信息光学(傅里叶光学)Chap3-1

1、第三章 标量衍射理论 Scalar Theory of Diffraction衍射: 不能用反射或折射来解释的光对直线光路的任何偏离衍射理论实际上就是光波传播的规律标量衍射理论: 是对矢量理论的简化. 条件:1. 衍射孔径波长2. 衍射场(观察区域)不太靠近孔径首先要对标量波进行数学描述3-1 光波的数学描述单色光波场的复振幅表示光场随时间的变化关系: 由频率n表征.光振动是空间点 (P)和时间(t)的实简谐函数, 可表为:u(P,t) = a(P)cos2pnt - j(P)振幅频率初位相可见光: n 1014Hz严格单色光: n为常数光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能

2、不同(2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.光场变化的空间周期为l.光场变化的时间周期为1/ n.将光场用复数表示,有利于简化运算3-1 光波的数学描述单色光波场的复振幅表示光场随时间的变化e -j2pnt不重要: u(P,t) = a(P)cos2pnt - j(P) = ea(P)e-j2pnt -j(P) n 1014Hz, 无法探测n为常数,线性运算后亦不变对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分.故引入复振幅U(P):将光场用复数表示,有利于简化运算= ea(P) e jj(P). e -j2pnt 复数表示有利于将时空变量分开U(P) = a(P) e jj(P)#3

3、-1 光波的数学描述单色光波场的复振幅表示: 说明 U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关;U(P) = a(P) e jj(P) U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|和相对位相arg(U)= j(P) 方便运算,满足叠加原理 实际物理量是实量. 欲恢复为真实光振动:# 光强分布: I = UU* 光强是波印廷矢量的时间平均值, 正比于电场振幅的平方 u(P,t)= eU(P)exp(-j2pnt) 即可3-1 光波的数学描述球面波 : 空间分布点光源或会聚中心球面波: 等相面为球面, 且所有等相面有共同中心的波k = | k |=2p /l

4、, 为波数. 表示由于波传播, 在单位长度上引起的位相变化, 也表明了光场变化的“空间频率”(P(x,y,z)0zyx源点S(rk设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r, k: 传播矢量#球面波的等位相面: kr=c 为球面jkreraPU0)(则P点处的复振幅:j(P) = k . rk : 传播矢量球面波: k/ra0: 单位距离处的光振幅3-1 光波的数学描述球面波 : 空间分布会聚球面波jkreraPU0)(距离 r 的表达若球面波中心在原点: 222zyxr(P(x,y,z)会聚点S(r若球面波中心在 S (x0, y0, z0): 202020)()()(zzyyx

5、xr#0zyxk光波的数学描述球面波 : 在给定平面的分布以系统的光轴为z轴,光沿 z 轴正方向传播.所考察的平面垂直于z 轴令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处. 考察与其距离为z的x - y平面上的光分布Sx0zxy0y02/ 1220202/ 122020)()(1 )()(zyyxxzzyyxxr需要作近轴近似#光波的数学描述球面波 : 近轴近似只考虑 x - y平面上对源点S张角不大的范围, 即1)()(22020zyyxxzyyxxzr2)()(2020可以作泰勒展开(1+D)1/2 1+ D /2一级近似二级近似对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对

6、位相中的 r 须作二级近似#3.1 光波的数学描述二、球面波 : 近轴近似已将球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z 轴正方向传播.如果 z 0, 上式代表从 S 发散的球面波.如果 z l, 观察距离 r (2)一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式1. 惠更斯包络作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射, 也能预见光在通过简单孔径时的衍射现象.但它只能判断光的传播方向,不能定量计算.#3-2 基尔霍夫衍射理论 一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔

7、霍夫衍射公式2. 菲涅耳子波干涉说 (1818): 子波间应当互相干涉,并且应当考虑不同方向子波的差异. 惠更斯-菲涅耳原理惠更斯-菲涅耳原理: 波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个与原波频率相同的子波. 此后空间任何一点的光振动是这些子波叠加的结果. 其数学表述为:dsreKPUcPUjkr)()()(0q常数幅相因子倾斜因子球面子波表达式源点光扰动U(P0)ds: 球面子波的振幅相干叠加观察点(场点)复振幅# 球面子波源3-2 基尔霍夫衍射理论 一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式原波阵面源点处的面元法线场点源点到场点的距离所考虑的传播方向与面元法线的夹角源点dsreKPUcPUjkr

8、)()()(0q成功: 可计算简单孔径的衍射图样强度分布.局限:难以确定K(q ).无法引入-p /2的相移#3-2 基尔霍夫衍射理论 一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式3. 基尔霍夫衍射公式的导出(1882)光场振动应满足的波动方程应用数学工具格林定理光场复振幅必须满足的亥姆霍兹方程对格林函数和光场复振幅函数施加一定的限制条件基尔霍夫边界条件用格林定理解亥姆霍兹方程导出严格的衍射公式#3-2 基尔霍夫衍射理论 一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式3. 基尔霍夫衍射公式的导出基尔霍夫边界条件1. 在开孔上各点, 场分布U及其一阶导数 与屏不存在时相同.2. 在不透明屏后各点, U

9、及其一阶导数 恒为0.3. 孔径l, 观察距离 r nUnU#3-2 基尔霍夫衍射理论 一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式在单色点光源照明平面孔径的情况下:P0nPPrrdsreKPUcPUjkr)()()(0qdsrereajPUjkrjkr2) cos()cos(1)(0rn,rn,l过渡到惠-菲原理常数幅相因子 1/jl 自动出现K(q)函数形式确定#3-2 基尔霍夫衍射理论 一、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式对于更普遍的照明情况:1. 可以把任意复杂的光波分解为简单球面波的线性组合2. 波动方程的线性性质, 允许对单个球面波应用基尔霍夫公

10、式, 然后再把它们对P点的贡献叠加起来.普遍情形下用U(P0)代替 , 得:a0e jkrrdsrePUjPUjkr2) cos()cos()(1)(0rn,rn,l#3-2 基尔霍夫衍射理论 二、光波传播的线性性质考察基尔霍夫衍射公式与线性系统的关系第一步: 将基尔霍夫衍射积分扩展到无穷故基尔霍夫衍射积分可写为:根据: 对开孔的假定基尔霍夫边界条件1. 在开孔上各点, 场分布U及其一阶导数 与屏不存在时相同.2. 在不透明屏后各点, U及其一阶导数 恒为0.nUnUdsreKPUjPUjkr)()(1)(0ql#3-2 基尔霍夫衍射理论 二、光波传播的线性性质考察基尔霍夫衍射公式与线性系统的

11、关系第二步: 将基尔霍夫衍射积分表示成线性系统的叠加积分2. 考虑x0- y0平面上的孔径, ds = d x0 d y0, 观察平面为x-y平面,则基尔霍夫衍射积分可写为:1jl e jkrrK(q )1. 令 h(P, P0) =代表孔径上P0点的扰动在观察点P点处产生的贡献, 或者说是P0点的子波源在P点产生的复振幅分布#000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxU3-2 基尔霍夫衍射理论 二、光波传播的线性性质这正是描述线性系统输入- 输出关系的叠加积分: 输入函数: 孔径平面上的复振幅分布 U(x0,y0) 输出函数: 观察平面上的复振幅分布 U(x, y) 脉冲

12、响应: (x0,y0)点的子波源发出的球面波在观察平 面产生的复振幅分布h(x, y; x0,y0) 输入U(x0, y0)输出U(x, y)传播、衍射（h）光波传播的规律,可以用一个线性系统描述.但这个线性系统是否空不变的系统?#000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxU3-2 基尔霍夫衍射理论 二、光波传播的线性性质传播现象看成线性空不变系统的条件： (1) 照明点光源足够远，并且是近轴的 cos(n,r) -1 (对任何r都成立) (2) 观察平面与孔径的距离z , 并且仍考虑近轴近似 cos(n,r) 1由此可导出:K(q ) 11jl e jkrrh(P, P0) =#000000),;,(),(),(dydxyxyxhyxUyxU3-2 基尔霍夫衍射理论 二、光波传播的线性性质将 r (源点-场点距离)展开:20202)()(yyxxzr对于固定的观察平面,即固定的z, r仅决定于(x-x0, y-y0), 故脉冲响应函数成为空不变的:),( )()()()(exp1),;,(00202022020200yyxxhyyxxzyyxxzjkjyxyxhl基尔霍夫衍射公式的叠加积分形式可进一步写成卷积积分000000),(),(),(dydxyyxx