(新课标)高考数学一轮复习第十三章选考内容13.1几何证明选讲习题理

1、13.1 几何证明选讲1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 2平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边 （ 或两边的延长线） 所得的对应线段3相似三角形的判定定理判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应 ，两三角形相似判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角

2、相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成且夹角，两三角形相似判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应 ，两三角形相似注意：与一般三角形相比，直角三角形有一个角为直角，三边长满足勾股定理等这种关系可以使判定两个直角三角形相似的条件得到简化4相似三角形的性质定理性质定理1 ：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于性质定理2 ：相似三角形周长的比、外接圆的直径比、外接圆的周长比都等于性质定理3 ：相似三角形面积的比、外接圆的面积比都等于5射影定理直角三角形斜边上的高是 的比例中项；两直角边分

3、别是它们在斜边上射影与斜边的 6圆周角、圆心角和弦切角定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 的一半.圆心角定理：圆心角的度数等于它所对 的度数.推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧推论 2 ： 半 圆 ( 或 直 径) 所 对 的 圆 周 角 是 ； 90 ° 的 圆 周 角 所对 的 弦 是弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的 .7圆内接四边形的性质与判定定理(1) 性质定理：圆的内接四边形的对角 推论：圆内接四边形的外角等于它的 的对角(2) 判 定 定 理 ： 如 果 一 个 四 边 形 的 对 角 互 补 ， 那 么 这 个

4、 四 边 形 的 四 个 顶 点推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点8圆的切线的性质与判定定理性质定理：圆的切线垂直于经过切点的 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过 判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 9相交弦定理圆内的两条相交弦， 的积相等10 (1) 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到 的两条线段长的积相等(2) 切 割 线 定 理 ： 从 圆 外 一 点 引 圆 的 切 线 和 割 线 ， 切 线 长 是 这 点 到 的比例中项(3) 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们

5、的切线长 ，圆心和这一点的连线平分 的夹角且切点弦自查自纠1也相等平分第三边平分另一腰2成比例成比例3相等 比例 相等 成比例4相似比相似比相似比的平方5两直角边在斜边上射影比例中项直角 直径6.圆心角 弧相等也相等圆周角7 (1) 互补 内角 (2) 共圆 共圆8半径切点 圆心 切线9被交点分成的两条线段长10 (1) 每条割线与圆的交点(2) 割线与圆交点的两条线段长(3) 相等 两条切线垂直平分如图， 在 ABC中，AE= ED= DC FEM MD BC FD的延长线交 BC的延长线于点 N,且EF= 1,则BN=()3 / 337/33D. 6C. 4B. 3A. 2解：-FE/ M

6、D/ BCEF AE 1AE= ED= DCEF ED= -= ' = 1BC AC 3，CN DC 1，EF EF 1 EF= CN := =一,EF CN|BN BO CN 4,.BN= 4E已 4.故选 C.BE交AD于点F,贝U AF：尸口为（）如图AD是 ABC的中线，E是CA边靠近C点的三等分点,B. 3 ： 1D. 5 ： 1A. 2 ： 1C. 4 ： 11解：过 D作 DG/AC交 BE于 G,则 DG=EC,又 AE=2EG ADGIAAEF 故 AF：FD=1AE： DG=2EC： -EG=4 ： 1.故选 C如图，/ ACEB= 90° , CDLAB

7、 于点D,以BD为直径的圆与 BC交于点 日则（A. CE- CB= AD- DBA.B. CE- CB= AD- AB C. AD- AB= CD D. CE- EB= CD 解：在AACB中，因为/ACB= 90° , CDLAB于点D,所以CD= AD-DB又由切割线定 理得CD= CE- CB所以CE-CB= AD-DB故选如图，过点 D作圆的切线切圆于B点，作割线交圆于 A C两点，其中BD= 3, AD= 4, AB= 2,则BC=2 一，一 9解：由切割线定理得：BD2= CD AQ得CD= 4.又 / A= / DBC Z D= / D,BD AB-3-3.ABDoB

8、CDkM.解得 BC=3故填；.CD BC22（2015 重庆）如图，圆O的弦AB, CD相交于点 E,过点 A作圆O的切线与 DC的延长线交于点 P,若PA 6, AE= 9, PC= 3,CE： ED= 2 ： 1,则 BE=.解：由切割线定理，知PA=PC PD 即62=3PQ 解得 PD= 12,，CD= PD- PC= 9,. CE= 6, ED= 3.由相交弦定理，知 AE- BE= CE- ED 即 9BE= 6X3,解得 BE= 2.故填 2.37 / 33类型一 平行线分线段成比例定理的应用如图，在 ABC 中，EF/ CD Z AFE=/ B, AE= 6, ED= 3,

9、AF= 8.(1)求AC的长；,CD2(2)求百不加值.BC2解:AE AF(1) -EF/ CD-ATAC- AE= 6, ED= 3, AF= 8,. AC= 12.(2) EF/ DC / AFE= / ACD又/ AFE= / B,/ ACD= / B.又/A= /A, .ACS ABC,CD AD 6+3 3 CD2 9bcT AcT _12"=4, bc? 76.【点拨】求长度或比值考虑相似，有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，即创造可以形成比例式的条件，从而达到计算或证明的目的.如图所示，在 ABC中，D是BC的中点，E是AC的中点，AD交BE于G,求证：

10、AG= 2GD证明：作CH/ EB交AD的延长线于点 H, AE= EC, CH EB,，A8 GH又.BD= DCBD年 CDHAB BDAC= DC. GD= DH . .AO 2GD(2)在ABC43, AD为/BAC勺平分线，求证:证明：如图，过 C作CE/ AQ交BA延长线于E,BA BDAD" CE玩. AM分 / BAC/ BAD= / DAC由 AD/ CE知 / BAD= / E,/ DAC= / ACE ./ ACE= / E,即 AE= ACAB_BDACT DC-类型二相似三角形的判定及性质如图所示，已知在 ABC中，/ BAC= 90° , ADL

11、 BC E是AC的中点，ED交AB的延长线于 F,求证:AB_DFACT AF证明：. / BAC= 90 , ADL BC AB及 CADAB BD =-" AC AD又£是AC的中点，.二DE= EC，/4=/3=/ ACB= /1,而/ AFD为公共角,BD DF ADT AF ,FBE FDA由可得翁嘉【点拨】（1）判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和应边.（2）相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来间接证明线段相等或计算线段长度.（2014中原名校联考）如图，三角形ABC勺角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E(

12、1)证明： AB呼 ADC4_ 1,，一，(2)若三角形 ABC勺面积S= 2AD- AE求/BAC勺大小.解：(1)证明：由已知条件，可得/ BA2 / CAD因为/ AEB与/ ACB是同弧所对的圆周角，所以/ AEEB= /ACD AB& ADC一.,AB AE(2)因为4ABa ADC所以一仄入 冰AD AC1-1,，一又 S= 2AB AC sin / BAG!. S= AD- AE 故 AB- AC sin / BA。AD- AE 由可知AEB- AC= AD- AE 则 sin Z BAG= 1,又/ BACJABCW内角，所以/ BAG= 90 .类型三射影定理的应用如

13、图所示，已知在边长为1的正方 .1形ABCD勺一边上取一点 E,使AE= 4AD过AB的中点F作HF, EC于H求证：FH= FA(2)求EH： HC的值.解：(1)证明：连结EF, FC,在正方形ABCDLAD= AB= BC / A= Z B= 90° .1. AE= A。F为AB的中点，.ae_fb _1后 BC =2.EAH FBC / AEF= / BFC / EFA= / BCF又/ A= / B= 90° , ./ EFC= 90E AE_AE_1，FCT BF= AF= 2.又/ EFC= /A= 90° ,EF6 EAF ./ AEF= / HE

14、F又 EF= EF, RtA EA阵 RtA EHF，FH= FA（2）由知 EFC是直角三角形，FH是斜边EC上的高，由射影定理可得 eF=EH EC fC=CHCE 于是EH： HC= EF2 ： FC= 1 ： 4.【点拨】 一般四边形问题须转化为三角形（最好是 母）问题研究，故自然要连结EF, FG第（1）问也可由勾股定理求出 FH的长来证；图中有 2对全等三角形，8对相似三角形，能洞察这些，解此题会游刃有余；第 （2）问由EH： HC= AE： BC求，更简洁.如图所示，AD, BE是 ABC的两条高，DFL AB,垂足为F,直线FD交BE于点G 交AC的延长线于 H,求证：DU=G

15、F- HF证明：.一/ H+ / BAC90 , /GBFH Z BAC= 90 , ./ H= / GBF. / AFH= / GFB= 90° ,.AF+AGFB hafBF= GFAF- BF= GF- HF因为在 RtAABD , FD±AR .DF = AF- BF,dF= GF- HF类型四圆内接四边形的性质及判定定理的应用(2015 哈三中一模)如图，AB是。O的直径，CBW。相切于B, E为线段CB上一点，连接 AC AE,分别交。O于D, G两点， 连接DG并延长交CB于点F.(1)求证：C, D, G, E四点共圆；(2)若F为EB的靠近点E的三等分点，

16、EG= 1, GA= 3,求线段CE的长.解：(1)证明： 连接 BD,则 / AGD= / ABD / AB济 / DAB= 90 , / C+/ CAB=90° ,所以/ C= /AGD 所以/ C+ Z DGE= 180° ,所以 C, D, G E 四点共圆.24(2)因为EG-EA= E民 所以EB= 2,又F为EB的三等分点，所以EF=-, FB=-, 33一，一一 q 一，一 8 一又因为 FG- FD= FE- FC= F氏 所以 FC=-, CE= 2.3【点拨】直径所对圆周角为直角，故考虑连BD，证明四点共圆，即证明这四点构成的四边形对角互补；已知条件为

17、EG及GA的长度，自然考虑计算EB,从而求得FG- FD再af算EC即可.(2014 新课标I )如图，四边形ABC医。的内接四边形，AB的延长线与 DC勺延长线交于点 E,且CB= CE(1)证明：/ 4 / E;(2)设AD不是O O的直径，AD的中点为 M 且MB= MC证明： AD曰等边三角形.证明：(1)由题设知 A B, C, D四点共圆，所以/ D= / CBE由已知 CB= CE得/ CBE=/ E,故 / D= / E. 如图，设BC的中点为N,连结 MN则由MB= M东口 MNL BG 故O在直线 MN±.又AD不是。O的直径， 晒 AD的中点，故 OM_ AQ即

18、MNLAD 所以 AD/ BC 故 / A= / CBE又/ CBE= / E,故/ A= / E,由（1）知，Z D= / E, 所以 ADE等边三角形.类型五 圆的切线及与圆有关的比例线段（2015 陕西）如图，AB切。O于点B,直线 AO交。于D, E两点，BCL DE垂足为 C(1)证明：/ CB母 / DBA(2)若AD= 3DC BC=山，求。O的直径.解：(1)证明：.DE为。O的直径，则/ BEDF Z EDB= 90° , 又 BCL DE / CBID- Z EDB= 90 , 从而/ CBD= / BED又AB切。O于点B,得/ DBA= / BED / CBD

19、= / DBA(2)由(1)知 BM分/ CBAlrBA AD，一则薪号3,又BC="从而AB= 3/2,BC CD .AC= 1AB2 BC2= 4,.AA 3. .一 AB2由切割线定理得 ABU AD- AE即AE=nr=6,D故DE= AE-AD= 3,即。O的直径为3.【点拨】与切线有关的角的证明问题，一般都要用到弦切角定理；计算与圆相关 的线段长度问题，一般都要用到圆哥定理；注意三角形内角平分线定理的灵活应用.(2015 吉林长春调研)如图，圆M与圆N交于A, B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C, D两点，延长 DB交圆M于点E,延长CB交圆N于点F.已知

20、BC= 5, BD= 10.(1)求AB的长;(2)求CFDE解：(1)根据弦切角定理,知/ BAC= / BDA / ACB= / DABAB BC .ABC-ADBA 则森DB BA故 A戌=BC BD= 50, AB= 5/2.(2)根据切割线定理知 CA= CB- CR DA = DB- DECA2 CB CF两式相除,得DA2= DB' DE,/口 AC AB 5 22 CA2 1由AB6ADBA 得DAT DBT 10 = 2，DA2=力CB 51=.DB 10 2'1 .用添加平行辅助线的方法构造平行线，是创造应用平行线等分线段定理与平行线分线段成比例定理的条件.

21、在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定要注意线段与边的对应.2 .在证明两个或两个以上的比例式相等时，往往需要找第三个比例式与它们都相等， 这时可考虑利用平行线分线段成比例定理或推论，或考虑用线段代换，由相等的传递性得出结论.3 .证两个三角形相似，在已具备一角对应相等的条件时，往往先探求是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再探求等角的两边对应成比例.4,等积式的证明是一种常见题型，其证题思路一般是化等积式为比例式，再由三角形相似或平行线分线段成比例定理证明.5.注意在证明圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，添加辅助线的目的是为了打通 已知与未知的通道，构造需要的边、角、三角形，如构造直

22、径所对的圆周角，以便利用直 径所对的圆周角是直角这一性质.要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上某一 点，那么连接这点和圆心，证明该直线垂直于半径；如果不知直线和圆是否有公共点，则 过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径.已知某直线是圆的切线时，切点的位置一般是确定的，辅助线常常是连接圆心和切点.6.证明多点共圆的常用方法(1)证明几个点到某个定点距离相等.(2) 如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等( 例：如图，若/ACB= /ADB= 90° ,则 A, B, D, C 四点共圆).(3) 证明凸四边形内对角互补( 或外角等于它的内角的对角 )

23、 7相交弦定理、切割线定理和割线定理常与圆周角、弦切角定理联合运用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比或比例式1.如图，在 ABO43, / AED= / B, DE= 6, AB= 10, AE= 8,则 BC的长为（）24D.y15C.万B. 715AN解：由已知条件/AED/B, /A为公共角，所以AD曰AACB则有D|= AB 从而BC AB6X10 15BC=.故选822 .如图，半径为 2的。O中，/ AOB= 90° , D为OB的中点，AD的延长线交。O于点 E,则线段DE的长为（3 D.万C” C. 5B. 5AV解：延长BO交。于点F,由相交弦

24、定理可知：BD-DF= AD-DE又由题知 BD- 1, DFC.=3, AD-木,因此DE= 355.故选3 .如图，O O与。P相交于 A B两点，点P在OO上，O O的弦BC切。P于点B, CP及其延长线交。P于D, E两点，过点 E作EF，CE交CB延长线于点 F.若CD= 2, CB=电则EF的长为（）D. 2 2C. 2B. 2A. 1解：连结 PB BC切。P于点 B, PB1BC CD= 2, CB= 2*,由切割线定理得 CB=CD- CE CE= 4, DE= 2, BP 1,又 EF，CEzhEF CE /口 .CP%ACFE 得而 =去 解得 EF= J2.PB CB4

25、 .如图，AD AE, B-别与圆O切于点故选B.D, E, F,延长AF与圆O交于另一点G给出下列三个结论： AN AE= AB+ BO CAAF-AG= AD-AE AF即 ADG其中正确结论的序号是()A.B . C . D .解：. CF= CE BF= BQ . - BC= CE+ BDAB+ BO CA= (AB+ BD + (AO CE = AD+ AE 故结论正确.由切割线定理知 aD= AF- AG 又 AE= AQ.AD AE= AF - AG 故结论正确.容易判断结论不正确.故选 A5. （2015 天津）如图，在圆O中，M N是弦AB的三等分点，弦CD CE分别经过点M

26、 N若CM= 2, MD= 4, CN= 3,则线段NE的长为（）5D.310C.yB. 38A.38，rr-8 ,解：由题意可得 CMK MD= AMK MB= ANK NB= CNK NE 即 2X4 = 3NE 解得 NE= 4.故选3A.6. （2014天津）如图，AABC是圆的内接三角形，/ BAC的平分线交圆于点 D,交BC 于点E,过点B的圆的切线与 AD的延长线交于点 F.在上述条件下,给出下列四个结论：BM分/ CBF由=FD FAAE CE= BE- DEAF BD= AB- BF则所有正确结论的序号是（）A. B . C . D .一，r一一 BF解：由弦切角定理得 /

27、FBD= / EAC= / BAE又/BFD=/AFB 故BFM AFB故而FBDAB即AF- BD= AB- BF,对，否定A, C.显然正确.故选7. （2014 重庆）过圆外一点P作圆的切线PAA为切点），再作割线PBC依次分别交圆于 B, C,若 PA= 6, AC= 8, BC= 9,则 AB=解:如图，.22由 PA=PB- PC得 6 =PBPB+ 9),解得 PB= 3.再由 /C= / BAP及/ P为公共角得AB四 CAPAB_BPCAT靠.AB= 4.故填 4.1 215 ,22- - =2 由于 / DCP=8. （2015 广东）如图，已知AB是圆O的直径，AB= 4

28、, EC是圆O的切线，切点为C, BC= 1,过圆心O作BC的平行线，分别交 EC AC于点D和点P,则OD=是 PA= CP=11解：由题意得OP= 2BC= 2, OA= 2,于15-PD PC r 15 15 15 1/B=/POA DCPo AAOP 于是双 pO PD= 丁 乂 22=1>,那么。>"2 + 2=8.故填28.9. (2015湖南)如图，在。O中，相交于点E的两弦AR CD的中点分别是 M N,直 线MOW直线CD1交于点F.证明：(1) / MEN / NOM180 ;(2) FE- FN= FM- FO证明：如图所示，: M N分别是弦 AB, CD的中点，OM_ AB ONL CD即/ OME =Z ENO= 90 ,故/ MEN- Z NOIVt 180 .(2)由知，Q M E, N四点共圆，故由割线定理即得 FE- FN= FM- FO10.如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B, C两点，PA= 20, PB=10, / BAC勺角平分线与 BC和圆O分别交于点 D和E(1)求证：AB PC= PA AC(2)求ADAE的值.解：（1）证明：.PA为圆O的切线,.Z PAB= / ACP又/ P为公共角,AB- PC= PA- ACAB PA .PAB-APCA