概率论何书元编著答案习题五解答

1、,)(1knkknqpCkXP , 2 , 1 , 0 kXESsg )( 01kknkknkqpCs 0)1(1)(kkkknknnsqCp 011)(kknnknsqCpnnsqp)1( X1.1.设设服从负二项分布服从负二项分布解解 X求求的母函数。的母函数。习题五解答习题五解答4)1()(2ssg 2412141)(sssg 412141210pX)(1111)(asasasg 0)(1kkasakkksa 0112.2.求下列母函数的分布列（展成幂级数）求下列母函数的分布列（展成幂级数）解解 所以分布列所以分布列sasg 1)(（2 2）解解 （1 1）,1)(1 kakXP, 2

2、, 1 , 0 kseesg 1)( 0!1kkkse,!)(1kekXP , 2 , 1 , 0 k所以分布列所以分布列 1)( sesg（3 3）解解 所以分布列所以分布列X),(sg,babaXY baXYYEsEssg )(XabsEs)( )(absgs 3.3.设取非负整数的随机变量设取非负整数的随机变量有母函数有母函数对非负对非负求求的母函数。的母函数。X),(sg4.4.设取非负整数值的随机变量设取非负整数值的随机变量有母函数有母函数)(sg用用表达以下函数。表达以下函数。解解 因为因为 整数整数解解kkskXPsh)()(01 （1 1）kkskXPsh)()(01 101)

3、()( kkskXPsshkkskXPshs)()()1(01 )(sg ssgsh 1)()(1所以两式相减所以两式相减 1 , 0,)2()(02 sskXPshkk )( sgkkskXP)(0 mmsmXP20)(2( 121)(12( mmsmXP )(sgkkskXP)(0 mmsmXP20)(2( 121)(12( mmsmXP（2 2）解解 因为因为 )(2)()(2shsgsg 2)()()(2sgsgsh , 4 , 3 , 2 , 1 i4321XXXXY 两式相加两式相加 jj5.5.掷掷4 4个均匀的正个均匀的正1212面体，设第面体，设第面的点数是面的点数是求点数和

4、为求点数和为1515，1616，1717的概率。的概率。则则1X而而的母函数的母函数 颗的点数颗的点数 :iXi解解 设设1)(1XEssg 1211)(jjsjXPsss 1)1(12112)(12112ss 41)()(sgsg 441244)1()1(121sss Y所以所以的母函数的母函数 kkksCsssss 0334836241244)4641(12171615,sss33114121)15( CYP431412C 4121)16(3333124CCYP 41213154 C4121)17(3433134CCYP 4121343164CC 分别求出分别求出的系数得的系数得nk6.6

5、.甲乙两人各掷均匀的硬币甲乙两人各掷均匀的硬币甲掷得的正面次数大于乙掷得的正面次数甲掷得的正面次数大于乙掷得的正面次数 次的概率。次的概率。次，利用母函数求次，利用母函数求，次次正正面面第第次次反反面面第第 i1i0iXni, 2 , 1 iXiEssg )()(2110ss )1(21s 解解 甲掷硬币并甲掷硬币并设设iX则则的概率母函数的概率母函数 ,1nXXX Xn设设表示表示次中甲正面出现的次数，次中甲正面出现的次数，X则则的概率母函数的概率母函数nsgsg)()(1 nns)1(21 YXZ YnX同理设同理设表示表示次中乙正面出现的次数，与次中乙正面出现的次数，与服从相同分布并有相

6、同母函数服从相同分布并有相同母函数,再令再令其母函数其母函数YXYXZZEsEsEsEssg )(YXsEEs)(1 nns)1(21nns)11(21 nnnss22)1(21 jnjjnnnsCs 202221 )()(kYXPkZPknnCn 221ks所以所以的系数为概率的系数为概率 jAj7.7.独立重复试验中，用独立重复试验中，用表示第表示第次试验成功，次试验成功，nnAA1 nj jjAA1 表示表示发生，但是对发生，但是对没有没有发生）发生）XnX 表示首次成功后即接失败的试验次数（表示首次成功后即接失败的试验次数（用用XVarXEX、的母函数、的母函数、求求 )2(XPpq

7、)3(XP ppqqpq )4(XP pppq qppqqqpq解解 . )(sg 21nnnqsp 322nnnsqp 433nnnsqp sppspq122 sppspq13322 sppspq14433spsqqspqs 1)1(222sqsppqs 1112221pqsspqs )1(gEX 12222)1()21()1(2 spqsspqspqspqsspqs1222)1(2 spqsspqspqspqqppq122 )1(g 2)()21(2pqpq 2)1()1()1(gggVarX 22qppq itXEet )( dxexnexnnitx 01)( dxexnxitnn 0)

8、(1)( ),( n nitt )1()( 8.8.验证验证的特征函数的特征函数证明证明 yitx 1xity)( 令令)(t dyiteitynynnn 0111)()( )()(nitnnn nit )1( ,111)(2yygY ,)(tYet 9.9.设设其特征函数其特征函数求求的特征函数。的特征函数。,)(1)(22 xxfXX又又, X解解 考察随机变量考察随机变量 XY不难得到不难得到与与同分布，所以同分布，所以itXXEet )( )()(YitityiteEeeE titee tite itZZEet )( itXEe2 te2 2te X0, 1 10.设设服从服从的柯西分

9、布，对的柯西分布，对,XY YXZ ),()()(tttYXZ 证明证明的特征函数的特征函数YX,独立吗？独立吗？XY 解解 因为因为YX,，显然，显然不独立不独立,不能用性质不能用性质)()(ttYX ,2XZ 所以所以但但nXXX,21nXXXY 211X1X),( 11. 设设独立同分布，求独立同分布，求（1）当）当（2）当）当服从服从1X解解 （1）当）当服从柯西分布时，由第九题其服从柯西分布时，由第九题其的分布。的分布。服从柯西分布服从柯西分布分布分布,)(1titet Y则则的特征函数的特征函数 特征函数特征函数tnnett int1)()(ntt)()(1 nit )1(Y),(

10、 nn所以所以服从参数为服从参数为的柯西分布。的柯西分布。1X),( 服从服从分布时，由习题分布时，由习题5.15.1其其（2 2）当）当,)1()(1 ittY则则的特征函数的特征函数特征函数特征函数Y),( n 所以所以服从参数为服从参数为的柯西分布。的柯西分布。ttcos)( itxEet )( sincostXitXE tcos ppPX 111sincos)(tXitXEt ptit)sin(cos )1)(sin(cosptit 12.12.已知如下特征函数，求概率分布已知如下特征函数，求概率分布解解 观察观察 X, 1 的取值为的取值为并设并设则则（1 1）tpitsin)12(

11、cos tcos 21 p212111PX 即分布列为即分布列为 itxEet )( sincostXitXE t2cos t 2cos2121 tt2cos)( （2 2）解解 21211022ppppPX sincos)(tXitXEt 1)2sin2(cosptit 2)2sin2(cosptit )1(21pp tppitpp2sin)(2cos)(2121)1(21pp t 2cos2121 观察观察 X, 2, 0 的取值为的取值为并设并设则则,2121 pp, 021 pp21121 pp,4121 pp214141022PX 所以所以 即即 分布列分布列为为nXn )0( n

12、13. 13. 设设服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布)1 , 0(NnnXdn nn （1 1）当）当时，证明时，证明,nnnnXY nn lim（2 2）定义）定义当当时，证明对时，证明对有有一切实数一切实数x)()(limxxYPnn )1 , 0(NnnXdn 解（解（1 1）要证）要证，只需证，只需证 nnXn )(tn )1 , 0(N的特征函数的特征函数收敛到收敛到22te 的特征函数的特征函数即可。即可。因为因为nX的特征函数的特征函数 )1()( itnenet 而而 nnXn 的特征函数的特征函数 )(tn nnXitnEe nite nXntiEe)( nite )

13、( ntn nite )1( ntinee nite )1()(!212nonitntine nn nite )1(212otnite )1(212ote 221te )1 , 0(NnnXdn （2 2）与（）与（1 1）完全类似的证明。）完全类似的证明。)(t 2)(t itZZEet )( )(YXitEe YtiitXEeEe)( )()(tt 2)(t 14.14.设设是特征函数，证明是特征函数，证明也是特征函数。也是特征函数。,YXZ 令令Z则则的特征函数的特征函数2)(t Z所以所以是是的特征函数。的特征函数。YX,)(t 独立同分布，特征函数为独立同分布，特征函数为证明证明 取

14、取)(2n 2)21(nit 15.15.验证验证分布的特征函数是分布的特征函数是),(2nZ ,221nXXZ )1 , 0(,1NXXn证明证明 设设则则其中其中且独立且独立,21)()0(221 xxIexxf 21X),1(221 X特别的特别的其密度为其密度为所以所以的特征函数为的特征函数为dxexetxitx2210121)( dxexxit2)21(21021 令令 dyitdxity212,221 dyeyity 21021)21(11 )21()21(1121 it 21)21( itZ21)21()()(nnittt 所以所以的特征函数的特征函数 ),( NX)()()(2

15、1nXXT ), 0()(1INXB 16 .16 .设设正定，则正定，则 ,B,TBB 证明证明 因为因为正定，则存在可逆方阵正定，则存在可逆方阵使使 BX 则令则令，且，且 )()(1 XXT)()()(1 XBBXTT)()()(11 XBBXTT)()()(11 XBBXTT T )(2n )()()(2rXAXT AINX),( 17.17.设设是秩为是秩为r的对称幂等矩阵，的对称幂等矩阵，,2AAAT 证明证明, 0)(2 IAAAAA 0001rTIAPPAPPTrPIPA 000)()( XAXT)(000)( XPIPXTrT证明证明 因为因为所以所以,P的特征根只有的特征根

16、只有0 0和和1 1，所以存在正交矩阵，所以存在正交矩阵)(000)( XPIXPTrTT 000rTI0)( XPEETIIPPT ), 0(IN )(0002rIrT )( XPT其中其中的期望和协方差阵分别为的期望和协方差阵分别为),(),(222121 NYXYX YX 18.18.设设求求与与独立的充要条件。独立的充要条件。YX YX 解解 若若与与独立，则独立，则YYXYXYXXYXYXCov ),(0YYXX ,YYXX ),(0YXYXCov YX 反之若反之若显然显然又又与与 YX 均服从正态，所以独立。均服从正态，所以独立。YX YX YYXX 即即与与独立的充要条件是独立

17、的充要条件是),().,( NZYXT,212143238,753 YX 19.19.设设其中其中求求的概率密度。的概率密度。解解 YX 仍服从正态，且仍服从正态，且 853)( EYEXYXE又又 ,)0 , 1 , 1( ZYXYX 3711011212143238)0 , 1 , 1(18)( YXVar)18, 8( NYX kX，其其它它 010)1(6)(xxxxf20.20.设设独立同分布，有共同密度独立同分布，有共同密度计算几乎处处极限计算几乎处处极限 nkknXn11lim解解 由强大数定律由强大数定律 ,.,1lim1saXnnkkn 而而21)1(6)(1021 dxxx

18、dxxxfEX 所以所以 ,.,211lim1saXnnkkn nk,kp21.21.设全世界有设全世界有个家庭，每个家庭有个家庭，每个家庭有概率都是概率都是个小孩的个小孩的kp, 10 ckkp设设满足满足小孩数是相互独立的，计算一个小孩数是相互独立的，计算一个小孩来自小孩来自 如果各个家庭的如果各个家庭的k个小孩个小孩 家庭的概率。家庭的概率。 iXinXX,1解解 设设第第个家庭的小孩个数，则个家庭的小孩个数，则独立同分布独立同分布nnXXS 1iiiYkXIY),( 再令再令（表示全世界的小孩个数），（表示全世界的小孩个数），独立同分布，则独立同分布，则nnYYT 1（全世界有（全世界

19、有k个小孩的家庭个数）个小孩的家庭个数） nkT全世界有全世界有k个小孩的个小孩的家庭个小孩总数家庭个小孩总数 所求的概率为所求的概率为nnSkT的极限的极限, ,由强大数定律由强大数定律 当当n充分大时充分大时nnSkT ckkknnkpkpEXkEYnSnkT011cbXaXYkkk 1kX,1EX 22.22.设设是独立同分布的随机变量序列，是独立同分布的随机变量序列，ba,对非负常数对非负常数定义定义, 2 , 1 k写出关于写出关于kY的弱大数定律和强大数定律。的弱大数定律和强大数定律。解解 ,)(cbaEYk 则则弱大数定律：弱大数定律： 11kkYncba )(依概率收敛到依概率

20、收敛到强大数定律：强大数定律： 11kkYncba )(几乎处处收敛到几乎处处收敛到23.23.一位职工每一天乘公交车上班，如果每天上班一位职工每一天乘公交车上班，如果每天上班 的等车时间服从均值为的等车时间服从均值为5 5分钟的指数分布，求他在分钟的指数分布，求他在 300300个工作日中用于上班的等车时间之和大于个工作日中用于上班的等车时间之和大于2424小小时的概率。时的概率。 iXi)51( iX解解 令令第第 个工作日的等车时间，则个工作日的等车时间，则,3001XXX 则则 15003005 EX750030025 VarX所以所以 )1 , 0(75001500NX )350150014403501500()6024( XPXP)69. 0(1 755. 027580. 07517. 0)69. 0( 24.24.某人在计算机上平均每天上网某人在计算机上平均每天上网5 5小时，标准差小时，标准差 是是4 4小时，求此人一年内上网的时间小于小时，求此人一年内上网的时间小于17001700小时小时的概率。的概率。 iXi,3651XXX 解解 令令第第天上网时间，天上网时间，