由一阶条件可得普通需求函数： qiDi(v1,v2,vn)， i1，2，n （247）二，间接效用函数是以单纯型化的价格为自变量的效用函数U=fD1(v1,v2,vn)，D2(v1,v2,vn)，Dn(v1,v2,vn)=g(v1,v2,vn) （248）直接效用函数描述偏好独立于市场现象。间接效用函数反映市场价格对于效用最大化

11、的影响。由反函数法则和一阶条件，可得： j1，2，n （249）其中第三个等式是由于（245）。（243）关于vj求偏微分，得： j1，2，n （2410）这样（249）可以改写为：，即： j1，2，n （2411） 这是罗伊恒等式。表明最优商品需求取决于间接效用函数的导数和拉格朗日乘数（即收入的边际效用）。把（2411）代入（246），得： （2412）把（2412）代入（2411），得罗伊恒等式的另一种形式： j1，2，n （2413）三，直接效用函数现在以（248）为目标函数、以（243）为约束条件，以（243）中标准化的价格为变量、数量作参数，求最优化问题。列出拉格朗日函数 读者可以证

12、明，对于这种形式的函数，拉格朗日乘数是正的。：令其偏导数为零： i1，2，n （2414）把价格作为数量的函数，解（2414）得“反需求函数”： viVi(q1，q2，qn) （2415）定义直接效用函数h(q1，q2，,qn)为：U=gV1(q1，q2，,qn)，,Vn(q1，q2，qn)h(q1，q2，,qn) （2416）这提供了在数量为变量、价格作参数情况下直接效用问题的一种平行形式。四，对偶性定理与例子直接效用函数与间接效用函数之间的关系，可以用一系列对偶性定理来描述。下面叙述的定理，都没作证明。定理1 令f是一个服从内在假设 一种其中的一个或更多的数为零的商品组合的效用，小于一种其

13、中的所有数都是正数的商品组合的效用。 的有限的严格正值拟凹增函数。对于正的价格，由（248）决定的g是一个有限严格正值拟凸 如果在其定义域内的所有对不同点和当0<<1时，gv（1）（1）v（2）<maxg(v（1）,g(v（2）)则函数g（v）（v是由n个分量的向量）是严格拟凸的。 减函数。定理2 令g是一个当价格为正时有限的严格正值拟凸减函数。由（2416）决定的h是一个有限的严格正值拟凹增函数。定理3 在上述假设下 H(q1，q2，,qn)gV1(q1，q2，,qn)，,Vn(q1，q2，,qn)和 g(vi ，,，vn )hDi(vi,，vn )，, Dn(vi ，vn

14、 )直接效用函数决定于间接效用函数，与直接效用函数决定间接效用函数，是相同的。为了实际需求研究的目的，假设中的对偶性在需求和效用函数之间构造了好多比较密切的联系。有时候，利用罗伊恒等式，可以把需求函数转变为间接效用函数，然后是对应的直接效用函数。在比较静态的分析中，对偶性也是很有用的。对于间接效用函数，位似性，可分性和可加性，每一个都有对应者。因此，许多理论性分析都可以通过直接的或间接的效用函数来进行，而且，两种效用函数用起来都比较方便。考虑间接效用函数gav12v2的例子。图241显示了拟凸无差异曲线。这些曲线看上去很像图21给出的商品平面中的拟凹无差异曲线。两个图中的无差异曲线都是凸的。然

15、而，仍存在重大区别，因为，在图241中，当消费者向原点移动时效用增加。在线段AC上的所有点对应的效用水平，要低于A和C这两点所产生的效用水平。拟凹和拟凸之间的差别，反应在效用增加的方向上，而不是反应在无差异曲线的斜率上。在图241中，在预算约束下，切点B产生最小效用。 v2 A B C O v 1图 241利用（2411），可以得到这个例子的需求曲线 q1=2/3v1 q2=1/3v2 （2417）通过相应函数的最小化，读者可以证明，反需求函数为 v12/3q1 v2=1/ 3q2且对应的直接效用函数是Ua(2/3q1)2(1/3q2)=a - 4/27q12q2 （2418）它是一个严格的拟

16、凹函数。过去的例子中曾指出，效用函数U*= q12q2产生需求函数（2417）。由此，（2418）必然是U*= q12q2的单调变换： 这一式子确立对偶性。五，效用支出的对偶性考虑实现一定效用水平所必要的支出的最小化。q1 的解产生补偿需求函数（见第一章第三节）。如果q1的解代入,则可以得到支出函数E（p1，pn，U0），它给出实现一定效用水平的必要支出的最小值。容易看出，E在价格上是一次齐次的，在U0上是单调递增的。还能看出，对应于严格正则拟凹的效用函数的支出函数，在效用没有达到饱和的情况下，在价格上是凹的。最后，谢泼德引理（Shephards lemma）表明，E关于第i种价格的偏导数，就

17、是第i个补偿需求函数。这可以说明如下。用qiqi（p1，pn，U0）表示第i个补偿需求函数。则 E(p1，pn，U0)(p1，pn，U0)且 qi(p1，pn，U0)但是，对于给定的效用水平U0，补偿需求函数是通过支出最小化取得的；因而，价格的微小变动而引起的总支出的变动为零。这使得上述式子中的第二项为零。从而。对于导出（2417）和（2418）的例子来说，补偿需求函数为 支出函数是 通过对E关于p1和p2分别偏微分，谢泼德引理很容易证明。一般说来，效用函数和支出函数之间的对偶性，与生产函数和成本函数之间的对偶性，是完全一致的。第五节 显示偏好理论前面几节假定消费者有一种效用函数。然而由于效用

18、无法计量无法观察，所以效用函数是难以给出明确的形式的。为了弥补这一缺陷，萨缪尔逊提出了显示偏好理论。它允许在没有显形效用函数的情况下，从观测到的消费者在商品系列中的选择行为，推导出他的效用函数的存在和性质，预测他的行为，提供一些适用的简单公理。假定存在n种商品。一个具体的价格集合用价格向量p0表示，消费者对应的购买数量用向量q0表示。消费者的总支出为：p0 q0 （251）考虑另一种可供选择的商品组合q1，它能为消费者所购买，但没有购买。当价格为p0时，q1的总成本必定不大于q0的总成本： p0 q1p0 q0 （252）由于q0是一组至少与q1一样昂贵的商品组合，又由于消费者拒绝选择组合q1

19、，因此，q0显示出比q1更可取。一，显示偏好的弱公理显示偏好弱公理：如果q0显示出比q1更可取，则后者必定不再显示出比q0更可取。如果在价格向量为p1的情况下，消费者能够买q0时他购买q1，q1才能显示出比q0可取，这时，q0的总成本必定不大于q1的总成本： p1q0p1q1 （253）显示偏好弱公理表明，如果（252）成立的话，（253）就不能成立。因而，（252）蕴含着（253）的对立式，即： p0 q1p0 q0 蕴含着 p1 q0p1q1 （254）如果消费者A在价格向量p0时选择商品组合q0，在价格向量p1时选择商品组合q1，那么一定有： p0q0p0q1，且 p1q1p1q0在图2

20、51中，用两种商品的情形说明显示偏好弱公理。假定价格向量由p0表示的线给定时，消费者购买商品组合q0；而当价格由给定p1时，她购买q1。这两种情形都反映在图251的（a）图上。由于消费者能够以p0价格购买q1但没有购买，则弱公理表明，如果她购买q1，q0必定是因为在价格向量为p1时无法取得的，即q0必定在线p1上方。图251（a）中表现的行为是满足显示偏好弱公理的。图251（b）中表现的行为则违反了显示偏好弱公理。在这种情形下，一条无差异曲线在点q0与预算线p0相切，另一条无差异曲线在点q1与预算线p1相切，但是这两条无差异曲线将会交叉。这种性质的无差异曲线是不可能的。 q2 q2p1

21、3;q0p0q1· q0·p1 q1· p0q 1 q1(a) (b)图251二，显示偏好的强公理显示偏好强公理：如果q0显示出比q1更可取，q1显示出比更q2可取，qk-1显示出比qk更可取，则qk必定不再显示出比q0更可取。这一公理保证显示偏好的传递性，但要比一般的传递性条件更强。如果消费者总是遵循显示偏好强公理，通过对他在各种价格集合下的购买情况的观测，他的无差异图可以高度精确地建立起来。 这个定理的证明有一定困难，这里不再进行了。读者可参见H.S.霍撒克（houthakker）：显示的偏好与效用函数，经济学（Economic），n.s.，第17卷（1950

22、年5月），第159174页。 如果消费者不遵循这些公理，那他可以说是“不理性的”。他前后矛盾的行动说明，他没有一种无差异图，而他的效用函数也不可能通过观测他的购买行为而给出。显示偏好公理表明偏好序不受价格的影响。三，用显示偏好公理证明替代效应显示偏好理论可以证明替代效应总是负的。 这只是从该理论中能够推倒出来的公理之一。其他的是（1）在价格和收入上零次需求函数的齐次性（见第二章第三节）；（2）交叉替代效应相等（见第二章第五节）。参见萨缪尔森（P.a. Samuelson）：经济分析基础（Foundations of Economic Analysis），Cambridge，Mass。：Harv

23、ard University Press，1984年，第111112页；又见贝希克斯（J.R.Hicks）：需求理论的修正（A Revision of Demand Theory），Oxford：Clarendon Press，1956年，第127页。 假定消费者在n维商品空间内沿着一条给定的无差异超曲面移动。若商品组合q0与q1无差异，消费者在价格向量为p0时购买q0组合而非q1，那一定是：p0q0p0q1 或p0（q0q1）p0（q1q0）0 （255）而在价格向量为p1时购买q1组合而非q0，那一定是： p1q1p1q0 或p1（q1q0）0 （256）两式相加，得： （p1p0）（q1q0）0这个不等式断言，如果消费者沿着一条给定的无差异曲线移动，所有数量变动与对应的价格变动的乘积