(新课标)高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系、充分条件与必要条件习题理

1、1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件1命题的概念(1) 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以 的陈述句叫做命题，其中 的语句叫做真命题， 的语句叫做假命题(2) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为 (3) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为 (4) 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为 (5) 一般地，设“若 p,则q”为原命题，那么 就叫做原命题的逆命题；就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆

2、否命题2四种命题间的相互关系(1) 四种命题间的相互关系图 ( 请你补全 )26 / 23(2) 真假关系两个命题互为逆否命题，它们具有 的真假性，即等价；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性 .(3) 充分条件和必要条件(1)如果p? q,则称p是q的, q是p的.(2) 如果 ，且 ，那么称 p 是 q 的充分必要条件，简称p 是 q 的 ，记作 p， 那么称 p 是 q(3) 如果p? q， 但 q的 条件(4) 如果 ，但 ，那么称 p 是 q 的必要不充分条件(5) 如果 ，且 ，那么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件自查自纠1 (1) 判断真假 判断为真 判断为假(4)

3、p(2) 互逆命题 (3) 互否命题 (4) 互为逆否命题(5)若q,则p若 p,则 q若q,则 p2 (1)2 2) 相同 没有关系3 (1) 充分条件必要条件(2) p? qq? p 充要条件p? q(3) 充分不必要（）A.对角线相等的四边形B. a< 5C. x2-x+ 1 = 0D.有一个内角是90°的三角形是直角三角形解： 只有选项 D 是可以判断真假的陈述句，故选 D.（2015 陕西）“si n a = cos a ” 是“cos2 a =0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件22解： 右 sin a = cos

4、a ,则 COS2 a = COS a Sin a =0,充分性成立；反之 ,右 COS222a = COs a sin a =0,则 sin a = ± COs a ,必要性不成立.因此 ， sin a = COs a 是“COs2 a =0”的充分不必要条件.故选 A(2015-天津)设 xC R,贝U “| x2|<1” 是 “x2 x 2>0” 的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：lx2| <1? -1<x-2<1? 1<x<3, x2 + x-2>0? x< 2 或 x&

5、gt;1,，“ | x2|v1”是“x2+x 2>0”的充分不必要条件.故选 A22命题 “ 若 x2>y2， 则 x>y ” 的逆否命题是 22解：根据互为逆否命题的概念得命题若x2>y：则x>y”的逆否命题是 “若xwy,则2222x <y .故填若x<y ,则x wy .“1,“一、土2m<- 是一兀二次方程 x+x+m 4=0有实数解”的 条件.2 一 1,1. 一 ”.解：x +x+ m=。有头数解等价于 A = 1 4mi>0,得mn<7m4 是 一兀一次方程x2+x+m= 0有实数解”的充分不必要条件.故填充分不必要.类

6、型一 四种命题及其相互关系写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假：(1) 末位数字是0 的多位数一定是5 的倍数；(2)在 ABC中，若 AB> AC 则/ C> / B;(3)若 x22x 3>0,则 xv1 或 x>3.解： (1) 原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5 的倍数逆命题：若一个多位数是5 的倍数，则它的末位数字是0.否命题：若一个多位数的末位数字不是0 ，则它不是5 的倍数逆否命题：若一个多位数不是5 的倍数，则它的末位数字不是0.这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题(2)逆命题：在 ABC中，若/

7、C> / B,则AB> AC 否命题：在 ABC中，若 ABC AC则/ CW / B.逆否命题：在 ABO43,若/ C< / B,则AB< AC 这里，四种命题都是真命题(3)逆命题：若 xv1 或 x>3,则 x22x3>0.否命题：若 x? 2x 3w0,则1w xW 3.逆否命题：若1WxW3,则x? 2x 3W0.这里，四种命题都是真命题【点拨】 写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p 与结论q,将原命题写成“若 p,则q”的形式.在(2)中，原命题有大前提“在ABC卡x>在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当

8、保留这个大前提.(3)中“xv1或3”的否定形式是“ x>- 1且xw3"，即“一K x<3写出下列命题的否定形式和否命题：(1)若xy=0,则x, y中至少有一个为零；(2)若a+b=0,则a, b中最多有一个大于零；(3) 若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等；(4) 有理数都能写成分数解：否定形式：若xy=0,则x, y都不为零.否命题：若xywo,则x, y都不为零.(2)否定形式：若 a+b=0,则a, b都大于零.否命题：若a+bw0,则a, b都大于零.(3) 否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等否命题：若四边形不是平行四边形，则它的

9、相邻内角不都相等(4) 否定形式：有理数不都能写成分数否命题：非有理数不都能写成分数类型二 充要条件的判定1,“1,sin a = 2 是 cos2 a = 2 的（A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解法一：（定义法）右 sin a1 一21 2 12，则 cos2 a = 1 2sin a = 1 2X 2 =2，充分性成立；反之,右 cos2121211一，、a =2,则有 12sin a =2,得 sin a =4，sin a = ±-,必要性不成立.一 “1, I “1,、八 ”因此，“sin a =2”是“cos2 a =”的充

10、分不必要条件.解法二：（集合法）令 A= a | p( a ) , B= a | q( a ), 1则可得 A= a |sin a =2 ,11B= a |cos2 a =/ = a |1 2sin2 a =2=a |sina =±2 .显然，AB,所以p是q的充分不必要条件故选A.【点拨】 充要条件的三种判断方法：(1) 定义法：根据p? q， q? p 进行判断；(2) 集合法：根据 p， q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3) 等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xywl”是

11、“ xwi或ywi”的某种条件，即可转化为判断“ x=1且y=1”是“ xy=1”的某种条件.(1)设 x, y C R,则“ x>2 且 y>2"22是 “x +y R4” 的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件x>2,22解：设A=(x, y) |, B= ( x, y)| x + y n 4,通过回草图可知y>2B,则 “xR2 且 yR2” 是 “x2+y2A4” 的充分而不必要条件，故选A.注：此题也可采用定义法来判断(2)( 2013。山东)给定两个命题p, q,若 p是q的必要而不充分条件，则p是

12、q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 解：p是q的必要而不充分条件q是p的必要而不充分条件，从而得出p是 q的充分而不必要条件，故选 A类型三充要条件的证明与探求数列an的前n项和 S = Ar2 +Bn（ A, B是常数）是数列 an是等差数列的什么条件？解：当 n>1 时，an=$Si=2An+ B-A当 n=1 时，ai=S=A+ B,适合 an = 2An+ B-A 所以an=2An+ B-A,显然an是等差数列，故充分性成立.反之，若an是等差数列，则有&=nai+n21）d（d为公差），即S=|n2+ a1-dn. dd

13、设 A=万，B= ai 2,即得 Si= An + Bn,因此，必要性成立.所以S=An2+Bn（A, B是常数）是数列an是等差数列的充要条件.【点拨】 在证明与探求充要条件时，容易出现如下错误：张冠李戴，证明过程中把 充分性与必要性搞反了；证明充分性或必要性时，没有把“p"（或“ q”）分别作为条件，推出“ q"（或“ p”）.已知me Z,关于x的一元二次方程x2 4x+4m= 0,2.2x 4m刈 4m4m-5=0,求方程的根都是整数的充要条件.解：方程有实数根？ A = 1616mi>0,即1,、,一一一，r5万程有实数根？ A = 16m 20>0

14、, IP m>4方程都有实数根？ 5w mc 1.4mC Z,. m= - 1, 0, 1.当m= 1时，方程可化为x2-4x-4=0,无整数解；当m= 0时，方程可化为x2 5=0,无整数解；当m= 1时，方程都有整数解.综上所述，方程的根都是整数的充要条件是m= 1.类型四充要条件的应用(1)设 p： |4x 3| wi , q： x2(2a+ 1)x+a(a+1)w0,若p是 q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（A. 0,1B. 0, 2iC. ( 00 , 0 U +81解:1由 |4x3| 得2xW 1 ,D. ( 8 , 0) U 5，+°0,2，i由 x (

15、2 a+ 1) x+ a(a+ 1) = (x- a) x- (a+1) wo 得aw x< a+1,p是 q的必要不充分条件，11a<o，a<«,1，p是q的充分不必要条件，有 2 或 2得0w aw 2.故选A.a+1>1,a+1 > 1,（2）已知命题p： x2+2x-3>0;命题q： x>a,且q的一个充分不必要条件是p,则a的取值范围是（）B. （ 8, 1A. 1 , +OO）D （ 一 OO） 一 3C. - 1,+°°）解：由x2+2x3>0,得x<3或x>1,由q的一个充分不必要条件是p

16、,可知p是q的充分不必要条件，等价于 q是p的充分不必要条件，有 a R1.故选A【点拨】解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意对区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的情形.(1)( 2015 湖南高三质检)函数f(x)log2x , x>0,=有且只有一个零点的充分不必要条件是()2x+ a, x<0A. a<01 C.2<a<11B. 0<a

17、<2D. aw 0 或 a>i解：.函数f(x)过点(1, 0),，函数f (x)有且只有一个零点？函数y=2x+a(xw。)没有零点？函数y=2x(xwo)与直线y=a无公共点.数形结合可得a<0或a>1.观察选项，根据集合间关系a|a<0a| a< 0或a>1,知A正确.故选A(2)若x<m- 1或x>m+ 1是x2 2x3>0的必要不充分条件，则实数 m的取值范围是 一).,一一2解： 由 已 知 易 得 x|x 2x 3>01 & m-1, 3>0 = x|x<1 或 x>3,或m K3x|x&

18、lt;m-1 或 x>m+ 1,又x|x22x 1V rn-1,解得0wm 2.故填0, 2.mU 1<3,1 命题及判断命题的真假(1) 判断一个语句是否为命题，就是要看它是否具备“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件只有这两个条件都具备的语句才是命题(2) 判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题 ) ，从概念的本身入手进行判断2四种命题间的相互关系及应用(1) 在判断四种命题之间的关系时，首先要注意分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系要注意四种命题关系的

19、相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”(2) 当一个命题有大前提而要写其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个( 或几个 ) 作为大前提(3) 判断命题的真假，如果不易直接判断，可正难则反，应用互为逆否命题的等价性来判断3“否命题”与“命题的否定”的区别“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，“否命题”是对原命题既否定其条件，又否定其结论，而“命题的否定”只否定命题的结论4 充要条件的三种判断方法(1) 定义法：分三步进行，第一步，分清条件与结论；第二步，判断p? q 及 q

20、? p 的真假；第三步，下结论(2) 等价法：将命题转化为另一个等价且容易判断真假的命题一般地，这类问题由几个充分必要条件混杂在一起，可以画出关系图，运用逻辑推理判断真假集合法：写出集合A= x|p(x)及B= x|q(x),利用集合之间的包含关系加以判断：若A? B,则p是q的充分条件；若 AB,则p是q的充分不必要条件；若B? A,则p是q的必要条件；若BA,则p是q的必要不充分条件;若A= B,则p是q的充要条件；若ANB且BCA,则p是q的既不充分也不必要条件.1.命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（）A.若一个数是负数，则它的平方不是正数B.若一个数的平方是正数，则它

21、是负数C.若一个数不是负数，则它的平方不是正数D.若一个数的平方不是正数，则它不是负数 解：根据互为逆命题的概念，结论与条件互换位置，易得答案.故选 B.2.与命题“若ae M则b?M'等价的命题是（）B,若 b?M 贝U aC MA.若 a?M 贝U b?MD.若 a?M,则 be MC.若 be M 则 a?M解：命题“若aC M则b?M”的逆否命题是“若 bC M则a?M',又原命题与逆否命题为等价命题，故选C.3. (2015 安徽)设 p: x<3, q: - 1<x<3,则 p是 q 成立的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条

22、件D.既不充分也不必要条件解：(I, 3)? (8, 3) ,二. p是q成立的必要不充分条件.故选B.4.条件p： 2Vx<4,条件q： (x+2)( x+a)<0，若q是p的必要而不充分条件，则 a的取值范围是()B. ( 一00, 一 4)A. (4 ,+ 8)D4 , +oo )C. ( 8) 4解：由题意，可得 p是 q 的充分不必要条件，x| 2Vx<4x|( x+2)( x+a)<0,得一a>4,即a< 4. 故选B.5. (2014 湖北)设U为全集，A, B是集合，则“存在集合C使得A? C, B? ?uC'是 “An B= ?”的

23、()A,充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：若存在集合C,使彳导A?C,B?uC,则An B?cn(?uC)=?；反过来，若AnB=?,由Venn图可知，一定存在集合 C使得A? C, B? ?uC故选C 6. (2015 台州高三诊断)下列选项中，p是q的必要不充分条件的是()2A. p： x= 1, q： x =x22B. p： | a| >| b| , q： a >b22C. p： x>a + b , q： x>2abD. p： a+c>b+d, q： a>b 且 0d解：A 中，x = 1x2=x,x2 = x

24、? x = 0 或 x =中，|a|>|b|22、, , a + b >2ab根据不等式的性质可得a2>b2x= 1,故反之也成立,22，由x>a+b,得x>2ab,反之不成立中，取a=- 1b=1, c=0, d=3,满足 a+c>b+d,p是q的充分不必要条件；B，故p是q的充要条件；C中， 故p是q的充分不必要条件；D 但avb, c>d；反之，由同向D.不等式可加性知 a>b, c>d? a+c>b+d,故p是q的必要不充分条件.故选7.设nC比，.次方程x24x+n= 0有整数根的充要条件是n=解：x =4± J1

25、6-4n是整数,即2± J4二n为整数，也二n为整数，且 nw4.又,neN+,可取 n= 1n= 3, 4时，可推出2, 3, 4,验证可知n=3, 4符合题意；反之，二次方程 x24x+n = 0有整数根.故填 3或4.“数列an为等比数列”是“数列anan+1为等比数列8.给出下列命题: 的充分不必要条件;"a=2"是“函数f(x) = |x a|在区间2 ,+8)上为增函数”的充要条件；"m= 3"是"直线(3)x + my- 2=0与直线 mx- 6y + 5 = 0互相垂直”的充要条设a, b, c分别是 ABC三个内角

26、A, B, C所对的边，若a= 1,30 ° ” 是 “ B= 60° ”其中真命题的序一解：对于，当数列an为等比数列时，易知数列anan+1是等比数列件;b=V3,则 “A=的必要不充分条件.P.日,但当数列&&+ 1为等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列1, 3, 2, 6, 4, 12, 8,显然不是等比数列，而相应的数列3, 6, 12, 24, 48, 96,是等比数列，因此正确；对于，当a<2时，函数f(x) = |xa|在区间2 , +8)上是增函数，因此不正确；对于，当m= 3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，

27、有m(3) 6m= 0,得mb sinB1=3或0,因此不正确；对于 ，由题意得- =43,若B= 60 ,则sin A= 注a sinA 12意到b>a,故八=30。，反之，当心30。时，有sin B=专,由于b>a,所以B= 60。或B= 120。，因此正确.综上所述，真命题的序号是.故填 .9.写出命题“若#2 +(y+1)2=0,则x=2且y = 1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.解：逆命题：若x=2且y=1,则/=2 + (y+1)2=0;(真)命命题：若 在12 + (y+1)2w0,则xw2或yw 1；(真)逆否命题:若 xw2 或 yw 1,则。X=2 +(y+1)2w0.(真).210,已知 P= x| x -8x-20<0 , S= x|1 -mcx< 1 + m).(1)是否存在实数 ml使