2020年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练

1、2020年高考文科数学概率与统计题型归纳与训练【题型归纳】 题型一古典概型例1 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）.A. -B. -C. D.5525925【答案】B【解析】可设这5名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出2人的方 法有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊）,（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有1。种选法，其中只有前4种是甲被选中, 所以所求概率为3 = 2.故选B.10 5例2将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书 相邻的概率为.【答案】|【解析】根据题意显然这是一个古典概型

2、，其基本事件有：数1,数2,语；数1, 语，数2;数2,数1,语；数2,语，数1;语，数2,数1;语，数1,数2共有6 种，其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：P = 1 = M6 3【易错点】列举不全面或重复，就是不准确【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数.型二几何概型例1 如图所示，正方形ABC。内的图形来自中国古代的太极 图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成 中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率 是().【答案】B【解析】不妨设正方形边长为，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所

3、求概率为1(“2-X7TX -二1 = 2.故选已。一 8例2 在区间0,5上随机地选择一个数p ,则方程/ + 2px +3P-2 = 0有两个负根的 概率为.【答案】|A = 4/72-4(3/?-2)>0【解析】方程x2 + 2x +3P-2 = 0有两个负根的充要条件是，Xj+x2 =-2/?<0即 xx2 =3一2>0或pZ2,又因为pw0,5,所以使方程/ + 2px + 3p 2 = 0有两个负根的p27(1一7)+ (5-2) 的取值范围为(；”U5,故所求的概率-=|,故填：35033【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.【思维点拨有两个负根”转化为函数

4、图像与X轴负半轴有两个交点.从而得到参 数的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可.题型三抽样与样本数据特征例1某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200 , 400, 300, 1。件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.【答案】18【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取300x里= 18（件）. 1000例2己知样本数据占,w，乙的均值了 = 5,则样本数据28+1, 2& + 1,， 2玉+ 1的均值为.【答案】11【解析】因为样本数据玉，乙，Z的均值灭=5,又样本数据+1, 2

5、% + 1, ，27+1的和为2（再+4+）+,所以样本数据的均值为2X + 1 =11.例3 某电子商务公司对10000名网络购物者2018年度的消费情况进行统计，发 现消费金额（单位：万元）都在区间030.9内，其频率分布直方图如图所示.（1）直方图中的“二.（2）在这些购物者中，消费金额在区间0.5。9内的购物者的人数为.【答案】4 = 3人数为0.6x10000 = 6000【解析】由频率分布直方图及频率和等于1,可得0.2x0.1+0.8x0.1 + 1.5x0.1 + 2x0.1 + 2.5x0.1+6rx0.1 = l ，解之得4 = 3.于是消费金额在区间0.5,0.9内频率为

6、0.2乂0.1+0.8、0.1 + 2*0.1+3*0.1=0.6,所以消费金额在区间050.9内的购物者的人数为0.6x10000 = 6000.例4 某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，lit160,180), 180,200), 200,220), 220,240), 240,260), 260,280), 280,300分组的频率分布直方图如图 所示.（1）求直方图中X的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为220,240）, 240,260）, 260,280）, 280,300的四组用户中， 用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在220

7、,240）的用户中应抽取 多少户？【答案】见解析【解析】（1）|±| （0.002 + 0.0095 + 0.011+0.0125+0.005+0.0025）x20 = 1 ,得犬=0.0075.（2）由图可知，月平均用电量的众数是220 + 24° = 230. 2因为（0.002 + 0.0095 + 0.011）x20 = 0.45 <0.5,又（0.002 + 0.0095 + 0.011 + 0.0125） x 20 = 0.7 > 0.5 ,所以月平均用电量的中位数在220,240）内.设中位数为1±| （0.002 + 0.0095 +

8、0.011） x 20 + 0.0125 x （« - 220） = 0.5,得a = 224,所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为220,240）的用户有0.0125 x 20x100 = 25 （户）；月平均用电量为240,260）的用户有0.0075 x 20x100 = 15 （户）； 月平均用电量为260,280）的用户有0.005 x 20x100=10 （户）;月平均用电量为280,300的用户有0.0025x20x100 = 5 （户）.抽取比例为11 _ 125 + 15 + 10 + 5 5所以从月平均用电量在220,240）的用户中应抽取25x

9、' = 5 （户）.【易错点】没有读懂题意，计算错误.不会用函数思想处理问题【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2牵涉到策略问题,一般可以转化 为比较两个指标的大小.题型四回归与分析例1下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线 图0.80 !11234隼份代码，（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与/的关系，请用相关系数加以说 明（2）建立），关于1的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾无害 化处理量.77n参考数据：Z）=9.32, Z，/=40.17, 收（凹一 »=055，后、2.646.-,）参考公式：

10、相关系数一一，.向（）2 与（y,_y）。回归方程），=+%中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:人之&-亍）（凹-歹）_ _b =，a=y -订.Z（"2 /-I【答案】见解析【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得7 = 4, £。-7）2=28, /-I7£(心一巾£以一匕),产4。.17-4x9.32 = 2.89, " ° 彩因为y与/的相关系数近似为0.99,说明y与/的线性相关程度相当高，从而可以用 线性回归模型拟合y与/的关系.(1)7£()()777777又£匕=28, y；=9.3

11、2, Z“，j =40.17i=l，=2/7 =5.292,7)2 =0.55,所以一7x40.17-28x9.327x5.292x0.550.99故可用线性回归模型拟合变量），与/的关系.1 7£%凹-7T 亍 40.17-7x4x1x9.32（2） 7=4,所以= 0.10 t7M尸281-12 =y一届= gx9.32-0.10x4%0.93,所以线性回归方程为20.1/ + 0.93 .当"9时，$=0.1x9 + 0.93 = 1.83.因此，我们可以预测2016年我国生活垃圾无害化 处理1.83亿吨.【易错点】没有读懂题意，计算错误.【思维点拨】将题目的已知条件

12、分析透彻，利用好题目中给的公式与数据.题型五独立性检验例1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B两变量的线性相关性作试验，并用 回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：甲乙丙Jr0.820.780.690.85m115106124103则哪位同学的试验结果体现A、B两变量更强的线性相关性？（）A.甲B.乙C.丙D. 丁【答案】D【解析】D因为A0且丁最接近1,残差平方和最小，所以丁相关性最高【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系【思维点拨】相关系数r的绝对值越趋向于1,相关性越强.残差平方和m越小相 关性越强【巩固训练】题型一古典概型1 .将一颗质地均匀的骰子(一种各个面

13、上分别标有123,4,5,6个点的正方体玩具) 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.【答案】1 O【解析】将先后两次点数记为(x,y),则基本事件共有6x6 = 36 (个)，其中点数之和大于等于 10有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6种，则点数之和小于1。共有30种，所以概率为史=*. 36 62 .我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫 猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和“，如30=7 + 23.在不超过 30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是().A. 1B. 1C.

14、1D. 112141518【答案】C【解析】不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29,共10个,随机选取两数有45 (种)情况，其中两数相加和为30的有7和23, 11和19, P=2=l13和17,共3种情况，根据古典概型得45 15 .故选c.3 .袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中 一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为.【答案】P = f 6【解析】1只白球设为4，1只红球设为2只黄球设为c, d ,则摸球的所有情况为(，(©,(/),伍,c),("/), (c,d),共6件,满足题意的事件为(

15、。力)，(%), Rd),(瓦c), (b,d),共5件，故概率为p = 2. 6题型二几何概型1.某公司的班车在7:00, 8:00, 8:30发车，学.小明在7:50至8:30之间到达发车 站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概 率是().A.-B.-C.-D.-3234【答案】B【解析】如图所示，画出时间轴.7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30'*/17* DB小明到达的时间会随机的落在图中线段”中，而当他的到达时间落在线段AC或时，才能保证他等车的时间不超过10分钟.根据几何概型，所求概率P=史山=1故选区4022

16、 .从区间。，1随机抽取2个数玉，工，/，打，”，构成个数对 （z，x）, （&，刈），.,（工小），其中两数的平方和小于1的数对共有?个，则用随机模拟的方法得到的 圆周率兀的近似值为（）.【答案】C【解析】由题意得：（七，）。= 1，2,，）在如图所示方格中，而平方和小于1的点 均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知匚”，所以尸犯.故选C ；一二n3 .下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成， 三个半圆的直径分别为直角三角形A5c的斜边BC,直角边4?, AC, 46C的 三边所围成的区域记为I,黑色部分记为H,其余部分记为川，在整个图形 中随机取

17、一点，此点取自I , H, III的概率分别记为限 则A I，=4B Pi = p3C p2 = p3【答案】A【解析】概率为几何概型，总区域面积一定，只需比较I, n,【n区域面积即可.设直角三角形相。的三个角A, B， C所对的边长分别为，c,则区域I的面积为S1 ,区域n的而积为其后心）+刿；“ +'叫心,）19区域in的面积为邑=；兀（另+刿和 显然P = P.故选A.题型三抽样与样本的数据特征1 .已知一组数据4, 6, 5, 8, 7, 6,那么这组数据的平均数为.【答案】10【解析】平均数工（4 + 6 + 5 + 8 + 7 + 6） = 6.62 .某电子商务公司对1

18、0000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消 费金额（单位：万元）都在区间03 0.9内，其频率分布直方图如图所示.（I ）直方图中的 =；（II）在这些购物者中，消费金额在区间。5 0.9内的购物者的人数为.【答案】3； 6000【解析】频率和等于 1 可得0.2x0.1 + 0.8x0.1 + L5x0.1 + 2x0.1 + 2.5x0.1 + ox0.1 = l ,解之得a = 3 .于是消费金额在区间0.5, 0.9内频率为0.2x0+ 0.8x0.1 + 2x01+ 3x0.1 = 0.6 , 所以消费金额在区间0.5, 0.9内的购物者的人数为：0.6x10000

19、= 6000,故应填3; 6000.3 .我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居 民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准X （吨）、一位居民的月用 水量不超过X的部分按平价收费，超出X的部分按议价收费.为了了解居民用水情 况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按 照0,0.5）, 051）,，4,4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中。的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明 理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计

20、工的值, 并说明理由.【答案】见解析【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在005）中的频率为0.08x0.5 = 0.04, 同理，在0.5,1）, 1.5,2）, 225）,3,3.5）, 3.5,4）, 4,4.5）中的频率分别为 0.08,0.20,0.26，0.06，0.04，0.02.由 0.04+0.08+0.5x“+ 0.20+0.26+O.5xa+0.06 +0.04 +0.02 = 1，解得。=0.30.（2）由（1）, 100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3

21、吨的人数为 300000x0.12 = 36000.（3）因为前 6组的频率之和为 0.04-0.08-0.15-0.20-0.26-0.15=0.88>0.85,而前 5 组的频率之和为0.04+0.08+0.15 -0.20 -0.26=0.73 <0.85,所以 2.53.由 O.3x（x-2.5） =0.85-0.73，解得x = 2.9.题型四回归与分析1 .为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表：收入1 （万元）8.28.610.011.311.9支出丫 （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程尸加

22、+ £ ,其中。二0.76,44-底,据此估计，该社区 一户收入为15万元家庭年支出为（）A. 11.4 万元& 11.8 万元C. 12.0 万元D. 12.2万元【答案】B【解析】由已知得灭=£2 + " + 10.0 + 116 + 1 L9 =o （万元），32 + 7.5 + K（）-S5 + 9.X =8 （万元），故方= 8-0.76x 10 = 0.4 , 5所以回归直线方程为$ = 0.76"0.4.当社区一户收入为15万元，家庭年支出为y = 0.76x15+ 0.4 = 11.8 （万元）.故选艮2 .为了研究某班学生的脚长

23、x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从 该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与'之间有线性相关关人1010系，设其回归直线方程为片区+乙 已知Zx=225, Z» = 1600, /； = 4.该班某 ;=ii=i学生的脚长为24,据此估计其身高为（）.A 160B. 163C. 166£）.170【答案】C【解析】3 = 22.5,尸 160,所以 = 160-4x22.5 = 70, x = 24 时，' = 4x24 + 70 = 166. 故选C.3.某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千

24、元） 对年销售量（单位：t）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的年宣传 费人和年销售量（i = 128）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量 的值.年销售量A620-600-, ,580 . .560 540 -520500480| 一 a34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56年宣传费/千元XVt（x，-三）2 /-I立可2 /=!£ （明一卬）（其一）46.65636.8289.81.61469108.8_ I O表中吗=6，卬=62>'， 6 i=l（I）根据散点图判断，、="+法与），=c+d五哪一个适宜

25、作为年销售量丫关于年宣 传费,的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立丫关于x的回归方程；（3）已知这种产品的年利润z与工，）的关系式为z = 0.2y-x,根据（2）的结果回 答下列问题：（i ）年宣传费x = 49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费，为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据一,匕）（2，匕），（%匕），其回归直线y = a+加的斜率和£（1-万）（匕-v）截距的最小二乘估计分别为/ = J， a = v-pu.Z（i）【答案】见解析【解析】（1）由散点图变化情况可知选择y=c+d4较为适宜.由

26、题意知:曾2曹鹏1-1又)=0+177 一定过点(初了),所以c = y-dco = 563-68x6.8 = 100.6 ,所以y与*的回归方程为y = 100.6+68>/x .(3) ( i )由(2)知，当x = 49时，y = 100.6+68x = 576.6(1),z = 0.2x576.649= 66.32 (千元)，所以当年宣传费为x = 49时，年销售量为576.6(。，利润预估为66.32千元.(ii )由(2)知，z = 0.2y-X = 0.2(100.6 + 68a/7)-x = x-x+ 20.12 =-(V7-6.8)2 +6.82 + 20.12 ,所以

27、当打二6.8时，年利润的预估值最大，B|Jx = 6.82 =46.24 (千元).题型五独立性检验1.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另 外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设”：“这种血清不 能起到预防感冒的作用“，利用2x2列联表计算的蜉=3.918,则下列表述中正确 的是()A.有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”B.若有人未使用该血清，那么他一年中有95%的可能性得感冒C.这种血清预防感冒的有效率为95%D.这种血清预防感冒的有效率为5%【答案】A【解析】由题可知,在假设成立情况下,P（K*3.841）的概率约为0 05,即在犯 错的概率不错过0.05的前提下认为“血清起预防感冒的作用”，即有95%的把握认 为“这种血清能起到预防感冒的作用”.这里的95%是我们判断不成立的概率量 度而非预测血清与感冒的几率的量度，故B错误C,。也犯有8中的错误.故选A2 .观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量之间关系最强的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在频率等高条形图中，与二丁相差很大时，我们认为两个分类变量 a + b c + cl有关系，四个选