第18章 静电场中电介质

1、本章主要内容本章主要内容电介质对电场的影响电介质对电场的影响电介质的极化电介质的极化的的 Gauss 定理定理 电容器和它的电容电容器和它的电容 电容器的能量电容器的能量D第18章 静电场中的电介质第第1818章章 静电场中的电介质静电场中的电介质按照物体导电特性区分，导电性相对导体很差的物体称为按照物体导电特性区分，导电性相对导体很差的物体称为（绝缘体）。（绝缘体）。从微观上看，电介质不存在自由电子，电子都束缚在原子的从微观上看，电介质不存在自由电子，电子都束缚在原子的内部内部处于束缚态。处于束缚态。实验表明，处于静电场作用下的电介质，会产生实验表明，处于静电场作用下的电介质，会产生现象，现

2、象，即介质表面会出现宏观电荷积累。但这不同于导体的静电感应，即介质表面会出现宏观电荷积累。但这不同于导体的静电感应，因为导体中的自由电子可以因为导体中的自由电子可以“自由运自由运动动”，直至静电平衡出现，而电介质，直至静电平衡出现，而电介质中的束缚电子不可能摆脱原子的束缚。中的束缚电子不可能摆脱原子的束缚。0intE 电介质对电场的影响电介质对电场的影响 相对电容率相对电容率1r 相对相对电容率电容率电容率电容率r0 + + + + + + + - - - - - - -r+ + + + + + + - - - - - - -00E r0EE 无极无极分子：（氢、甲烷、石蜡等）分子：（氢、甲烷

3、、石蜡等）有极有极分子：（水、有机玻璃等）分子：（水、有机玻璃等） 电介质的极化电介质的极化处于外电场的电介质上，出现宏观电荷积累的现处于外电场的电介质上，出现宏观电荷积累的现象称为电介质的象称为电介质的，宏观电荷称为，宏观电荷称为或或。0E0Eep二二 电介质的极化电介质的极化 -转向极化转向极化1f2f0E0Eep 0ip0ipip电极化强度电极化强度 VpPi a. P 极化强度与束缚电荷面密度的关系极化强度与束缚电荷面密度的关系: :电极化强度与束缚电荷的关系电极化强度与束缚电荷的关系内 SSqSdPnP介质表面的外法线单位矢量。介质表面的外法线单位矢量。n 极化强度对任意闭合面的通量

4、与面内极化强度对任意闭合面的通量与面内束缚电荷的关系：束缚电荷的关系：nnPP00内 121SSSSSSSSSSqdSSdPSdPSdPSdPSdPPS1S2SSnPq 证明证明 : :nPVpPVcosSllqPlqplcosPSq四四 极化电荷与自由电荷的关系极化电荷与自由电荷的关系r00EEEE 0rr1EE 0rr10rr1QQ + + + + + + + + + + +r- - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + d0EEEEP0r) 1 （EP0/r0000PEEE+ + + + + + + + + + +r- - - - - - - - -

5、 - - - - - - - + + + + + d0EEE1r电极化率电极化率0rr1D EEE0EEE0000EErEE0 SSqSdE内01内内SSqq)(100内SSqSdPE00SSSdPq内 PED0SSqSdD内0-电位移矢量电位移矢量-有介质时的高斯定理或有介质时的高斯定理或 的高斯定理的高斯定理DD E D 线与线与 线的区别线的区别: EDc. ED PED，EPe0PED0EEDe00Ee)1 (0Er0r0ED-介质的介电常数 DED说明：说明：PED，r 例例1 1 半径为半径为 a 的导体球，带电荷的导体球，带电荷 Q ，外部有一内、外径分别为，外部有一内、外径分别

6、为 b 和和 c ，相对介电常数为相对介电常数为 r 的均匀各向同性电介质。求各处的场强分布和介质内外表的均匀各向同性电介质。求各处的场强分布和介质内外表面束缚面电荷密度。面束缚面电荷密度。 解：利用解：利用 的的 Gauss 定理求定理求 ：DD 024qrDSdDS241)()(bQnbPbrrbDarrQarD 4 0 2crbrQcrbrarQarEr 4 , 4 0 2020crbrQEDPrr 4120241)()(cQncPcrrc利用利用 求求 ，用，用 求求 ：PEDPEDEr 00bncn束缚面电荷密度束缚面电荷密度 ： 例例2 图中是由半径为图中是由半径为R1的的长直圆柱

7、导体和同轴的半径为长直圆柱导体和同轴的半径为R2的薄导体圆筒组成，其间充的薄导体圆筒组成，其间充以相对电容率为以相对电容率为r的电介质的电介质. 设设直导体和圆筒单位长度上的电直导体和圆筒单位长度上的电荷分别为荷分别为+和和- . 求求( (1) )电介电介质中的电场强度、电位移和极质中的电场强度、电位移和极化强度；化强度； ( (2) )电介质内外表面电介质内外表面的极化电荷面密度的极化电荷面密度.1R2R lSDSd解解 ( (1) )lrlD2rD2rDEr0r02)(21RrR rEPrr0r21) 1(1R2R r2r022RE)(2Rr 1r012RE)(1Rr ( (2) )rE

8、r022rr20r22) 1() 1(RE1rr10r12) 1() 1(RE1R2R r2R1R一一 孤立导体的电容孤立导体的电容VQC 单位：单位： -1VC 1F 1pF 10F 10F 1126 孤立孤立导体的电容为导体的电容为孤立孤立导体所带电导体所带电荷荷Q与其电势与其电势V的比值的比值 .例例 球形孤立导体的电容球形孤立导体的电容RVQC04RQF 107m, 104 . 64E6ECR 地球地球RQV04二二 电容器电容器按形状：柱型、球型、平行板电容器按形状：柱型、球型、平行板电容器按型式：固定、可变、半可变电容器按型式：固定、可变、半可变电容器按介质：空气、塑料、云母、陶瓷

9、等按介质：空气、塑料、云母、陶瓷等 特点：非孤立导体，由两极板组成特点：非孤立导体，由两极板组成1 电容器的电容器的分类分类UQVVQCBA AVBVQQlEUABd2 电容器的电容电容器的电容 电容器的电容为电容器一块极板所带电容器的电容为电容器一块极板所带电荷电荷Q与两极板电势差与两极板电势差 的比值的比值 .BAVV 电容的大小仅与导体的电容的大小仅与导体的形状形状、相对位置相对位置、其间的电其间的电介质介质有关，与所带电荷量有关，与所带电荷量无关无关. .UQVVQCBA AVBVQQlEUABd注意注意 电容的意义：在电势差一定的条件下，电容越电容的意义：在电势差一定的条件下，电容越

10、大，储存电荷的能力就越强。这个能力只决定于两大，储存电荷的能力就越强。这个能力只决定于两导体的大小、形状、相对位置等因素。导体的大小、形状、相对位置等因素。3 电容器电容的计算电容器电容的计算（1 1）设两极板分别带电设两极板分别带电Q （3 3）求两极板间的电势差求两极板间的电势差U步骤步骤（4 4）由由C=Q/U求求CE（2 2）求两极板间的电场强度求两极板间的电场强度UQVVQCBA 例例1 平行平行平板电容器平板电容器SQErr00SQdEdUr0dSUQCr0解解Sd+ + + + + +QQ- - - - - -r例例2 圆柱形电容器圆柱形电容器ABRRlUQCln20ABRRRR

11、lQrrUBAln22d00)(20BARrRrE设设两圆两圆柱柱面单位长度上分别带电面单位长度上分别带电解解ARlBRBRl +-+-平行板电平行板电容器电容容器电容AABRRRd dSdlRCA002ABRRlUQCln20ARlBRBRl +-+-1R2R例例3球形电容器的电容球形电容器的电容r204rQE)(21RrR 2120d4dRRlrrQlEU)11(4210RRQ设内外球壳分别带电设内外球壳分别带电Q解解 2R104RC孤立导体球电容孤立导体球电容)11(4210RRQU122104RRRRUQC1R2Rr三三 电容器的并联和串联电容器的并联和串联1 电容器的并联电容器的并联

12、21CCC 2 电容器的串联电容器的串联21111CCC 1C2C1C2C 例例1 1 一平行板电容器，极板面积为一平行板电容器，极板面积为 S ，两板相对表面的间距为，两板相对表面的间距为 d ，今，今在极板间插入一块相对介电常数为在极板间插入一块相对介电常数为 r 、厚度为、厚度为 t (t d) 的均匀各向同性介质。的均匀各向同性介质。求：求：插入介质后插入介质后电容器的电容；如果插入同样厚度金属板，结果如何？（忽电容器的电容；如果插入同样厚度金属板，结果如何？（忽略边缘效应）略边缘效应） 解：设两极板带电量解：设两极板带电量 Q ，则，则tSQtdSQUr00)(SQSQESQDr00

13、 ,介质外介质外介质内介质内tdS0 ,0SQESQD导体板外导体板外导体板内导体板内插入金属板时：插入金属板时：)(0tdSQUtdSUQC0dStdSttdSUQCrrrrr000) 1(1dt dCCCdrr111d2d3dd1C2C3CC 201dSC102dSCr303dSC133221321CCCCCCCCCC3211111CCCC3210dddSrr 132ddddddCSdrr)1 (101dCCrr11dCCCrr1331221dEdEdEU301020dddrUqC US3210dddSrr同样可证1d2d3ddudqdqdAdWee)( VCQdqCqudqdAWQQe2

14、0021UQCUCQWe21212122dq 考察电容的充电过程：考察电容的充电过程： 充电过程的实质，是把正电荷从电势低的负极板移到电势高充电过程的实质，是把正电荷从电势低的负极板移到电势高的正极板，静电场力做负功。因此外力必须克服静电场力对电荷的正极板，静电场力做负功。因此外力必须克服静电场力对电荷做功，使电容器获得能量并储存在电容器中。做功，使电容器获得能量并储存在电容器中。 是指：电容器上电荷建立的是指：电容器上电荷建立的过程中外力克服静电场力对电荷所做的功。过程中外力克服静电场力对电荷所做的功。 例例1 1 一平空气行板电容器，电容为一平空气行板电容器，电容为 C0 ，接入充电电路充

15、电至电压为，接入充电电路充电至电压为 U ，此后（此后（1 1）保持电路接通；（）保持电路接通；（2 2）断开电路。今在极板间插入一块相对介电常数）断开电路。今在极板间插入一块相对介电常数为为 r 的均匀各向同性介质，使介质充满极板间隙。求此过程中外力所做的功。的均匀各向同性介质，使介质充满极板间隙。求此过程中外力所做的功。 解：无介质时电容器的储能解：无介质时电容器的储能 W0 为为0CCr20020212UCCQW插入介质后电容器的电容变为插入介质后电容器的电容变为02022121WUCCUWrr V （1 1）电路接通，）电路接通，U 不变，插入介质后电容器的能量为不变，插入介质后电容器

16、的能量为 （2 2）电路断开，）电路断开，Q 不变，插入介质后电容器的能量为不变，插入介质后电容器的能量为rrWCQCQW0022222000) 1(21) 1(UCWWWArr200012111UCWWWArrr 2)(21BAUUCW2)(21EddSVE 221VWe221EDE21 dVWeVDEdVV21讨论：讨论：介质的总能量密度的普遍表达式：介质的总能量密度的普遍表达式：EDwe21对任意电场和任对任意电场和任意介质普遍成立意介质普遍成立EPEEPEEDwe2121)(2121200有介质时总电有介质时总电场的能量密度场的能量密度介质中束缚电荷介质中束缚电荷的静电能密度的静电能密

17、度EEE0 例例1 1 求半径为求半径为 R ，带电量为，带电量为 Q 的导体球所产生电场的能量。的导体球所产生电场的能量。 解：导体外电场强度分布为解：导体外电场强度分布为RrRrrQE 0 4 20半径为半径为 r r + dr 的球壳内的电场能量为的球壳内的电场能量为20222200208442121rdrQdrrrQdVEdWeRQrdrQdWWRRree0220288QRrdrR0qr解解: : 电电场分布球对称性场分布球对称性SrDSdD240q 240rqD0024rrqDDErD002004rrqr EPr0) 1(020004) 1(rrqrr02041rrqrrnPP204

18、1RqrrR0qrnP 24 Rq 011qr-q与与q0反号，而且数值小于反号，而且数值小于q0z教材：教材：p.8585： 2,10,11,16,19,21,22,232,10,11,16,19,21,22,23z辅导精析：辅导精析：p.172: 8， 14，15，18z教材教材 19.1- 19.1- 19.419.4 dd ddSC0UCQddSU0212CQW 2021UddS 21 2CQW 220)(21UddSddSC0 WWA220)(21UdddS 电场是能量携带者的观点：电场是能量携带者的观点： WWA) (VVe)(2120ddSSdEdSE2021220)(21Udd

19、dSd dr1422r例例4.一平板电容器有两层介质，相对介电常数分别为一平板电容器有两层介质，相对介电常数分别为和和 ，厚度分别为，厚度分别为d1 =2mm和和d2 =3mm，极板面积为，极板面积为S=50cm2，两极板间电压为，两极板间电压为U=200V，求：（，求：（1）每层介质中场强的大小；（）每层介质中场强的大小；（2）每层介质中的电场能量密度及能量；每层介质中的电场能量密度及能量；（3）电容器的总能量。）电容器的总能量。 r1 d1 U r2 d2 图 10-4rrEE1 12 2解：如图解：如图（1 1）因）因 E1 d1 +E2 d2 =U（1 1） 又又D1 =D2 ，即，即

20、EErr2121从而得从而得（2）E dE dUrr111212将（将（2）式代入（）式代入（1）式得）式得EUddUddV mrrrrr11 2211122425 10./故得故得EUddV mrrr22112245 10 /同理可得同理可得 ererEJmEJm101 1223202222312111 1012221 10.,.WdSJ Wd SJeeee11 1722 27111 10332 10.,.（2）介质中电场能量密度及能量）介质中电场能量密度及能量 WCUSddUJerr12124 431020112227.（3）电容器的总能量）电容器的总能量例例5. 一电容器由两个很长的同轴

21、薄圆筒组成，内、一电容器由两个很长的同轴薄圆筒组成，内、外圆筒半径分别为外圆筒半径分别为R12cm , R2= 5cm, 其间充满相其间充满相对介质常数为对介质常数为r 的各向同性、均匀电介质，电容器的各向同性、均匀电介质，电容器接在电压接在电压U32V的电源上，（如图所示），试求的电源上，（如图所示），试求距离轴线距离轴线 R3.5cm处的处的A点的电场强度和点的电场强度和A点与外点与外筒间的电势差。筒间的电势差。r2R1RRAUO解：解：长为长为L的圆柱形电容器的电容为：的圆柱形电容器的电容为： )/ln(2120RRLCr电容器带电量为：电容器带电量为：)/ln(2120RRLUCUqr

22、 由高斯定理可得由高斯定理可得A点场强大小为：点场强大小为：）100mV(99822RLqRErr于是于是A点与外筒间的电势差为：点与外筒间的电势差为：）（V5 .12ln)/ln(d)/ln(2121221RRRRUrrRRUURR例例6. 一空气平行板电容器，两极板面积均为一空气平行板电容器，两极板面积均为S，板间，板间距离为距离为d（d远小于极板线度），在两极板间平行地插远小于极板线度），在两极板间平行地插入一面积也是入一面积也是S，厚度为，厚度为t (td) 的金属片。试求的金属片。试求(1)电电容容C等于多少？等于多少？(2)金属片放在两极板间的位置对电容金属片放在两极板间的位置对电

23、容值有无影响？值有无影响？解：解：AC可看成是可看成是AB和和BC的串联。设的串联。设BC=x，则有，则有例例7. 厚度为厚度为d的的“无限大无限大”均匀带电导体板两表面单位面积均匀带电导体板两表面单位面积上电荷之和为上电荷之和为s 试求图示离左板面距离为试求图示离左板面距离为a的一点与离右的一点与离右板面距离为板面距离为b的一点之间的电势差的一点之间的电势差解：选坐标如图由高斯定理，平板解：选坐标如图由高斯定理，平板 内、外的场强分布为：内、外的场强分布为： E = 0 (板内板内) )2/(0 xE (板外板外) 12dabxOxxdbdddad2d22/2/02/)2/(0)(20ab

24、2121d xEUUx1、2两点间电势差两点间电势差 例例8. 8. 一平行板电容器的极板面积为一平行板电容器的极板面积为S S = 1 = 1 m2，两极板夹，两极板夹着一块着一块d d = = 5 mm厚的同样面积的玻璃板已知玻璃的相对厚的同样面积的玻璃板已知玻璃的相对介电常量为介电常量为5r 。电容器充电到电压。电容器充电到电压U U = 12 V = 12 V以后切断以后切断电源。求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。电源。求把玻璃板从电容器中抽出来外力需做多少功。(真真空介电常量空介电常量 0 = 8.8510-12 C2N-1m-2 )dSCr/ )(0dSC/ )(0解：玻璃

25、板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功抽出解：玻璃板抽出前后电容器能量的变化即外力作的功抽出玻璃板前后的电容值分别为玻璃板前后的电容值分别为UCCUQUCCUUr/ )(撤电源后再抽玻璃板板上电荷不变，但电压改变，即撤电源后再抽玻璃板板上电荷不变，但电压改变，即 202)/(2121UdSCUW2202)/(2121UdSUCWr抽玻璃板前后电容器的能量分别为抽玻璃板前后电容器的能量分别为WWA) 1)(/(2120rrdSU外力作功外力作功 = 2.5510-6 J 221111r0U0E1D1E2D2E221111r1D1E2D2E 00ESSSdD1SdD1下底dSD1下底SD1dEU0

26、0S111 DrDE01122DdEdE2121EE r12r01022DE 02 SSS2221221rr121r1225852 0221 EE052052EdEU1dE05230052V1201011EPrnp110056E56561P561P平板电容器平板电容器电荷面密度为电荷面密度为 面积为面积为S 极板相距极板相距d。问：不接电源将介电常数为。问：不接电源将介电常数为 的的 均匀电介均匀电介质充满其中，电场能量、电容器的电容各有质充满其中，电场能量、电容器的电容各有什么变化？什么变化？例例10.解：解：o1 EVEW21o12 Vo22 2EVEW2222 V 22o12 CC 22UQC1Cr能量减少了能量减少了电场力作功！电场力作功！电容增大了电容