中国科学技术大学高等固体物理2

1、第二章第二章 无序无序2.1 2.1 无序系统无序系统 2.2 2.2 无序系统的电子态无序系统的电子态2.3 2.3 无序系统的直流电导无序系统的直流电导2.4 2.4 无序系统的光学性质无序系统的光学性质2.5 2.5 无序系统的应用无序系统的应用2.1 2.1 无序系统无序系统1.无序无序 体系的性质不再能以长程有序的理想晶体作为零级体系的性质不再能以长程有序的理想晶体作为零级近似，无序作为微扰来解释的情形。近似，无序作为微扰来解释的情形。 2.2.无序的类型无序的类型 （1)1)成分无序成分无序 （2)2)位置无序位置无序 （3)3)拓扑无序拓扑无序(a)(a)晶态晶态(b)(b)成分

2、无序成分无序 位置无序位置无序(d)(d)拓扑无序拓扑无序3.3.无序的形成无序的形成T TTgTgTfTfTbTb晶体晶体玻璃玻璃玻璃化转变玻璃化转变气体气体液体液体V V10101212a a10103 3s s1010-12-12s s原子（或分子）的驰豫时间原子（或分子）的驰豫时间：体系中原子（分子）进行结构构造重体系中原子（分子）进行结构构造重新排列的时间新排列的时间. .系统从系统从TfTfTgTg所需时间所需时间tt 峰展宽峰展宽任何非晶结构模型，首先要符合任何非晶结构模型，首先要符合RDFRDFRDFRDF可以从衍射实验结果通过富氏变换可以从衍射实验结果通过富氏变换而得到而得到

3、单色单色X X射线、电子束、中子束射线、电子束、中子束原原子子密密度度样样品品中中单单位位体体积积的的平平均均度度分分布布性性散散射射粒粒子子按按动动量量的的强强散散射射相相干干函函数数，反反映映弹弹波波长长入入射射粒粒子子波波长长，入入射射光光 0002)sin(1)(24)(:)(sin42sin22,; dkkrkikrrrJkikdkndmEhEEhcE以以X X射线衍射为例，说明射线衍射为例，说明RDFRDF的实验测量公式的实验测量公式非晶整体非晶整体一个单胞一个单胞 结构因子：结构因子： iijiiijrk ijiirrk ijiiirk ijjrk iiiifirk iirkki

4、iijjijiiifefffefffefefkFkFkFIfkkkefefkF)()(*2)(*2*20)()()()(:,)(0衍射强度：衍射强度：为原子的散射因子为原子的散射因子德德拜拜方方程程原原子子间间相相对对取取向向任任意意ijijiiijjiiijijijikrijrkijiijkrkrfffkIkrkrddrererrrijij)sin()()sin(sin41:)(*20202cos2 的的贡贡献献离离平平均均密密度度对对衍衍射射强强度度第第二二项项表表示示原原子子分分布布偏偏种种原原子子的的平平均均密密度度：表表示示第第对对原原子子种种类类求求和和。如如令令种种原原子子的的密

5、密度度处处第第个个原原子子距距离离为为它它表表示示距距第第数数并并引引入入相相对对原原子子密密度度函函求求和和用用积积分分表表示示对对 immmiiimimmmiimiiimmmiiimdrkrkrrffdrkrkrrrfffkImmdrkrkrrrfffkImrirj02*02*202*2sin4sin)(4)(sin)(4)()(, 21)(4:)(sin)1)(24)(4212)(sin)(41)()(sin)(4)()(1203)3(sin4sin)(4)(20022000200222000002200222rrikxdrrrrNkrdkkikrrrrdkexdrkkrrrfkIkid

6、rkrkrrrffNkIkIdrkrkrrNfdrkrkrrrNfNfkIN 配配位位数数定定义义相相干干函函数数：内内可可不不计计：时时才才有有强强度度，在在第第三三项项只只在在小小角角度度范范围围个个单单一一原原子子组组成成况况：只只考考虑虑单单元元系系非非晶晶体体情情AsAs2 2S S3 3 玻璃：短程序玻璃：短程序N(As)=3, N(S)=2-XN(As)=3, N(S)=2-X衍射衍射RDF-N=2.4 RDF-N=2.4 加权平均加权平均扩展扩展X X射线吸收精细结构谱射线吸收精细结构谱 (EXAFS)(EXAFS)X X射线吸收：各种元素的吸收系数随射线吸收：各种元素的吸收系

7、数随X X射线波长射线波长( (能量能量) )的变化的变化公式公式VictoreenEbEaDC4343 III E E增加，吸收系数减少。每种元素在某些特定能量处出现增加，吸收系数减少。每种元素在某些特定能量处出现吸收系数突变吸收系数突变 吸收边吸收边EXAFSEXAFS是指在吸收边高能侧一定的能量间隔内，出现吸收系数随是指在吸收边高能侧一定的能量间隔内，出现吸收系数随X X射线能量增大而振荡变化的现象。振荡可延伸到高于吸收边射线能量增大而振荡变化的现象。振荡可延伸到高于吸收边103 eV103 eV处处包含结构信息包含结构信息 (1929(1929发现，发现，7070年代建立和完善）年代建

8、立和完善）E E吸收边吸收边精细结构精细结构 h h凝聚态物质：由于吸收原子周围存在其他原子，它所射出的凝聚态物质：由于吸收原子周围存在其他原子，它所射出的光电子被近邻原子散射，形成背散射波。出射波与背散射波光电子被近邻原子散射，形成背散射波。出射波与背散射波在吸收原子处发生干涉。在吸收原子处发生干涉。只有同种原子的散射波才能与出射波发生干涉。只有同种原子的散射波才能与出射波发生干涉。出射和背散射波的相位差随光电子的德布洛意波长出射和背散射波的相位差随光电子的德布洛意波长( (依赖于依赖于X X射射线能量线能量) )变化而发生变化变化而发生变化-原子末态波函数振荡变化原子末态波函数振荡变化 ：

9、凝聚态物质中某组元的：凝聚态物质中某组元的X X射线吸收系数射线吸收系数0 ：组元出于自由原子态的吸收系数：组元出于自由原子态的吸收系数0 ：凝聚态物质中不考虑周围原子散射作用时的吸收系数：凝聚态物质中不考虑周围原子散射作用时的吸收系数 相相移移因因子子方方均均层层原原子子偏偏离离平平均均位位置置的的因因子子层层的的：为为光光电电子子的的平平均均自自由由程程因因子子，非非弹弹性性散散射射引引起起的的衰衰减减振振幅幅层层内内每每个个原原子子的的背背散散射射第第配配位位数数层层半半径径第第配配位位层层序序号号吸吸收收谱谱：电电离离吸吸收收）和和吸吸收收似似下下，对对在在单单电电子子、单单次次散散射

10、射近近谱谱函函数数：定定义义为为修修正正项项:)(:2:)(:)(22sin()()(21()()()1(22/22/2200002222kjWallerDedyejeekjkFNjrjkkreekrkFNkSLSKkkEXAFSjjkrejjjjjjkrjjjssjjjj 谱函数是一系列正玄函数的叠加谱函数是一系列正玄函数的叠加)(30803080)()(21)(maxmin22XANESXeVeVeVNrRSFdkekkrjkkkrinj射射线线吸吸收收近近边边结结构构多多重重散散射射对对平平面面波波修修正正德德布布洛洛意意近近似似适适用用单单电电子子散散射射、平平面面电电子子，原原子子类

11、类型型及及分分布布配配位位数数振振荡荡振振幅幅的的信信息息吸吸收收原原子子近近邻邻距距离离振振荡荡频频率率径径向向结结构构函函数数付付氏氏变变换换：要要前前一一、两两层层的的贡贡献献为为主主很很大大有有限限，而而高高层层的的由由于于 N=1,2 N=1,2 或或3 36.非晶态固体的结构模型和缺陷非晶态固体的结构模型和缺陷(1)刚球无规密堆模型（非晶态金属或金属合金刚球无规密堆模型（非晶态金属或金属合金DRPHSDRPHS）Finney:793Finney:793个硬球模型个硬球模型无规密堆有一个明确的堆积密度上限无规密堆有一个明确的堆积密度上限0.6366;0.6366;密堆晶体密堆晶体 0

12、.74050.7405非晶具有一些不同类型的局域短程序。以原子为中心作其最近非晶具有一些不同类型的局域短程序。以原子为中心作其最近邻的连心线。以这些连心线为棱边所构成的多面体邻的连心线。以这些连心线为棱边所构成的多面体BernalBernal多多面体。面体。 (a)(a)四面体四面体(e)(e)四角十四角十二面体二面体(d)(d)带三个半八带三个半八面体的阿基米德面体的阿基米德反棱柱反棱柱(c)(c)有三个半八面有三个半八面体的三角棱柱体的三角棱柱(b)(b)八面体八面体(2) 连续无规网格模型（连续无规网格模型（CRN）以共价结合的非晶态固体，最近邻配位与晶态类似以共价结合的非晶态固体，最近

13、邻配位与晶态类似用球代表原子位置，线段代表大小，线段间的夹角代表键角，用球代表原子位置，线段代表大小，线段间的夹角代表键角，所有球和线段组成的网络非晶网络模型所有球和线段组成的网络非晶网络模型 (3)非晶中的缺陷非晶中的缺陷 非晶半导体非晶半导体 i）悬挂键）悬挂键 ii）微孔）微孔 iii）杂质）杂质2.2 2.2 无序系统的电子态无序系统的电子态1.扩展态和局域态扩展态和局域态具有严格周期性的有序晶格是平移不变的：具有严格周期性的有序晶格是平移不变的： )()()exp()()(Rrururk irurkkkk 所有电子在有序晶格中作公有化运动所有电子在有序晶格中作公有化运动扩展态扩展态在

14、晶体中引入缺陷在晶体中引入缺陷周周期性局域破坏期性局域破坏杂质态杂质态局域局域在杂质附近在杂质附近)/exp()(0 rrr ：定域化长度：定域化长度杂质浓度高时杂质浓度高时, ,局域态的电子能级可密集局域态的电子能级可密集成带成带, ,与导带相连接与导带相连接, ,形成导带的尾部形成导带的尾部. .2.Anderson的无序模型的无序模型无平移对称性，波矢无平移对称性，波矢k不再是描述电子态的好量子数不再是描述电子态的好量子数TBA(紧束缚近似紧束缚近似)无序系统无序系统dlrHalraHVVldlrHalraHccVccHelruNlralracrllrarVmHlllllllllllll

15、lllllllklrk ikl)()(:,)()()(1)(),()(:,)()(2*)(22交叠积分而格点附近局域电子能量代表示成将二次量子化态向量表为格矢为基取瓦尼尔函数有有序序晶晶格格的的电电子子能能量量若若取取配配位位数数能能带带宽宽度度无无关关与与及及由由于于平平移移对对称称引引入入波波矢矢系系统统有有序序积积分分格格点点处处电电子子的的近近邻邻交交叠叠代代表表为为近近邻邻格格点点间间位位置置矢矢差差在在 hhkihhkilhkkkhlllllllllkklkillhllllleVkEZBVZTBAeVkEcckEccVccHVVlVceNcklVhVVTBA)(:0:2)()(:,

16、1:0000, 0 W W)( PW12W 2W系系统统的的短短程程有有序序特特性性不不变变系系统统的的无无序序程程度度是是独独立立无无规规变变量量各各格格点点上上宽宽度度内内连连续续均均匀匀分分布布在在假假定定不不变变作作随随机机变变化化将将随随格格点点无无序序系系统统:)2(0)2(1)(:,:VWccVccHWWWPWVlAndersonlhhllllllllllll 3.推迟格林函数推迟格林函数双时推迟格林函数双时推迟格林函数 数数是是实实时时间间的的温温度度格格林林函函对对于于正正则则系系综综统统计计平平均均波波戈戈留留玻玻夫夫记记号号rBHHrGTKeTrZAeTrZAtBtAtt

17、tttAtBtBtAitBtAttittG1),(),(:.) ();(0),)() () ()()(),() () ,(1 HtiHtirrrrHttHittHiHHtittHiHtiHrrAeetABBBtABtAtitGttttGttGBttAttitBtAttittGttABtAtBBttABttAeTrZBAeeeTrZBeAeeeTrZtBtABCATrCABTrABCTrTrttGttG )(),0();(),()()(:,0,) () ()0(),() ()(),() () ,() ()0()() (:)0() () ()()() ()()()()(:) () ,().1(1)

18、 () (1) (1 代代表表时时间间差差取取的的函函数数只只是是时时间间差差同同理理号号内内具具有有循循环环性性算算符符的的乘乘积积在在传传播播子子)(0)()(0|0| )(|0:,0|,:|)(,0).()().2()()(0)(21)(:)(.,)( ninrrtiirrtiirrrrenAntAHnHGKTaGetdtGGeGdtGtGtG利利用用矩矩阵阵元元关关系系的的基基态态和和基基态态能能为为的的特特性性时时统统的的元元激激发发的的极极点点确确定定相相互互作作用用系系的的付付氏氏变变换换为为数数是是最最重重要要的的一一个个格格林林函函与与实实验验测测量量直直接接相相关关 元元激

19、激发发极极点点由由极极点点的的实实轴轴坐坐标标为为函函数数它它在在上上半半复复平平面面是是解解析析的的极极点点在在下下半半复复平平面面表表示示莱莱曼曼付付氏氏变变换换时时 0000)()(,)(|0|00|01)(:)(0|00|0)(0| )(|00|)(|0)()()(1:000nrnrrinonnortintirnnGGGBAiAnnBiBnnAGLehmanneAnnBeBnnAtitBABtAtitGKTnn (b). T0K(b). T0K 有限温度下有限温度下: :1)(exp)(exp|exp()()(1vuvuuuvrtiuAvvBuZtitG ivuvuuvurBAiuAv

20、vBuZG |)(1)(exp|)exp(1)(,引入函数引入函数)(|)exp()(,1vuuvuuAvvBuZJ 莱曼表示的积分公式莱曼表示的积分公式: : ) ()1)()( dieJGr(3). (3). 谱定理谱定理:)(| BAJBABAi量量对对频频率率的的积积分分等等于于平平均均之之间间的的关关系系与与平平均均量量构构造造一一个个格格林林函函数数 BAuBAueZuAvvBueZdJuvuuu|)(1,1 另一方面另一方面: :)()1() () ()1()(Im JedJeGr deGBAr1)(Im221 谱定理，涨落耗散定理谱定理，涨落耗散定理函数函数可作为描述涨落的关联

21、可作为描述涨落的关联而而与系统阻尼有关与系统阻尼有关 BAGr,)(Im :,:解解析析函函数数定定义义一一个个下下半半复复平平面面的的推推迟迟格格林林函函数数 iiG iuAvvBuZBAvuvuuvui )(1)(exp|)exp(|,1:|)(Im2:0)()(00),()()(:|谱谱定定理理可可改改写写为为由由于于付付氏氏变变换换是是下下列列超超前前格格林林函函数数的的不不难难证证明明 iiraiBABAiGttBABtAitBtAtitGBA deBABAiBAii 1|2格林函数计算平均量的有用工具格林函数计算平均量的有用工具利用玻戈留玻夫格林函数作实际运算的步骤利用玻戈留玻夫格

22、林函数作实际运算的步骤: :(1).(1).选择选择A A与与B B(2).(2).确定格林函数确定格林函数(3).(3).建立建立 的运动方程的运动方程(4).(4).求运动方程的近似解求运动方程的近似解(5).(5).利用谱定理决定所需物理量利用谱定理决定所需物理量 BA| BA|4. Anderson局域化（局域化（1958，PRB）局域化的严格定义：局域化的严格定义：热力学极限下的体系（热力学极限下的体系（N,VN,V无限大无限大 N/VN/V有限），设有限），设t t0 0时时l l格点格点( (或附近或附近) )有一个电子有一个电子, 经过较长时间后在该格点找到电子的几经过较长时间

23、后在该格点找到电子的几率振幅为率振幅为A(t):A(t):A(t)=0A(t)=0 扩展态扩展态 A(t) 0A(t) 0 局域态局域态 (1).(1).定性说明定性说明(Thouless(Thouless公式公式) )强无序情况强无序情况 W/V1W/V1考虑有一个电子定域在格点考虑有一个电子定域在格点l,l,由于相互作用可以使邻近格点由于相互作用可以使邻近格点ll上的电子波函数混入上的电子波函数混入, ,由量子力学微扰理论由量子力学微扰理论( (一级一级):): ZlllnnknknkkEEVEEH0000混混入入态态的的振振幅幅 态态都都是是局局域域态态无无序序系系统统中中所所有有的的本

24、本征征时时大大于于临临界界值值之之比比与与带带宽宽宽宽度度当当无无规规起起伏伏势势能能的的分分布布扩扩展展收收敛敛定定域域的的主主导导项项为为的的最最小小典典型型值值个个间间隔隔内内均均匀匀分分布布在在处处于于带带中中心心设设,2, 1, 12.| )2(|22:/,2cZlllllllllllZVBWWZVlWZVOlEEVlWZVEEVZWEEEEZWEE 电子波动性的本质反映电子波动性的本质反映推广：光波，声波等推广：光波，声波等(2).(2).严格推导严格推导就就可可讨讨论论局局域域化化条条件件只只要要解解出出子子的的几几率率振振幅幅同同一一格格点点上上找找到到这这个个电电在在时时间间

25、后后经经格格点点上上产产生生一一个个电电子子时时刻刻在在是是有有关关直直接接与与简简化化为为时时定定义义双双时时推推迟迟格格林林函函数数),()0()(0| )0()(|0)()()0(,0)(:)()(0| )0()(|0)()(:,00001)()0(),()()(:tGttiGctctAtAttlttiGtAtGctctitGKTtttBAABBActctitGlllllllllllllllllllll )()()()()(21)()(21)(:)(:()()()()(:)(,:llllllllllliEtlliEtlllllllllllllllllllllllllllllllllEGV

26、EGEdEetEGdEetGtdtdtGVtGttGitGccHcc iccVccH 作作付付氏氏变变换换用用到到的的运运动动方方程程写写出出利利用用 )( ) ,()( )( ) ,()( )( )(.);(:1)();(:)(1)()(:)(1)()(:)(0:)()()()(1llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllVgVgVVgVElEGElEEGVgVEGVgVEGEGVEGEEGiEEEGEGVggEGEg 自自能能逐逐次次迭迭代代代代入入将将考考察察是是推推迟迟格格林林函函

27、数数由由于于全全格格林林函函数数自自由由格格林林函函数数定定义义) );(1)()(: ElEEGEGllll的的极极点点全全对对角角格格林林函函数数自自能能的的物物理理含含义义tiEiEtlllllllleiEEedEitiGtAiEiEGEEltAEG02)()(:0,)(,);().()(000 趋趋向向实实轴轴它它随随的的极极点点在在则则并并设设其其取取值值为为上上收收敛敛的的微微扰扰展展开开级级数数在在实实轴轴如如自自能能决决定定在在复复平平面面上上的的解解析析性性质质由由 的的判判据据能能量量上上形形成成电电子子局局域域态态微微扰扰级级数数收收敛敛条条件件就就是是局局域域态态当当E

28、EltAtl);(0)(,)(,.,.,:).(.);(21211)(1)(1自自回回避避路路径径不不能能重重复复其其中中的的可可能能路路径径个个不不同同格格点点再再回回到到格格点点出出发发经经过过从从利利用用LLLilllLLjLjLjlllllllllllllllllljVgEEVTTVVVgVgVVgElVViL :lnln,ln|lnln,1,)(1)()()()(代代替替可可用用无无规规平平均均无无规规变变化化取取不不同同格格点点中中由由于于的的对对数数函函数数讨讨论论计计决决定定其其收收敛敛条条件件由由概概率率的的统统是是一一个个随随机机级级数数是是无无规规分分布布的的数数目目个个

29、阶阶项项大大致致有有相相似似的的与与个个近近邻邻由由于于每每个个格格点点有有 iiiiiiiillliLjLilLilLjLjLjlllLLjVgVgglTVgVgTQTTEgjZLTZ VgLVgQVgVgWWWPAndersonPEVPdVgLilllllllliiiiiilnlnlnln)2(0)2(1)(:)(ln)(ln与与格格点点无无关关显显然然所所取取得得分分布布 即即形形成成局局域域态态的的条条件件级级数数的的绝绝对对收收敛敛条条件件作作为为件件可可用用这这个个级级数数的的收收敛敛条条何何级级数数的的收收敛敛性性差差的的收收敛敛性性不不会会比比下下列列几几自自能能级级数数指指出

30、出可可正正可可负负形形式式相相同同项项与与由由于于有有,);(1lnexp:lnexp:);(:|:lnexp|:lnexplnexp1)()()()()()( ElVgZVgZVElZimanTTTVgZTTZVgLVgeTLLljLjjLjLjLjLjLjLLilQLji 2ln)21 (2ln)21(211ln1ln)(:ln)(22VEVWWEVEVWWEdEVWVgEVgPWW 代代入入计计算算将将)()(.(,)(,. 1)lnexp()0(,0,ln07 . 2202ln1)0(:02122 ZVPPAndersonVgZEEVgEeVZWEVWEcc同同样样可可以以证证明明取取

31、其其他他形形式式如如局局域域化化条条件件态态都都是是局局域域态态时时无无序序系系统统中中所所有有本本征征当当因因此此必必然然都都能能满满足足收收敛敛条条件件其其他他本本征征态态态态成成为为局局域域态态所所以以当当取取最最大大值值时时由由于于态态的的局局域域化化条条件件代代入入收收敛敛条条件件得得态态对对于于5. 莫特莫特(Mott)模型模型SIR NEVILL F. MOTT (1905-1996) 1977 Nobel Laureate in Physics for their fundamental theoretical investigations of the electronic

32、structure of magnetic and disordered systems. (1). :无序系统既存在扩展态，也有局域态，扩展态在无序系统既存在扩展态，也有局域态，扩展态在TBA能量中心，局域态在带尾能量中心，局域态在带尾, , 并有一个划分扩展态与局域并有一个划分扩展态与局域态能量的分界态能量的分界Ec:Ec:迁移率边迁移率边c -Ec-EcEcEcE EDOS(E)DOS(E)扩展态扩展态局域态局域态任意任意E E态的局域化条件态的局域化条件: :WEcWEWEWEeEVZW/2/21/21)/2(1)(2 )(,),(EEVWc 对对于于给给定定(2). 态密度和态密度和

33、Anderson转变转变 在无序固体中在无序固体中,波矢波矢K不再是好的量子数不再是好的量子数. 但不论是晶态还是非但不论是晶态还是非晶态晶态,体系的总自由度不变体系的总自由度不变,因而模式密度因而模式密度,能态密度的概念依能态密度的概念依旧有效旧有效. iiVg)(1)( v c )( g扩展态扩展态扩展态扩展态迁移率边迁移率边扩展态扩展态局域态局域态Anderson转变转变: EF处在扩展态处在扩展态金属金属 EF处在局域态处在局域态绝缘体绝缘体无序引起的相变叫无序引起的相变叫Anderson相变相变6. 渗流理论渗流理论 渗流：流体在随机介质中的运动渗流：流体在随机介质中的运动现象：现象

34、：人体、动物体内存在多孔结构的组织和器官，如肺、心、人体、动物体内存在多孔结构的组织和器官，如肺、心、肝等，体液在其中流动着肝等，体液在其中流动着植物的茎、枝、根和叶等，也是多空结构植物的茎、枝、根和叶等，也是多空结构地层里多孔岩石中石油和水地层里多孔岩石中石油和水 渗流体系：用渗流模型所描述的体系渗流体系：用渗流模型所描述的体系K.Broadbent, M.Hammersley 1957K.Broadbent, M.Hammersley 1957年首次提出年首次提出 每格点被占据的几率为每格点被占据的几率为P,P,不占据的几率为不占据的几率为1-P1-P。相邻格点都被占据，相邻格点都被占据，

35、这些格点形成一个集团。这些格点形成一个集团。当当P P增大增大, ,集团的大小增大集团的大小增大P P达到一个临界点，点阵上就出现一个无限大集团达到一个临界点，点阵上就出现一个无限大集团 渗流相变渗流相变Pc:Pc:渗流閾值或渗流临界值渗流閾值或渗流临界值Pc=0.59Pc=0.59Pc=0.27Pc=0.27A A渗流体系最基本点：閾值渗流体系最基本点：閾值PPcPPcPPc：无限集团：无限集团P-Pc-0:P-Pc-0:出现一个初始无限大集团出现一个初始无限大集团渗流相变是一个二级相变渗流相变是一个二级相变序参量：渗流几率序参量：渗流几率定义：当占据几率为时，点阵上任意格点属于无限大集团的

36、定义：当占据几率为时，点阵上任意格点属于无限大集团的几率。几率。 )(P )44. 0(365:0| )()0()(1)(:0)(00），一维），一维二维（二维（临界指数临界指数按相变的普适规律：按相变的普适规律：生了长程关联性生了长程关联性处：点阵上从无到有发处：点阵上从无到有发的光滑的增函数，最后的光滑的增函数，最后是是非零值非零值：到到 PcPPPcPPcPPPcPPPPcPPcPPPcPP两点间的关联函数两点间的关联函数G(x)G(x)定义：当原点被占据时，距原点为定义：当原点被占据时，距原点为x x的格点也属于同一集的格点也属于同一集团的点占据的几率，亦即原点与团的点占据的几率，亦即

37、原点与x x点之间至少存在一条键点之间至少存在一条键联路径的几率。联路径的几率。1)1(, 1, 111ln1)(1)(0,.2, 1,)1(, 11)0(, 01临临界界指指数数渗渗流流态态集集团团变变成成无无限限大大集集团团：为为关关联联长长度度当当所所有有点点一一一一被被占占有有：直直到到处处的的关关联联点点，则则要要求求对对距距原原点点为为集集团团：，这这一一点点必必然然属属于于同同一一当当最最近近邻邻点点也也被被占占据据时时以以一一维维为为例例： PPPPPexGPcPPxGxxxxxPGxGxxx88. 0, 334, 21)1()exp()(:)32(2 ddPcPPcPxPcP

38、xxGordd高高维维渗流体系两个重要量：参量渗流体系两个重要量：参量P(P(格点占有率格点占有率) )，关联长度，关联长度类比类比 P P：热力学中的温度：热力学中的温度 渗流集团唯一的长度标度渗流集团唯一的长度标度按照按照P参量划分渗流集团参量划分渗流集团:(1). PPc, 体系出现大量无限大集团，集团自身的密度向均体系出现大量无限大集团，集团自身的密度向均匀化发展，不再具有自相识性匀化发展，不再具有自相识性 )(P )(P )(P 自相识性自相识性:缩放对称性缩放对称性 ，即不管对结构作怎样的放大与缩小，即不管对结构作怎样的放大与缩小，结构看上去仍是相同的。结构看上去仍是相同的。分形分

39、形(Fractal)(Fractal)：存在自相似性的几何对象。：存在自相似性的几何对象。19671967年，年， Mandelbrot “Mandelbrot “英国的海岸线有多长英国的海岸线有多长” Many man-made objects are made up of Euclidean shapesBut what about these familiar things from the natural world? Can they be easily described with Euclidean shapes?I dont think so.“Why is geometry

40、often described as cold or dry? One reason lies in its inability to describe the shape of a cloud, a mountain, a coastline, or a tree. Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.”Benoit Mandelbrot,

41、 the father of fractal geometry, from his book The Fractal Geometry of Nature, 1982.The Koch Snowflake34Length1Length342LengthFirst iterationAfter2 iterationsAfter 3 iterations343LengthAfter n iterations34nLength34LengthAfter iterationsThe Koch snowflake is six of these put together to form . . . .

42、. well, a snowflake.Notice that the perimeter of the Koch snowflake is infinite . . . . . but that the area it bounds is finite (indeed, it iscontained in the white square).The Koch snowflake has even been used in technology:Boston - Mar 13, 2002Fractal Antenna Systems, Inc. today disclosed that it

43、hasfiled for patent protection on a new class of antenna arraysthat use close-packed arrangements of fractal elements toget superior performance characteristics.Fractal Tiling Arrays - Firm Reports Breakthrough in Array AntennasBut self-similarity is not what makes the Koch snowflakea fractal! (Cont

44、rary to a common misconception.)After all, many common geometric objects exhibitself-similarity. Consider, for example, the humblesquare.If you take a small square . . . . . and dilate by a factor of 2 . . . . . then you get 4 copies of the original.A square is self-similar, but it most certainly is

45、 not a fractal.If you take a small square . . . . . and dilate by a factor of 3 . . . . . then you get 9 copies of the original.Let k be the scale factor.Let N be the number of copies of the original that you get.Note that for the square, we have that:2log NDkNk 2Or in other words, we have:Thats rig

46、ht:Nklogtells us the dimension of the shape.(Note that for this to make sense, the shape has to beself-similar.)So for a self-similar shape, we can takeNklogto be the definition of its dimension.(It turns out that this definition coincides with a much moregeneral definition of dimension called the f

47、ractal dimension.)Now lets recall what k and N were for one side of theKoch snowflake:k = scale factor = 3N = number of copies of original = 4.261. 14loglog3 NDkThe Sierpinski Carpet89. 18log3 DThe fractal dimension of the Menger sponge is:73. 220log3 D利用初始无限大集团的标度特性来确定集团的分形维数利用初始无限大集团的标度特性来确定集团的分形维

48、数D和和渗流的临界指数之间的关系渗流的临界指数之间的关系设体系中出现一个初始无限大集团，集团的线度设体系中出现一个初始无限大集团，集团的线度在此集团上选取原点在此集团上选取原点O，则距该点则距该点r处格点属于这个无限集团处格点属于这个无限集团的几率（的几率（ ）： )(CPR )(CPr dDdDrrrrVrNrP )()()(一般地：一般地：)()( rfrrPdD 11)()()(1)()(1)(xxxxfrrPrxxxfrxxfDd常常量量不不依依赖赖于于不不依依赖赖于于的的特特性性：标标度度函函数数 dDPcPcPPPPcPcPPcPPPPcrPcPcrrrPrPdDdD)()()()

49、()()()()()(1由由关关联联长长度度：由由标标度度律律：的的极极限限标标度度：系统：导电畴非导电畴，无序度：发现导电畴的几率系统：导电畴非导电畴，无序度：发现导电畴的几率P湖湖山山沧海变桑田沧海变桑田无序无序Anderson转变转变海洋海洋海岛海岛2.3 2.3 无序体系的直流电导无序体系的直流电导1.跳跃电导跳跃电导体系处于强定域区，许多电子态为定域态，相邻定域态体系处于强定域区，许多电子态为定域态，相邻定域态间的能量十分不同。间的能量十分不同。能量能量距离距离R R(1)(1)两个态波函数的交叠两个态波函数的交叠(2)(2)两个格点的能量差两个格点的能量差的的两两个个决决定定因因素

50、素隧隧穿穿到到电电子子从从个个，产产生生跳跳跃跃电电导导一一个个定定域域位位置置跳跳到到另另一一，电电子子可可因因热热激激活活，从从绝绝缘缘体体时时，体体系系的的电电导导率率温温度度jiRRTTjjii , 00 (1)(1)两个态波函数的交叠两个态波函数的交叠ijRRRRPRr )/2exp()/exp( (2)(2)两个格点的能量差两个格点的能量差)exp(0TKPBij )/2exp(TKRPB 低温下低温下(2)(2)比比(1)(1)重要重要变程跳跃变程跳跃高温下高温下(1)(1)比比(2)(2)重要重要定程跳跃定程跳跃都都存存在在涨涨落落和和 RTKRPB)/2exp(为为一一适适当

51、当常常数数能能级级处处平平均均能能量量间间隔隔：靠靠近近维维空空间间总总状状态态数数的的，具具有有尺尺寸寸单单位位体体积积内内的的态态密密度度的的平平均均值值估估算算：aRgaFermiRgdRgdd)()()( )exp()(141,331,221, 1)(1)(20)(2011)/(1100TKgdddgTKeTKgadRTKRgaRdRdRBddBdTTCdBBd 定定程程跳跳跃跃：跃跃电电导导率率：设设最最可可几几跳跳跃跃支支配配了了跳跳的的计计算算：最最可可几几2.非晶半导体的直流电导非晶半导体的直流电导 与晶态半导体不同之处与晶态半导体不同之处(1).(1).非晶态半导体存在扩展态

52、、带尾定域态、带隙中的缺隙非晶态半导体存在扩展态、带尾定域态、带隙中的缺隙定域态定域态。这些状态中的载流子都可能对电导有贡献。这些状态中的载流子都可能对电导有贡献。(2).非晶态半导体中的费米能级通常是非晶态半导体中的费米能级通常是“钉扎钉扎”在带隙中，在带隙中，基本不随温度变化。基本不随温度变化。钉扎钉扎:Fermi能级的位置不因少量的浅施主和浅受主杂质的引能级的位置不因少量的浅施主和浅受主杂质的引入而发生变化。入而发生变化。Fermi能级之上有带正电的状态能级之上有带正电的状态 两者的补偿作用使两者的补偿作用使EF “钉扎钉扎”Fermi能级之下有带负电的状态能级之下有带负电的状态价带价带

53、导带导带施主施主受主受主E EF FEvEvEcEc深施主带深施主带深受主带深受主带E EB BE EA A FCTKEFATKETKEEFTKEFBFFEEEeWWEEEeeEWEeENTKEEneBBBFAB /0111/1/)(22/2).3(:).2()().1()(12 温温度度变变化化小小度度成成正正比比，迁迁移移率率依依赖赖与与激激发发到到导导带带的的电电子子浓浓导导带带扩扩展展态态带带隙隙中中缺缺陷陷定定域域态态激激活活能能导导带带带带尾尾之之间间跳跳跃跃平平均均的的电电子子浓浓度度激激发发电电子子到到导导带带尾尾部部中中由由导导带带尾尾定定域域态态带带隙隙中中缺缺陷陷定定域域

54、态态平平均均激激活活能能为为缺缺陷陷定定域域态态之之间间跳跳跃跃：电电子子密密度度为为电电子子才才对对电电导导率率有有贡贡献献范范围围内内附附近近之之中中，只只是是在在处处在在缺缺陷陷定定域域态态的的能能级级带带隙隙中中缺缺陷陷定定域域态态带带隙隙中中缺缺陷陷定定域域态态一一种种载载流流子子非非晶晶半半导导体体电电导导半半导导体体电电导导率率：导导态态电电导导缺缺陷陷定定域域态态电电扩扩展展态态电电导导尾尾部部定定域域电电导导率率与与温温度度的的关关系系：TKETKETKEBBBeee/2/1/021 的的关关系系示示意意图图非非晶晶态态半半导导体体的的1ln T lnT1FCEE 1WEEF

55、A 2W41 T3.非晶态金属的电阻率及其温度关系非晶态金属的电阻率及其温度关系非晶态金属的电阻率高于晶态金属材料的电阻率非晶态金属的电阻率高于晶态金属材料的电阻率 100300cm “ “剩余电阻剩余电阻” ” 无序结构，数值较大无序结构，数值较大非晶态金属的电阻率温度系数非晶态金属的电阻率温度系数 特别小，特别小， 结构无序和杂质贡献大于原子热运动贡献结构无序和杂质贡献大于原子热运动贡献3) 3) 很多非晶态金属在很宽范围内有负的电阻温度系数很多非晶态金属在很宽范围内有负的电阻温度系数4) Mooij4) Mooij经验规律：经验规律：5) 5) 非晶态金属的电阻率随非晶结构的稳定性而发生

56、不可逆非晶态金属的电阻率随非晶结构的稳定性而发生不可逆变化。当温度升高开始晶化时电阻率将发生突变变化。当温度升高开始晶化时电阻率将发生突变估计估计非晶态金属的非晶态金属的晶化温度。晶化温度。dTd 1 510 为为负负为为正正 cmcm 150100理论模型：理论模型：1.1.推广的推广的ZimanZiman理论模型：理论模型： 非金属玻璃非金属玻璃 vs vs 液态金属液态金属 适用：简单金属玻璃的电导输运特性适用：简单金属玻璃的电导输运特性2.2.类类KondoKondo型型s-ds-d散射模型散射模型KondoKondo效应：含有极少量磁性杂质的晶态金属在低温下出现效应：含有极少量磁性杂

57、质的晶态金属在低温下出现电阻极小的现象。电阻极小的现象。s-ds-d散射机制散射机制: :产生电阻极小的必要条件是局域自旋具有翻产生电阻极小的必要条件是局域自旋具有翻转自由度。转自由度。3.3.双能级隧道态模型理论：非晶态中存在双能级隧道态模型理论：非晶态中存在2 2个等价的原子组个等价的原子组态态级级差差个个等等价价的的原原子子组组态态的的能能为为2)ln()(222 TkTB 非晶金属低温电阻的电阻极小的现象非晶金属低温电阻的电阻极小的现象4.定域的标度理论定域的标度理论c )( min 定域退定域转变处电导定域退定域转变处电导率的变化率的变化1973年，年，Mott:扩展态在扩展态在迁移

58、率边处有一最小金属迁移率边处有一最小金属电导率。电导率。0 T(a).一、二维体系不存在一、二维体系不存在Anderson转变变化转变变化(b).电导率连续减小为零电导率连续减小为零)2(ln)()/exp()1(2)()()(lnln)/ ),() ()()(2GGLGLdGGLdGdfLLLGfLGLLLGLGGdL 时时：在在定定域域的的绝绝缘缘体体极极限限及及定定域域化化长长度度无无序序增增加加，电电导导减减少少，良良导导体体对对通通常常金金属属的的电电导导决决定定的的变变化化仅仅由由前前一一尺尺寸寸下下体体系系尺尺寸寸改改变变时时，电电导导为为一一普普适适函函数数则则的的普普适适函函

59、数数是是与与系系统统微微观观结结构构无无关关律律：，假假设设电电导导遵遵从从标标度度规规意意长长度度现现改改变变系系统统长长度度，对对任任姆姆定定律律：如如系系统统是是宏宏观观的的，有有欧欧电电导导：小小尺尺寸寸系系统统单调连续外插行为单调连续外插行为给出其极限表达给出其极限表达函数函数标度理论认为存在单一标度理论认为存在单一)2(),1(),(G CGGln3 d2 d1 d对于对于d=3, 低于一特定值低于一特定值Gc， 为负为负(绝缘态）绝缘态）D=1,2, 总为负，系统总是总为负，系统总是处于绝缘态处于绝缘态)(G )(G CCCCCCCaGLLLGLGLGLGGLGGLGLLGLGa

60、GLGaGGGGLGaGGG1)()()()()()()(1)()(1)(,)()()()0(0)(300000 积积分分到到小小得得多多的的尺尺度度尺尺度度的的定定义义，并并从从某某一一宏宏观观代代入入最最后后结结果果与与此此形形式式无无关关在在整整个个导导电电区区：为为了了为为一一线线性性函函数数：，设设边边在在固固定定点点附附近近，导导电电一一固固定定点点维维情情况况，点点对对1 . 05 . 1)1()1()()()(00000 为为迁迁移移率率边边，导导比比例例于于电电子子能能量量在在费费米米面面附附近近，电电子子电电电电导导率率趋趋于于零零为为一一常常数数，使使选选择择：对对于于宏