多元函数的极值1学习教案

1、会计学1多元函数的极值多元函数的极值1第一页，编辑于星期一：十八点 四十九分。一、复习引入一、复习引入二、二、二元函数极值的定义二元函数极值的定义三、三、二元函数取得极值的条件二元函数取得极值的条件四、二元函数极值的求法四、二元函数极值的求法五、本节小结五、本节小结第1页/共19页第二页，编辑于星期一：十八点 四十九分。1、复习回顾、复习回顾oabx1x2x3x4x5y=f (x)xy第2页/共19页第三页，编辑于星期一：十八点 四十九分。2、问题的提出、问题的提出求最大收益即为求二元函数的最大值。)7680)(40()4570)(30(),(yxyyxxyxf每天的总收益为： 这个函数常称为

2、目标函数。 某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价30美分，外地牌子每瓶进价40美分，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x美分，外地牌子的每瓶卖 y美分，则每天可卖出 70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ 问题：如何求二元函数的最大值和最小值呢？问题：如何求二元函数的最大值和最小值呢？第3页/共19页第四页，编辑于星期一：十八点 四十九分。二、二、二元函数极值的定义二元函数极值的定义观察：观察：第4页/共19页第五页，编辑于星期一：十八点 四十九分。第5页/共19页第六页，编辑于星期一：十八点 四十九分。观察二

3、元函数 的图形第6页/共19页第七页，编辑于星期一：十八点 四十九分。 二元函数极值的定义 定义定义 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，对的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于于该邻域内异于(x0,y0)的点的点(x,y): 如果都适合如果都适合f(x,y)f(x0,y0)，则称函数在点，则称函数在点(x0,y0)处有处有极小值极小值。 极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值。 使得函数取得极值的点使得函数取得极值的点(x0,y0)称为称为极值点极值点。第7页/共19页第八页，编辑于星期一：十八点 四十九分。例例1 1函数函数2243yxz处有极小值

4、处有极小值在在)0 , 0(xzy0第8页/共19页第九页，编辑于星期一：十八点 四十九分。例例函数函数处有极大值处有极大值在在)0,0(22yxz处有极大值处有极大值在在)0,0(xyzO第9页/共19页第十页，编辑于星期一：十八点 四十九分。例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(22yxzxzy0第10页/共19页第十一页，编辑于星期一：十八点 四十九分。问题：问题： 回顾一元函数极值的知识可知，如果函数f(x)在x0处取得极值，且导数存在，那么必有f(x0)=0. 如果(x0,y0)为二元函数f(x，y)的极值点，且在此处导数存在，那么会有什么结果呢？第11页/共19页第十二页，

5、编辑于星期一：十八点 四十九分。二、二、多元函数取得极值的条件定理1 1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：，. .),(yxfz ),(00yx),(00yx0),(00yxfx0),(00yxfy推广推广 如果三元函数如果三元函数在点在点有极值的必要条件有极值的必要条件具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在 ，.;0),(000zyxfx0),(000zyxfy0),(000zyxfz是：是：第12页/共19页第十三页，编辑于星期一：十八点 四十九分。 仿照一元函数，凡使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的仿照一元函数，凡使一阶偏导数同时为零的点，均

6、称为函数的驻点驻点. .问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 驻点驻点极值点极值点注意：注意：.例如例如点点是函数是函数的驻点，的驻点，但不是极值点但不是极值点xyz )0,0(第13页/共19页第十四页，编辑于星期一：十八点 四十九分。定理定理2 2（充分条件）（充分条件） 设函数设函数在点在点的某邻域内有连续的的某邻域内有连续的二阶偏导数，且二阶偏导数，且 是函数是函数 的驻点的驻点. .令令 （1 1）时具有极值，且时具有极值，且02 BAC当当时有极大值，时有极大值， 当当时有极小值；时有极小值；0A0A（2 2）时没有极值；时没有极值；02 BAC

7、则：（3 3）时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论02 BAC第14页/共19页第十五页，编辑于星期一：十八点 四十九分。求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第一步第一步 解方程组解方程组 , 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.四、二元函数极值的求法四、二元函数极值的求法第15页/共19页第十六页

8、，编辑于星期一：十八点 四十九分。 例例4 求函数f (x，y)x3y33x23y29x 的极值求得驻点为(1，0)、(1，2)、(3，0)、(3，2)再求出二阶偏导数fxx(x，y)6x6，fxy(x，y)0，fyy(x，y)6y6 在点(1，0)处，ACB 21260，又A0，所以函数的(1，0)处有极小值f(1，0)5； 在点(1，2)处，ACB 212(6)0，所以f (1，2)不是极值； 在点(3，0)处，ACB 21260，又A0时驻点才是极值点。2B极值点极值点驻点驻点偏导存在3、有可能偏导不存在也是极值点，例如函数 在（0，0）点处有极大值，但函数在（0，0）点偏导不存在。 因此，在求函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应当考虑第17页/共19页第十八页，编辑于星期一：十八点 四十九分。思考：思考： 某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价30美分，外地牌子每瓶进价40美分，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x美分，外地牌子的每瓶卖 y美分，则每天可卖出 70-5x+4y瓶本地牌子的果汁，80+6x-7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？ )7680)(40()4570)(30(),(yxyyxxyxf解：每天的收益： 0240141002