现代控制理论第四章

1、2021-10-31控制科学与工程系1现代控制理论第四章 状态反馈与状态观测器 2021-10-31控制科学与工程系24.1状态反馈及极点配置 1. 1. 状态反馈的结构及基本性质状态反馈的结构及基本性质BuAxxCxy ()()xAxB rKxABK xBrurKxCxy |I-(A-BK)| 1( )()G sC sIABKB2021-10-31控制科学与工程系3定理定理 一个可控、可观测的系统引入状态反馈后不一个可控、可观测的系统引入状态反馈后不改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。改变系统的可控性，但可能改变系统的可观测性。 受控系统可控，则可以通过非奇异线性变换受控系统可控，则

2、可以通过非奇异线性变换P ,化化A，B为可控标准形为可控标准形 12101100001000010naaaaAPPA10001BP B 110nCPC,xAxBuCxy 2021-10-31控制科学与工程系4,urKx引入110nkkkK(),xABK xBrxCy 11221100100001000010nnkakakakaKBA1212101110( )nnnnnnnsssG ssasa sa0001B 1212101111100( )()()()nnnnnnnnsssssaksak sak2021-10-31控制科学与工程系52基于状态反馈的极点配置问题基于状态反馈的极点配置问题o极点配

3、置极点配置就是通过某些手段和方法，使闭环系就是通过某些手段和方法，使闭环系统的极点达到期望的位置上统的极点达到期望的位置上 ,xAxBu(1) (1) 极点配置的条件极点配置的条件 定理：定理：对上式所示系统，利用状态反馈使闭环极点配置在任意位置上的充要条件是开环系统可控。 Cxy 2021-10-31控制科学与工程系6充分性充分性 0112231010000100001nnABKakakakak (),xABK xBr,yCx12nKkkk其闭环特征方程为 1112101()()()()0nnnnIABKakakak*12,n *120n(1)希望极点 111 100nnnaaa(2)202

4、1-10-31控制科学与工程系7比较式(1) 和(2)，令其对应次幂项系数相等，得 00111211nnnaakaakaak*12,n 011,na aa12,nk kk 若受控系统不可控，一定有状态变量与若受控系统不可控，一定有状态变量与u u无关，就不可无关，就不可能实现全状态反馈。因为不可控子系统的特征值不可能重新能实现全状态反馈。因为不可控子系统的特征值不可能重新配置，因此不能实现系统极点的任意配置。配置，因此不能实现系统极点的任意配置。 必要性必要性 状态反馈例12021-10-31控制科学与工程系8(2) 极点配置的设计步骤n判定系统的可控性；n根据期望极点写出系统期望的特征方程

5、即 (1) n设定状态反馈矩阵K，写出闭环系统的特征方程 (2) n令式(1)和(2)对应次幂项系数相等，可求出K； n画出闭环状态反馈系统的状态变量图。*120n111 100nnnaaa()0IABK例2021-10-31控制科学与工程系9针对状态反馈，我们作出以下结论：针对状态反馈，我们作出以下结论：a. a. 一个能控的单输入单输出系统，采用一个能控的单输入单输出系统，采用状态反馈后，闭环系统的特征方程可以写成状态反馈后，闭环系统的特征方程可以写成 0)()()()(011211kaskaskasbkAsInnnn 由于状态反馈系数可以任意选择。因此，由于状态反馈系数可以任意选择。因此

6、，特征方程中的特征方程中的n个系数和它的个系数和它的n个根都是任意个根都是任意的。这就是说，通过状态反馈，闭环系统的的。这就是说，通过状态反馈，闭环系统的极点可以在平面上任意配置。但是，状态反极点可以在平面上任意配置。但是，状态反馈并不影响系统的零点，也不改变系统的阶馈并不影响系统的零点，也不改变系统的阶次。次。 2021-10-31控制科学与工程系10b. 假设系统的开环传递函数分子分母没有公因子，那么开环系统就是能控且能观测的。经状态反馈之后，系统的能控性不变，但是由于系统的零点不受影响，而其极点可以任意配置，因此闭环系统的传递函数有可能出现分子分母对消现象，从而使系统变成不能观测的。即状

7、态反馈不一定能够保持系统的能观测性。 c. 如果不是全状态反馈，那么在反馈阵k 这相应的元素必为零。这样，闭环系统的极点在s平面上的配置就有局限了。 2021-10-31控制科学与工程系11d. 状态反馈比一般的输出反馈对系统性能的综合更为方便。但是从实现的角度来说，状态反馈要比输出反馈复杂。例如，利用状态反馈能够任意配置闭环极点；而利用输出反馈、调节系统的开环放大倍数，只能使闭环极点沿着一定的根轨迹移动。另外，在前面讲过的经典控制理论中，如果在输出反馈中，在调节放大倍数的同时，再引入串联或并联校正装置，这实际上也是在进行极点配置。 2021-10-31控制科学与工程系12基于状态反馈的极点配

8、置定理对多输入多输出系统也适用，但应注意以下问题： a. 如果系统可控，那么按照极点配置综合的状态反馈阵在单输入单输出系统中有唯一的解，而在多输入多输出系统中解不是唯一的。这是因为对于多输入多输出系统可以导出多种可控标准形。这样，设计的自由度增加了。但是，确定哪一个解比较好是十分麻烦的。 2021-10-31控制科学与工程系13b. 状态反馈不改变单输入单输出系统的零点，但是，这个结论并不一定适用于多输入多输出系统。零点对系统的动态性能的影响很大，因此，在多输入多输出系统这，零点的多变性使按极点配置的综合问题变得复杂化。 2021-10-31控制科学与工程系144.2 4.2 输出反馈及极点配

9、置输出反馈及极点配置 1、输出至状态微分的反馈、输出至状态微分的反馈 xAxHyBuCxy ()xAHC xBu2021-10-31控制科学与工程系15定理定理 用输出至状态微分的反馈阵用输出至状态微分的反馈阵H任意配置极点任意配置极点的充要条件是的充要条件是：受控系统可观测。受控系统可观测。 充分性充分性0121000100010001naaAaa12nbbBb100C2021-10-31控制科学与工程系16若在变换后的状态空间内引人输出反馈阵若在变换后的状态空间内引人输出反馈阵H 011TnHhhh则反馈系统状态方程为则反馈系统状态方程为 ()xAHC xBu001122110001000

10、10001nnahahAHCahah其中其中100C则闭环系统特征方程为则闭环系统特征方程为 1111100()()()()0nnnnIAHCahahah2021-10-31控制科学与工程系172、输出至输入的反馈、输出至输入的反馈(), xAxB rHyyCx()xABHC xBr不改变受控不改变受控对象的可控对象的可控性和可观性性和可观性 2021-10-31控制科学与工程系184.3 4.3 扰动的抑制及消除扰动的抑制及消除 *o实际系统中不可避免地存在着扰动作用，致使实际系统中不可避免地存在着扰动作用，致使系统稳态时不能理想的跟踪参考输入而产生偏系统稳态时不能理想的跟踪参考输入而产生偏

11、差。经典控制理论中用偏差的积分及复合控制差。经典控制理论中用偏差的积分及复合控制来抑制与消除单输入单输出系统的稳态误差。来抑制与消除单输入单输出系统的稳态误差。这里，将其推广到多输入多输出系统的状态这里，将其推广到多输入多输出系统的状态空间中。空间中。 ,xAxBud yCx式中式中d为（为（n x 1）维扰动输入）维扰动输入 目标：目标：y(t) 跟踪参考输入跟踪参考输入r(t) 2021-10-31控制科学与工程系19设设d(t)=d01(t)，r(t)= r01(t)，定义偏差向量，定义偏差向量e(t)为为 ( )( )( )e ty tr t则引入偏差向量的积分则引入偏差向量的积分q(

12、t) 00( )( ) ( )( )ttq tedyrdq(t)与与y(t) 均为均为（q x 1）维）维 ( )( )( )( )q te tCx tr t0,000 xAxBdxuyCqCqrq n+q维维要求上述增广系统可控，以便能用状态反馈实现闭环极点的要求上述增广系统可控，以便能用状态反馈实现闭环极点的任意配置，以保证系统的稳定性，动态性能及消除稳态误差。任意配置，以保证系统的稳定性，动态性能及消除稳态误差。 1. 1. 引入偏差的积分值引入偏差的积分值2021-10-31控制科学与工程系20增广系统的可控性矩阵增广系统的可控性矩阵S为为 21112100000n qn qA SB

13、A BBABSA BABSC SC BCIC A BC AB BABAABBSqnn211其中其中（n + q）x（n + q）p维 满秩满秩qnrankS增广系统的可控的充要条件是增广系统的可控的充要条件是： n x（n+q-1）p维 若原受控对象可控，则其可控性矩阵满足若原受控对象可控，则其可控性矩阵满足 ： nBAABBrankn1nrankS 1于是增广系统的可控的充要条件是于是增广系统的可控的充要条件是： () ()0n qnpABrankSranknqC2021-10-31控制科学与工程系21至此，增广系统可控的充要条件又可表为至此，增广系统可控的充要条件又可表为 （1）受控对象可

14、控）受控对象可控; （2） ;0nxnnxpqxnqxpABranknqC;pqrankBrankCq选择下列状态反馈控制规律选择下列状态反馈控制规律 qKxKqxKKu2121rrydqxAydqxCBKBKAqx1210qxCqxCy102021-10-31控制科学与工程系220det)(21CBKBKAIf2021-10-31控制科学与工程系23可求得输出向量的拉氏变换为可求得输出向量的拉氏变换为 111( )( )()( )D sY sCsIAR s当当d=d01(t)及及r= r 01(t)时，稳态输出向量为时，稳态输出向量为 )(lim)(lim0ssytyst0111111000

15、/lim()/sdsdsC sIAC Arsr lim( )( )0ty tr t且存在且存在 当扰动和当扰动和/或参考输入为斜坡信号时，需引入重积分器，或参考输入为斜坡信号时，需引入重积分器，这时增广系统动态方程随之改变。这时增广系统动态方程随之改变。 例例2021-10-31控制科学与工程系242. 2. 复合控制复合控制 CxyHdBuAxx,复合控制就是选择复合控制就是选择F阵，在参考输入阵，在参考输入r=0条件下使条件下使 uFd 以实现以实现y对对d的不变性。的不变性。 2021-10-31控制科学与工程系25复合控制系统动态方程为复合控制系统动态方程为 () ,xAxHBF d

16、yCx000( )() ( )()() ( )tty tCttx tCtHBF dd要求要求y(t)不受不受d(t)的影响，就是要求的影响，就是要求 0()() ( )0ttCtHBF dd()()0CtHBF2021-10-31控制科学与工程系26()()0A tCeHBF,tt HBFB0BCeAtF0BHBF10) (nmmmAtAtae01BCACACn上式表明，该系统可观测而不可控。上式表明，该系统可观测而不可控。 2021-10-31控制科学与工程系274.4 4.4 全维状态观测器全维状态观测器 o实现状态重构的装置就称为状态观测器。按实现状态重构的装置就称为状态观测器。按实现维

17、数的不同，状态观测器一般可分为实现维数的不同，状态观测器一般可分为全全维状态观测器维状态观测器和和降维状态观测器降维状态观测器两种形式。两种形式。o与被观测系统具有相同维数的观测器，被称与被观测系统具有相同维数的观测器，被称为全维状态观测器，也称为龙伯格观测器。为全维状态观测器，也称为龙伯格观测器。o若观测器的维数低于被观测系统的维数，则若观测器的维数低于被观测系统的维数，则被称为降维状态观测器。被称为降维状态观测器。2021-10-31控制科学与工程系281 1、全维状态观测器设计任务、全维状态观测器设计任务xAxBuCxy 1122tnnxxxxxxxx lim( )( )0,1,2,ii

18、tx tx tin设计任务设计任务: :构建状态观测器，使观测器的状态满足跟踪特性构建状态观测器，使观测器的状态满足跟踪特性 2021-10-31控制科学与工程系292 2、开环全维状态观测器、开环全维状态观测器 构建一个与受控对象动态方程相同的模拟系统构建一个与受控对象动态方程相同的模拟系统 xAxBuyCx2021-10-31控制科学与工程系30开环状态观测器的跟踪特性分析开环状态观测器的跟踪特性分析设状态偏差为设状态偏差为 xxxxxxAxBuAxBuA xxAxxAx0()0( )( )A t tx tex t0()00( )( )( )A t tx tex tx t00( )( )x

19、 tx t00( )( )x tx t受控对象的初始状态可能因其所处的实际环境、条件等因素受控对象的初始状态可能因其所处的实际环境、条件等因素不同而相异，模拟系统中积分器初始条件的设置只能预估，不同而相异，模拟系统中积分器初始条件的设置只能预估，因而两个系统的初始状态总有差异，完全相等的机率极小。因而两个系统的初始状态总有差异，完全相等的机率极小。 系统矩阵系统矩阵A A具有正的特征值（或具有正实部）时具有正的特征值（或具有正实部）时 x 当系统矩阵当系统矩阵A A的特征值都为负（或具有负实部）时的特征值都为负（或具有负实部）时 0 x xx即即实际上这种开环观测器是不实用的，几乎不被应用。实

20、际上这种开环观测器是不实用的，几乎不被应用。 2021-10-31控制科学与工程系313 3、闭环全维状态观测器、闭环全维状态观测器 ()() ()xAxBuH yyAxBuH CxCxAxBuHC xx2021-10-31控制科学与工程系32()()()()xxA xxHC xxAHCxxxxx其解为其解为0()()00 ( )( )A HCt txxex tx tu只要（只要（A A- -HCHC）的特征值具有负实部，不论初始）的特征值具有负实部，不论初始向量误差如何，总会按指数规律衰减满足式向量误差如何，总会按指数规律衰减满足式衰减速度取决于（衰减速度取决于（A A- -HCHC）的特征

21、值配置）的特征值配置 。故观测。故观测器能估计状态的充要条件是受控对象可观测。器能估计状态的充要条件是受控对象可观测。 lim()0txx2021-10-31控制科学与工程系334 4、闭环全维状态观测器的设计步骤、闭环全维状态观测器的设计步骤判定待观测系统的可观测性；判定待观测系统的可观测性；根据观测器响应速度的要求确定其期望极点根据观测器响应速度的要求确定其期望极点 写出期望的特征方程，即写出期望的特征方程，即 设定输出反馈矩阵设定输出反馈矩阵 ( (q q为输出维数为输出维数) )，写出，写出闭环观测系统的特征方程闭环观测系统的特征方程 令上面两式对应次幂项系数相等，便可求出令上面两式对

22、应次幂项系数相等，便可求出H H；画出闭环观测器的状态变量图。画出闭环观测器的状态变量图。*12,n q nH111100nnnaaa()0IAHC例2021-10-31控制科学与工程系344.54.5降维状态观测器降维状态观测器 对于q维输出系统，有q个输出变量可直接由传感器测得，若选取该q个输出作为状态变量，它们便无需由观测器作出估计，观测器只需估计（n-q）个状态变量，称为降维观测器。它是（n-q）维子系统，结构简单，工程上易于实现。为此，需要由受控对象动态方程导出（n-q）维子系统动态方程，建立降维观测器的观测模型。 2021-10-31控制科学与工程系351 1、降维观测器的观测模型

23、、降维观测器的观测模型 设可观测受控对象动态方程为设可观测受控对象动态方程为 ,xAxBuCxy 式中，式中，u为（为（p x 1）维，）维，y为（为（q x 1）维）维 (1) (1) 引入非奇异线性变换引入非奇异线性变换 xQxx1MQC12xxxn-q维待观测状态变量维待观测状态变量 q维由输出维由输出y测得的状态变量测得的状态变量 ,xAxBu yyCx111212122()()n qqAAnqAQ AQAAq行行2021-10-31控制科学与工程系36112() BnqBQ BBq行行1100MMMCCQCIICCC10MMMMCCCICCCCC可验证 IC02021-10-31控制

24、科学与工程系37(2) (2) 待观测子系统模型待观测子系统模型 11111122222122xxBAAuxxBAA2210 xxxIyy111 1121xA xA yBu221 1222xA xA yB u121vA yBu222zyA yB u令令vxAx1111121xAz 则得待观测子系统模型为则得待观测子系统模型为xAxBuCxy 可观测2021-10-31控制科学与工程系382 2、降维观测器的构成及分析、降维观测器的构成及分析 111 1(),xA xvH zz21 1 zA x111211()xAHAxvHz11211121222()()()AHAxA yBuH yA yB u

25、2021-10-31控制科学与工程系39采用与全维状态观测器相同的思路采用与全维状态观测器相同的思路 11112111xxAHAxx111211121222()()()xAHAxA yBuH yA yB u111 1121xA xA yBu121xAz 1121111010( )( )AHAxxex tx t 通过选取观测器输出反馈矩阵通过选取观测器输出反馈矩阵HH能使降维观测器按期望能使降维观测器按期望的衰减速率实现状态跟踪的衰减速率实现状态跟踪 11xx2021-10-31控制科学与工程系403 3、降维状态观测器的设计及实现、降维状态观测器的设计及实现11111122222122xxBA

26、AuxxBAA1220 xyIxx确定待观测子系统的动态方程确定待观测子系统的动态方程111 1121xA xA yBu21 1222zA xyA yB u(1)设计步骤设计步骤判定待观测系统的可观测性；判定待观测系统的可观测性；通过非奇异线性变换把系统变为如下形式通过非奇异线性变换把系统变为如下形式2021-10-31控制科学与工程系41设定输出反馈矩阵设定输出反馈矩阵()n qqH写出降维观测器的特征方程写出降维观测器的特征方程1121()0IAHA令式令式(1)和式和式(2)对应次幂项系数相等，便可求出对应次幂项系数相等，便可求出H。 (2)根据观测器的响应速度的要求确定观测器的期望极点

27、：根据观测器的响应速度的要求确定观测器的期望极点：*12,n q *120n q即即111 100n qn qn qaaa ，列写出期望的特征方程，列写出期望的特征方程(1)(q为输出维数为输出维数)，111211121222()()()xAHAxA yBuH yA yB u2021-10-31控制科学与工程系42(2) 降维观测器的实现降维观测器的实现 111211121222()()()xAHAxA yBuH yA yB u微分项微分项变量变换法变量变换法 1wxHy11121121222()() ()xw HyAHAw HyA yBuHyHA yHBu112112()()wAHAwBHB uHy11211222()HAHAHAHA1xwHy2021-10-31控制科学与工程系43变换后的受控对象和龙伯格观测器结构图 2021-10-31控制科学与工程系44结构变换法结构变换法 11211121222()()()xAHAxA yBuH yA yB u11211122212()()()xAHAxHyAHAyBHB u降维观测器的结构变换法实现 示例示例 2021-10-31控制科学与工程系454.64.6带观测器的状态反馈系统带观测器的状态反馈系统 带观测器的状态反馈系统带观测器的状态反馈系