第三章离散时间信号的变换域分析

1、主要内容：主要内容：l 傅立叶变换 离散时间傅立叶变换（discrete-time fourier transform，dtft)（定义、收敛条件、性质） 离散傅立叶变换（discrete fourier transform，dft)（定义、性质）l z变换（定义、收敛条件、逆变换、性质）3.1 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换l 3.1.1 定义定义 () () ()()()()arg()()()jjnnjjjjjjreimjjjx ex n ex ex exexex eex ex efourier spectrumx emagnitude functionmagnitude spect

2、rumph 为复数，可以表示为:其中：傅立叶频谱（）：幅度函数（）或幅度谱（）：相位函数（ase functionphase spectrum）或相位谱（）001.12.111jj nnnnjnj nnj njjnnnndtften ex nu nx eu n eeee 例：的，傅立叶频谱的性质：傅立叶频谱的性质： 1. jrejimjimjrejjjimjjreexexexexexexexexextansincos222 的奇函数为，的偶函数为，对实序列，有jimjrejexexex 2.32jx e、为 的连续函数，且为周期函数，周期为12jkx e证明： 12jk nnx n e 12j

3、njknnx n ee 1jnnx n e1jx e 12jj nx nx eed x n证明： 121212sin1sin0j lj nnjn lnjn ljn lnnnx l eedx ledeex lj nlj nlnlx lx lnlx nnlnlnlnlnlnl 其中，傅立叶反变换傅立叶反变换（inverse discrete-time fouriertransform,idtft）：l 3.1.2 收敛条件（收敛条件（convergence) 如果xn的dtft在种意义上收敛，则称xn的傅立叶变换存在 nnnjjjknjkjkkknnjjknxenxexdtftnxexnxexex

4、enxexeconvergencuniform存在的一致收敛，即，则如果，一致收敛的定义为令）、一致收敛（0lim1 ）（，但不绝对可加能量为例：理想低通滤波器列不一定绝对可加）限能量，但有限能量序（绝对可加序列具有有）、均方收敛（cjlpnlpclpcnjnjnjlpccjlpjkjkccccccddehnhnhnnjnejnedenhehdexexeconvergencsquaremean2121sin21210010lim2222 nanxnanxnnnudtft指数序列：正弦序列：阶跃序列：加信号的、非绝对可加或均方可0cos00013 jdtftnkdtftnjkjdtftkdtft

5、dtftenukekenukndtft11122211221100，对常用l 3.1.3 带限信号带限信号（bandlimited signals)）（带宽为带通信号）为（带宽（例：低通信号中一部分的信号频谱只占lhhlppwidthband000l 3.1.4 dtft的性质的性质1. 一般性质2. 复序列的对称性3. 实序列的对称性 table 3.2 序列的离散时间傅立叶变换的基本性质序列的离散时间傅立叶变换的基本性质 性质性质 序列序列 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 线性线性 时移时移 频移频移 频率微分频率微分 卷积卷积 相乘相乘 帕斯瓦尔公式帕斯瓦尔公式 g n()jg e

6、 h n()jh e g nh n0g nn0 jng nen gn g nh n g n h njjg eh e0()j njeg e0()()jg e ()jd gejd()()jjg eh e()1() ()2jjg eh ed *1 ()()2jjg n h ng eh ed table 3.3 复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系复序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列序列 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 ()jx e x nxn*xn()jx e*()jxe re x n*1() ()()2jjjcsxex ex eim jx n*1() ()()2jjjcax ex ex

7、 e csxn()jrexe caxn()jimjxetable 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列序列 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 对称关系对称关系 x n()()()jjjreimx exejxe evxn()jrexe odxn()jimjxe*()()jjx exe()()jjrerexexe()()jjimimxexe ()| |()|jjx ex earg()arg()jjx ex e 注注: : 和和 分别代表着分别代表着 的偶部和奇部的偶部和奇部 evxn odxn x nl 3.1.5 能量密度谱能量密度谱 deg

8、ngjng22212jjggegeslljggjggelreslljghjghelresk=input(频率点数量=);num=input(分子系数=);den=input(分母系数=);w=0:pi/(k-1):pi;h=freqz(num,den,w);subplot(2,2,1)plot(w/pi,real(h);grid;title(实部);xlabel(omega/pi);ylabel(振幅);subplot(2,2,2)plot(w/pi,imag(h);grid;title(虚部);xlabel(omega/pi);ylabel(振幅);l 3.1.6 使用使用matlab计算计

9、算dtftsubplot(2,2,3)plot(w/pi,abs(h);grid;title(幅度谱);xlabel(omega/pi);ylabel(幅度);subplot(2,2,4)plot(w/pi,imag(h);grid;title(相位谱);xlabel(omega/pi);ylabel(相位，弧度);频率点数量=256分子系数=0.008 -0.033 0.05 -0.033 0.008分母系数=1 2.37 2.7 1.6 0.413.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换l 3.2.1 定义定义 12/2/0102/1001101njjkn nk nnnknnnjnnnknnkd

10、ftx kx ex n ex nwknx knweidftx nx k wnnn：为 点有限长序列，： 11111000001100111nnnnnk l nlnknlnnnnnnnknknnk l nnknx nwx k wwx k wnnx kwx ln 证明： ）次复加（次复乘，的运算量：和：例：例102/2/2121211010/2cos2011001101121010/2/2/2210210 nnnidftdftotherwisernknrknwwkxwweenxnrnnnrnnxwkxotherwisemnnxkxotherwisennxotherwisernlkneeewnnnk

11、rnnnnkrnrnnrnnnrnjnrnjkmndftdftnlkjlkjnnnklnjnnnlknl 3.2.2 矩阵关系矩阵关系 *11121124212111111211242121111111111111111110110nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnttdnwwwwwwwwwdidftwwwwwwwwwdnxxxnxxxdft其中：其中，则，：令xdxxdxxxl 3.2.3 用用matlabmatlab计算计算dftdft例例3.11n=input(输入序列的长度=);m=input(输入离散傅立叶变换长度=);u=ones(1,n);u=

12、fft(u,m);t=0:1:n-1;stem(t,u);title(原始时域序列);xlabel(时间序号n);ylabel(振幅);pause;subplot(2,1,1);k=0:1:m-1;stem(k,abs(u);title(dft抽样点的幅度);xlabel(频率序号k);ylabel(幅度);subplot(2,1,2);stem(k,angle(u);title(dft抽样点的相位);xlabel(频率序号k);ylabel(相位);例例3.12k=input(输入离散傅立叶变换长度=);n=input(输入离散傅立叶逆变换长度=);k=1:k;u=(k-1)/k;u=iff

13、t(u,n);k=1:k;stem(k-1,u);title(原dft抽样点);xlabel(频率序号k);ylabel(振幅);pause;subplot(2,1,1);n=0:1:n-1;stem(n,real(u);title(时域抽样点实部);xlabel(时间序号n);ylabel(幅度);subplot(2,1,2);stem(n,imag(u);title(时域抽样点虚部);xlabel(时间序号n);ylabel(振幅);3.3 dtft与与dft的关系的关系 2/1/2102/1/2/2210/210/21010101022sin22sin122sin22sin11111 .

14、 3 . 3 nnkjnkjnnkjnkjknjnnnnkjnnnknjnjnknnnjnkknnnnnjjenknknkxnexenknkneeeeekxnewkxnenxexdtftdft插值 2/2111000103.3.211101110jjk nklknlnnnnk n lknklknnnnnkkllknnk n lnkdtftdfty kx ex ex l wy ny k wx l w wx lwnnnx nmnnnrnmmwotherwisenx n 采样当长度小于或 01ny nx nnn等于 时， 0 12 3 4 52/444054 6 2 3 4 6jx nx ekidf

15、ty nx nx nx nny n例：， ， ， ， ，取在的频域样点做， ， ， ， ，l 3.3.3 dft用于用于dtft的数值计算的数值计算 kxenxexmnnnnnxxenxenxexnmmkmkexnnnxemnmknjejennmknjnnnjjkjkkk10/210/2101101010/210，则定义，在，需计算，3.4 dft的性质的性质table3.5 dft的基本性质的基本性质 性质性质 长度为长度为n的序列的序列 n点离散傅立叶变换点离散傅立叶变换 线性线性 循环时移循环时移 循环频移循环频移 二元性二元性 n n点循环卷积点循环卷积 相乘相乘 帕斯瓦尔公式帕斯瓦尔

16、公式 g n h n g k h k g nh n0ngn-n 0 knnwg n g n10 nnmg m h nm g n h n1122001| | |nnnkx nxkn kg kh0( )knnwg k0 ng kk nn gk( ) ( )g k h k101 nnmg m hkmntable3.6 复序列的离散傅立叶变换的对称关系复序列的离散傅立叶变换的对称关系 序列序列 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 x n * x n* nxk* nxn* xk re x n*1 2pcsnnxkxkxkim jx n*1 2pcannxkxkxk pcsxnre x k pcaxni

17、m jx k x k注注: : 和和 分别代表着分别代表着xnxn 信号的周期共轭性对称及周期共轭性反对称部分信号的周期共轭性对称及周期共轭性反对称部分. .同同 时时, ,xpcskxpcsk 和和xpcakxpcak 分别代表着分别代表着xkxk 的周期共轭性对称及周期共轭性反对称部分的周期共轭性对称及周期共轭性反对称部分 pcsxn pcaxntable 3.7 实序列的离散傅立叶变换的对称关系实序列的离散傅立叶变换的对称关系 序列序列 离散时间傅立叶变换离散时间傅立叶变换 x n re im x kx kjx k pexnre x k poxnim jx k* nx kxkre re

18、nx kxkim im nx kxk | | | |nx kxkarg arg nx kxk 对称关系对称关系 l 3.4.1 序列的循环移位序列的循环移位（circular shift）（定义：nmmnnnnnxnnnnnxnnxnnmod0100000l 3.4.2 循环卷积循环卷积（circular convolution） 11220000120220110nhngnyhgnynnhngnnmnhmgnyonconverlutilinearnnnhngllnml值为最后一个非值为点，第一个非至假设补、其中）点序列的线性卷积（、点长的序列为、设例（3.15、3.16、3.17） ）（循环

19、矩阵，矩阵形式表示为）、循环卷积（matrixcirculantngggghnhnhnhhhhhhnhhhhnhnhhyyyynhngnymnhmgnynconvolutiocircularcccccnnmc121003213012210112100000n210l 3.5.1 两个实序列两个实序列dft的计算的计算3.5 实序列实序列dft的计算的计算 nnnnknxkxkxkxjkhkxkxkgnjhngnxnhng*2121其中，则为实序列，令、设 120122101222210210102101012210221202nkkhwkgwnhwwngwwnhwngwnvwnvwnvnvnn

20、nvnhnvngnnvnknnnnnknknnnnknnnknnknnnnknnnknnnnnknnnnkn，点实序列，为设l 3.5.2 2n点实序列点实序列dft的计算的计算3.6 使用使用dft计算线性卷积计算线性卷积l 3.6.1 两个有限长序列的线性卷积两个有限长序列的线性卷积 nhlngnynhngnylnmmnnhnhlnnnnngngnmlmnnhngeeclee则，定义，令和长为、设101010101例例3.20 x=input(输入第一个序列=);h=input(输入第二个序列=);l=length(x)+length(h)-1;xe=fft(x,l);he=fft(h,l

21、);y1=ifft(xe.*he);k=0:1:l-1;subplot(2,1,1);stem(k,y1);title(基于dft的线性卷积结果);xlabel(时间序号n);ylabel(振幅);y2=conv(x,h);error=y1-y2;subplot(2,1,2);stem(k,error);title(误差序列);xlabel(时间序号n);ylabel(振幅);l 3.6.2 有限长序列与无限长序列的线性卷积有限长序列与无限长序列的线性卷积 点）均为和点重叠（处有在与注：其中，则其中点序列为因果序列，切分为设）、重叠相加（为无限长序列点有限长序列，为设1120101111010

22、010mnnynymmrnnrnnxnhnynxnhnylnxnhnymnnylnxlhnyotherwisennmnnxnxmnnxnxnxnnxmethodaddoverlapnxnhlnxlhnynxmlhrrrrrrmmmmlmmmmml例例3.21r=64;d=rand(r,1)-0.5;for m=1:1:r; s(m)=2*(m-1)*(0.9)(m-1); x(m)=s(m)+d(m);endk=0:1:r-1;m=input(滑动平均滤波器长度=);h=ones(1,m)/m;y=fftfilt(h,x,4);plot(k,s,r-,k,y,b*);legend(r-,sn,

23、b*,yn);xlabel(时间序号n);ylabel(振幅); 111112001012nnmnymnmnynnmnwmnnynxnnhnwmnmnmnxnxmnxnxmnhmethodsaveoverlapmlmmmmmmm，则，令部分的第为点序列，为设）、重叠保留法（通常情况下，当nm时，长度为m的序列hn与长度为n的序列xn的n点循环卷积的前m-1个样本与hn和xn的线性卷积不同，而后n-m+1个样本则相同例（略）3.7 z变换变换l3.7.1 定义定义 为复数）（zzngngzzgnn与dtft的关系： 的连续函数变换在收敛域中为变换收敛域为环状通常变换收敛），变换的收敛域（相等变换

24、与）时，（，当的为，则令zzrrrzrzzrngroceconvergencofregionzdtftzzrdtftrngerngegrezggggnnnnnjnjj011z变换需在指定其收敛域才能唯一对应一个序列 0111111nnnnnnnx nu nx zu n zzzx zx zzz例：当时，收敛，收敛域为 11101111211111nnnmmmmnmnx nunx zzzzzzzx zzzz 例 ：当时，收敛域为 rzzrzrzrnunrrzzrzrzrnunrzznuzznuznzznznznzz2210100221010011cos21cossincos21cos1cos111

25、111变换变换变换变换变换所有变换对常用与傅立叶变换收敛的关系：1、序列gn的傅立叶变换当且仅当其z变换的收敛域包含单位圆时一致收敛2、傅立叶变换存在不能推出z变换存在例：hlpn傅立叶变换存在，但z变换不存在，因为hlpnr-n对所有的r不绝对可加l 3.7.2 有理有理z变换变换本书lti离散时间系统所涉及的z变换都为z的有理函数，可以表示为 nnnnmmmmmnnnmmdzdzdzdpzpzpzpzzdzdzddzpzpzppzdzpzg22110221102211022110或 nllmllmnnllmllzzdpzzzdpzg110011110011个极点时，额外个零点，处有额外时，

26、上式在当）称为极点（），称为零点（nmmnmnzmnpolezzerozll03.8 有理有理z变换的收敛域变换的收敛域 znznzznxznxzxotherwisennnnxnxnnnnnnnn0000, 00111212121时，当时，当有界，收敛域为则有限和只要级数每一项收敛，、有限长序列 cnnnrzznxzxnnnx收敛域为、右边序列1102 xxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnrznnxrzrzznxrzrnxznxznxrzrznnznznxznxznxzxrzrrnxrzzx时才有值，收敛域为在，如因此右边序列收敛域为所以，则，因此，项，由于平面上收敛，对

27、于第二上式第一项在有限必然收敛上，圆外，即可以证明在上收敛，即在证明：若000122222111111221 xnnnrzznxzxnnnx收敛域为、左边序列2203 xnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnrznnxrzznxrzrnxznxznxrzrznnznznxznxznxrzrnxrzzx时才有值，收敛域为在如所以，则因此，项，由于平面上收敛，对于第二上式第一项在有限上也必然收敛，则在上收敛，即在证明：若00000211112121111111 收敛时，当，第二项收敛域为第一项收敛域为、双边序列zxrrrzrzznxznxznxzxxxxxnnnnnn104 变换不

28、存在的因此，第二项收敛域为第一项收敛域为例：znuzzzzzununnnnnnn10例例3.29num=input(输入分子系数=);den=input(输入分母系数=);z,p,k=tf2zp(num,den);m=abs(p);disp(零点在);disp(z);disp(极点在);disp(p);disp(增益常数);disp(k);disp(极点半径);disp(m);sos=zp2sos(z,p,k);disp(二阶部分);disp(real(sos);zplane(num,den);3.9 逆逆z变换变换l 3.9.1 定义定义 中极点的留数在留数定理来求围线。该积分通常可用方向环

29、绕原点一周的单收敛域内的反时针是一条在为围线积分，积分路径czzgngzxcdzzzgdzzzgjngncncn11121l 3.9.2 部分分式展开法（部分分式展开法（partial-fraction expansion） nlnllllnlnllzlnllllznmlllnungzzrocnungzzgzzzgpolessimplezlnfractionproperzdzpzdzpzzdzpzgl111111101minmax111，则如：，变换为则其逆其中）的情况、单极点（），为真分式（变换例：11212111211111112113135( ), 438( )11,(1)(3)(1)(3)8587,. (1)2(3)2571 1 223zznnzzh zx nzzaazh zzzzzzzaazzx nnu nu n lizgvzzddvilzvzzzglnlvzpolesmultiplevzlililililiiiilmlllnmlll1